一道2023年江蘇高考物理試題的深入探討

邵 云

(南京曉莊學院電子工程學院,江蘇 南京 211171)

1 問題的緣由

2023年江蘇高考物理試卷第10題(選擇題)是一道很有意義的題目,該題的題設如下.

例題.達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗:一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速直線運動,沿途連續漏出沙子．若不計空氣阻力,則圖1中能反映空中沙子排列的幾何圖形是[1]

圖1 高考物理試卷第10題(選擇題)的題圖

達·芬奇提出的問題看似平凡實則蘊含著深刻的物理思想．從考生的角度看,選擇正確的答案(D)并不是十分艱難,但是從教學研究的角度看,其實教師也未必能夠把其中的物理情境交代得清楚明白,即未必能夠把握住其中內涵的深刻物理思想．[2,3]如果罐子在空中沿水平直線做勻速運動(或者靜止),那么沙子在空中的排列形狀應如選項(A)所示,為一豎直直線,這正是伽利略慣性實驗揭示的原理．伽利略把一個蘋果掛在勻速運動的船桅頂上,蘋果落下后一定還在船桅的正下方;現設想把沙罐掛在船桅頂上,讓沙罐里的沙子連續漏下,則不論從船上看還是從岸上看,它們必定成一條與船桅桿平行的直線;然而本題達·芬奇提出罐子在空中沿水平方向向右做勻加速直線運動,選項(A)倒是很容易排除,但是(B)(C)(D)3個選項卻不那么容易判斷,且十分具有迷惑性．

2 在地面靜止參考系中求解

2.1 空間軌跡法

如圖2所示,設罐子在t=0時刻位于坐標原點O處,從靜止開始以恒定的加速度a沿x軸正方向運動;在tn時刻第n顆沙子Pn離開罐子,它在t(>tn)時刻到達圖2中位置處．

圖2 第n顆沙子Pn的位置示意圖

根據題意及以上設置可得,tn時刻沙子Pn的x、y坐標分別為

(1)

yn(tn)=0.

(2)

t時刻沙子Pn的x、y坐標則分別為

(3)

(4)

其中g為重力加速度．聯立式(3)(4),消去tn后即得

(5)

式(5)即為第n顆沙子Pn的坐標xn、yn所滿足的方程．式(5)顯然與沙子的序數n無關,即方程式

(6)

能夠適用于所有t時刻之前漏出的沙子．雖然每顆沙子下落的時間t-tn不同,但是方程式(6)只與時刻t有關,并且所有在空中下落的沙子同處t時刻,于是式(6)即為一直線方程．這就意味著,所有之前漏出的沙子在t時刻均排列在該直線上,如圖3所示．因此(D)是正確的選項．

2.2 相對空間方向

任取t時刻前的兩顆沙子A、B,設它們離開罐子的時刻分別為tA、tB,且tA

vA(t)=atAi+g(t-tA)j.

(7)

vB(t)=atBi+g(t-tB)j.

(8)

則在t時刻,沙子A相對于沙子B的相對速度矢量為

vAB(t)=vA(t)-vB(t)=a(tA-tB)i+

g(tB-tA)j=(gj-ai)(tB-tA).

(9)

鑒于A、B兩顆下落的沙子之間的時間差tB-tA在下落過程中保持不變,因此式(9)所表達的是一個常矢量,即任何兩顆離開罐子的沙子,彼此之間相對都在做勻速直線運動,并且前一顆沙子相對于后一顆沙子的相對速度均統一沿常矢量gj-ai的方向.這就表明:所有漏出的沙子均排列在沿gj-ai方向的同一條直線上,彼此間相對做速度大小不等的勻速直線運動,呈現出與多個小球在同一地點依次自由下落相似的相對運動圖像．易見該直線在Oxy坐標系中的斜率為-g/a,這與上一種解法中所獲得的直線方程式(6)相一致．該直線如圖4所示．

圖4 A、B等沙子及罐子的位置及相對方位示意圖

3 參考系變換

罐子在x軸正方向做勻加速直線運動,因此罐子是一個直線加速非慣性參考系．在非慣性參考系中,人們通常是通過引入慣性力來使牛頓第二定律依然能夠成立．[4]在罐子參考系中,設每一顆沙子的質量均為m,則其慣性力為-ma,與重力mg相疊加,即得沙子所受等效重力也即視重力為

mg視=m(g-a).

(10)

視重力加速度為

g視=g-a.

(11)

式(10)(11)便是在罐子參考系中沙子所感受到的重力和重力加速度．

如圖5所示,沙子相對于罐子將沿g視的方向依次做自靜止開始的“自由落體”運動．很顯然,從固聯在罐子上的x′O′y′坐標系(即罐子參考系)來看,諸沙子均在同一條直線上運動,該直線在x′O′y′坐標系中的斜率為-g/a．這些觀察結果與地面靜止參考系中所觀察到的結果完全一致.

容易證明圖4和圖5中A、B兩顆沙子間的相對運動速度是相等的,即有

vAB′(t)=vAB(t).

(12)

這就是說,盡管所有沙子的速度均與參考系有關,但是各沙子彼此之間的相對運動(包括相對速度、相對位移等)卻與參考系無關.這其實是經典的伽利略時空變換、速度變換等的必然結果．由于各沙子在空間的位置相對分布僅與彼此間的相對運動有關,因此各沙子在空間的位置相對分布就與參考系無關了,換言之,在不同的參考系中,無論慣性系與非慣性系,對于沙子排列形狀的觀察結果都應該是相同的、等價的．

4 比較“類”判斷

罐子在水平方向上的運動,粗看起來可以分為勻速直線運動(包括靜止)、勻加速直線運動、變加速直線運動這3類;但是細看起來,勻速直線運動(包括靜止)可以被看作加速度為0的勻加速直線運動;于是,罐子在水平方向上的運動便只有兩類了,即勻加速直線運動和變加速直線運動．

既然罐子在做勻速運動(包括靜止)時,沙子在空中的排列形狀是一條豎直直線,即選(A),那么當罐子向右做勻加速直線運動時,沙子在空中的排列形狀也應是一條直線,只是該直線是傾斜的,形如圖1(D),即選(D)．當然,其中也有沙子在水平方向和豎直方向先后做勻加速度運動的考量——水平和豎直方向存在著某種對稱性．不難料想,當罐子向右做勻減速直線運動時,沙子在空中的排列形狀將是一條2、4象限的直線．

至此,圖1(B)、圖1(C)就容易理解了．圖1(C)所表達的應是罐子向右做變加速(加速度的大小a不斷增加)直線運動的情形;而圖1(B)所表達的則是罐子向右做變減速(減速度的大小a不斷增加)直線運動的情形．這些道理從第3節的罐子參考系中不難理解．以罐子向右的加速度大小a=kt(k為常量)為例,可以求得t時刻諸沙子坐標x、y所滿足的方程為

(13)

圖6 在t=10 s時t≤10 s內從a=t m/s2的罐子中

5 總結

本文介紹了求解2023年江蘇高考物理試卷第10題(選擇題)的4種方法,其中的第1種解法比較常規——直接在地面靜止參考系中求出在t時刻空中的任意沙子坐標(xn,yn)均需滿足的、統一的直線方程式(6),由此獲得正確的選項(D)．第2種解法則是通過論證地面靜止參考系中任意兩顆沙子之間的相對速度[即上文vAB(t)]均沿同一個方向(即常矢量gj-ai的方向),來證明所有的沙子均在同一條直線上,從而獲得正確的選項(D)．該解法的思路十分簡單,并且過程簡潔,但是需要一定的抽象思維能力．第3種解法更加簡便——直接將罐子參考系中觀察到的沙子排列在同一直線上的圖像移植到地面靜止參考系中即可．但是該解法需要充分地掌握伽利略變換的知識,并且能夠充分地理解其推論:質點系內各質點彼此之間的相對運動(包括相對速度、相對位移等)與參考系無關,因此各質點在空間的相對分布狀況便與參考系無關．第4種解法則需要領悟罐子的勻速直線運動(包括靜止)和勻加速直線運動,在本問題中其實屬于同一大類——前者只是后者的一個特例．因此它們的空間沙子排列形狀也應該屬于同一類型,既然前者沙子的排列形狀是一條豎直直線,那么后者沙子的排列形狀便是一條斜直線．另一大類是變加速或者變減速運動,其中罐子加速度越來越大的空間沙子排列形狀對應于圖1(C),而罐子減速度越來越大的情形則對應于圖1(B)．倘若將以上罐子的運動情況顛倒,例如將勻加速變成勻減速,或者越來越大變成越來越小,則會獲得另外3個圖像,這里不再贅述．

感謝:對于本文所研究的試題,江蘇省南通市海門實驗學校姜兵老師從幾何特征上給出了綜合性的評價,即沙子排列曲線局部的空間斜率倒數即代表罐子的加速度,頗具啟發性,在此鳴謝．