2023年高考物理湖南卷第15題“橢圓擺模型”的研究

段石峰

(長沙市周南中學,湖南 長沙 410201)

湖南省近3年的新高考物理試題穩中有變,總體向好的方向發展,更加有利于拔尖創新人才選拔,符合新時代教育評價改革和教育強國建設的要求．2023年第15題的設計非常創新巧妙,摒棄了“重數學運算技巧,輕物理思維方法”的常規做法,讓人眼前一亮、耳目一新．本文在對該試題深入解讀的基礎上,從試題溯源的“球槽模型”拓展為“橢圓擺模型”,以便在教學中強化模型建構的意識,促進科學思維能力的培養,從而提升學生的核心素養．

1 試題呈現

例題.(2023年高考湖南卷第15題)如圖1所示,質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直．質量為m的小球,初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑．以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點,在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy,橢圓長軸位于x軸上．整個過程凹槽不翻轉,重力加速度為g．

圖1 小球在凹槽內的運動

(1) 小球第1次運動到軌道最低點時,求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離;

(2) 在平面直角坐標系xOy中,求出小球運動的軌跡方程;

2 試題解讀

2.1 第(1)問解讀

第(1)問是通常涉及的特殊位置,還有“人船模型”的變形遷移．從知識的角度,考查動量和能量的綜合應用;從能力的角度,考查理解能力和推理論證能力;從素養的角度,考查科學思維中的模型建構和科學推理要素．這兩個小問題都與凹槽內軌道的具體形狀無關．

解析:凹槽放在光滑的水平地面上不固定,小球釋放后下滑時凹槽向右運動,系統在水平方向不受外力．設小球運動到最低點時相對于地面的速度為v1,凹槽的速度為v2,由系統的水平方向動量守恒可得

mv1=Mv2.

(1)

水平地面和凹槽內軌道均光滑,由系統的機械能守恒可得

(2)

聯立式(1)(2)解得

(3)

從式(3)的結果來看,v1和v2與水平方向的長半軸a無關,與豎直方向的短半軸b有關．

由式(1)對時間微元求和可得水平位移關系

mx1=Mx2.

(4)

而且水平方向存在幾何關系

x1+x2=a.

(5)

聯立式(4)(5)解得

(6)

從式(6)的結果來看,x1和x2與水平方向的長半軸a有關,與豎直方向的短半軸b無關．

2.2 第(2)問解讀

第(2)問是第(1)問的進階,將特殊位置的確定量延伸到任意位置的變量,涉及到軌跡形狀的變換,其實就是以靜止釋放點為定點,水平方向按一定的比例壓縮,而豎直方向不變．這個問題與小球和凹槽之間是否光滑無關,與小球是否具有豎直方向的初速度也無關．

解析:設小球在坐標系xOy中的坐標為(x,y),則小球向左運動的水平位移為(a-x)．設凹槽向右運動的位移為x3,由式(4)可得

(7)

凹槽移動后的半橢圓形軌道方程為

(8)

小球始終在凹槽半橢圓形軌道上,式(8)即為小球運動的軌跡方程,聯立式(7)(8)解得

(9)

圖2 小球運動軌跡

2.3 第(3)問解讀

第(3)問是在給定質量比的條件下,求解特殊位置的狀態量．雖然第(2)問用到了橢圓方程,對數學知識的要求較高,但由以上討論可知,第(3)問通過設置槽球的質量比,恰巧可以將橢圓運動降解為圓周運動,從而降低對數學知識的要求,問題設計非常創新精妙．

方法1:簡化為圓周運動確定速度方向.

[x-(a-b)]2+y2=b2,(y≤0).

(10)

由式(10)可知,在這種情況下小球的軌跡是以(a-b,0)為圓心,半徑為b的半圓形．

圖3 小球速度分析

θ=60°.

(11)

由系統的水平方向動量守恒可得

mv3cosθ=Mv4.

(12)

由系統的機械能守恒可得

(13)

聯立式(11)(12)(13)解得

(14)

從式(14)的結果來看,v3與水平方向的長半軸a和豎直方向的短半軸b均有關．從求解過程來看,關鍵是要確定小球的速度方向即可以迎刃而解．下面再給出兩種方法得到式(11)的結果.

方法2:對橢圓方程求導確定速度方向.

將式(9)中的變量x和y分別對時間t求導可得

(15)

(16)

由式(16)同樣可以確定小球速度與水平方向的夾角為

(17)

方法3:由橢圓切線斜率確定速度方向.

(18)

由式(9)確定y是x的隱函數,根據隱函數的求導法則可得

(19)

則以小球所在位置(x0,y0)為切點,代入式(19)可得運動軌跡的切線斜率為

(20)

(21)

方法點評:對比以上3種方法,方法1是高中范圍內的常規方法,由于物理過程和軌跡方程都比較復雜,所給的質量比條件比較隱蔽,給學生造成不小的心理壓力,但作為壓軸題最后一問的精妙之筆,將“球槽模型”考到了極致,命題人的功力和手法可見一斑．方法2和方法3對于物理競賽生更有優勢,無須挖掘潛在條件中的半圓形軌跡形狀,只要從一般的軌跡方程入手尋找速度關聯即可,其中方法2的思維最直接,方法3需要求出切點的坐標和橢圓的切線斜率．

3 模型溯源

試題來源于物理競賽題中的“球槽模型”,只是將通常的半圓形槽拓展為半橢圓形槽．原競賽題大致為:如圖4所示,質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內有一個半圓形的光滑軌道,圓的半徑為R．質量為m的小球(可視為質點),初始時刻從圓軌道的右端點由靜止開始下滑．以初始時刻凹槽圓心的位置為坐標原點,在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy,圓的直徑位于x軸上,整個過程凹槽不翻轉．求小球運動的軌跡方程．

圖4 小球在半圓形凹槽中的運動

解析:小球在凹槽中運動的過程中,相對于凹槽做圓周運動,但相對于地面并不是圓周運動．設小球在坐標系xOy中的坐標為(x,y),則小球向左運動的水平位移為(R-x)．設凹槽向右運動的位移為x4,由式(4)可得

(22)

凹槽移動后的半圓形軌道方程為

(x-x4)2+y2=R2,(y≤0).

(23)

小球始終在凹槽半圓形軌道上,式(23)即為小球運動的軌跡方程,聯立式(22)(23)解得

(24)

4 模型拓展

仔細考查可以發現,在上述“球槽模型”中并不限于特定的軌道約束,也可以改為輕繩或輕桿連接,變為如圖5所示的“球環模型”,或如圖6所示的“球車模型”等,它們的特點和實質相同．[1,2]從小球運動的軌跡形狀來看,都可以稱為“橢圓擺模型”,下面舉例說明．

圖5 球環模型

圖6 球車模型

如圖5所示,質量為M的圓環套在光滑固定的水平桿上,質量為m的小球用一根長為L的輕繩與圓環相連,小球和圓環均可視為質點．初始時刻輕繩與水平桿平行且處于拉直狀態,圓環和小球均靜止,現將小球由靜止釋放．以初始時刻圓環的位置為坐標原點,在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy,輕繩水平拉直時位于x軸上．求小球運動的軌跡方程．

解析:在小球向下擺的過程中,相對于凹槽做圓周運動,但相對于地面并不是圓周運動．如圖7所示,設小球在坐標系xOy中的坐標為(x,y),則小球向左運動的水平位移為(L-x)．設圓環向右運動的位移為x5,由式(4)可得

圖7 小球運動分析

m(L-x)=Mx5,

(25)

由小球和圓環關聯運動的約束條件可得

(x-x5)2+y2=L2,(y≤0).

(26)式(26)即為小球運動的軌跡方程,聯立式(25)(26)解得

(27)

5 教學啟示

從近些年全國各地的高考試題來看,物理競賽題、大學物理和前沿科技的改編題不斷地變相出現,特別是壓軸題總能看到一些“影子”,這與新高考改革和高校選拔人才的要求是一脈相承的．因此在教學中,一方面要拒絕“題海戰術”,減少重復低效的“機械刷題”行為,切實減輕學生負擔;另一方面要強化模型建構意識,將題型歸納轉變為模型建構,提升模型遷移能力,注重深度思維的培養,有效促進關鍵能力的提高,發展學生的物理核心素養．