幾何圖形面積計算的幾種常用方法

吳仕為

(福建省福鼎市第八中學,福建 寧德 355215)

與幾何圖形面積有關的計算問題主要考查學生的數學思維與計算能力,由于幾何圖形的變化靈活多樣,從而導致大部分學生對這類問題感到困難與茫然,尤其是在計算不規則圖形的面積時,學生很難快速獲取解題突破口.實際上,解決與幾何圖形有關的面積問題時,只要充分掌握常用方法,熟悉常用解題套路,便能夠高效完成問題解答.鑒于此,文章圍繞典型的幾何圖形面積計算問題,分析求幾何圖形面積的幾種常用方法.

1 巧用平移法計算幾何圖形的面積

平移法,顧名思義是通過圖形的橫向、縱向水平運動進行解題,即把幾何圖形中的部分進行切割,然后使其橫向或縱向水平運動到恰當位置,進而重新組合成常見的規則幾何圖形,然后利用規則圖形的面積公式求解,以此達到簡化解題難度的目的[1].在實際解題過程中,學生可以通過觀察幾何圖形的結構特征,快速判斷是否需要利用平移法計算面積.

例1 如圖1,現有一塊長度為32 m、寬度為20 m的矩形地面,需在地面上按照陰影區域設計修建道路,其余非陰影區域用于綠化設計,若綠化設計面積為540 m2,請問道路修建的寬度應為____m.

圖1 矩形地面構造示意圖

學生在遇到此類不規則圖形的面積問題時,通過觀察已知圖形便能夠快速發現其結構特征,可考慮利用平移法,將不規則幾何圖形轉化為規則的基本圖形,然后利用規則圖形的面積公式求解面積.基于此,本題有兩種求解計算方法,求解過程如下.

方法1 如圖2,將不規則圖形經過平移變為三個規則的矩形,通過平移與組合陰影部分的圖形,能夠得到兩個規則的陰影矩形.假設道路的寬度為xm,結合題目條件能夠列出(20-x)(32-x)=540,這是一個關于x的一元二次方程,解此方程即可得到問題的答案.

圖2 平移變為三個規則的矩形

解法1 設道路寬度為xm.根據題意,得(20-x)(32-x)=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2.故道路的寬度應為2 m.

方法2 如圖3,將不規則圖形平移變換為四個規則的矩形,此時綠化設計面積被分成四個規則的矩形,根據題目中的已知條件能夠得到20×32-(20+32)x+x2=540,這是關于x的一元二次方程式,解此方程即可得到問題的答案.

圖3 平移變換為四個規則的矩形

解法2 設道路寬度為xm.根據題意,得20×32-(20+32)x+x2=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2.故道路修建的寬度應為2 m.

通過典型例題講解可以發現,利用平移法解決不規則幾何圖形的面積問題時,平移的方式不同,可能會得到不同的解題思路.教師應抓住典型例題的“一題多解”思路,進一步拓展學生的數學邏輯思維,進而引導學生突破固有思維限制.

2 巧用旋轉法計算幾何圖形面積

旋轉法主要應用于構造直角三角形、全等三角形等基本圖形求面積問題,這種解法的基本原理是面積的旋轉不變性[2].

例2 如圖4,點P是等邊△ABC內的一點,PA=3,PB=4,PC=5,則△ABC的面積是( ).

圖4 等邊△ABC示意圖

根據總結的旋轉法解題技巧,應找到旋轉中心.根據等邊三角形邊長的性質易知AB=BC,故可考慮以點B為旋轉中心,將△BPC逆時針旋轉60°,可得到△BEA,如圖5所示.由旋轉的性質可得BE=BP=4,∠PBE=60°,進而能夠判斷△BPE是等邊三角形,PB=PE=4,∠BPE=60°.此時,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,利用勾股定理的逆定理能夠判斷△APE是直角三角形,即∠APE=90°,進而能夠計算出∠APB的度數.過點A作AF⊥BP,交BP的延長線于點F,利用三角函數可計算出AF及PF邊長,再次利用勾股定理可得出AB邊長,最終利用三角形面積公式計算得到△ABC的面積.

圖5 旋轉變換后的圖形

解因為△ABC是等邊三角形,所以BA=BC.以B點為旋轉中心,把△BPC逆時針旋轉60°得到△BEA,連接EP,過點A作AF⊥BP,交BP的延長線于點F,則BE=BP=4,PC=AE=5,∠PBE=60°,所以△BPE是等邊三角形,所以PB=PE=4,∠BPE=60°.

在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,所以AE2=PE2+PA2,所以△APE是直角三角形,∠APE=90°,所以∠APB=150°,所以∠APF=30°.

3 巧用分割法計算幾何圖形面積

在計算幾何圖形面積的過程中,分割法較為常用,其本質是對原圖添加合適的輔助線,從而達到將原圖分隔為若干個規則的幾何圖形,如直角三角形、等腰三角形、正方形、長方形等,然后利用規則圖形的面積公式解決問題,從而求得原圖形的面積.

例3 已知⊙O為△ABC的內切圓,其中F、D、E分別是AB、BC、AC邊上的切點,若BC=x、AC=y、AB=z,⊙O的半徑為R,請計算△ABC的面積S.

圖6 分割后的△ABC示意圖

4 巧用“補”法計算幾何圖形面積

“補”方式與“割”方式相反,“割”是指將原幾何圖形分割為若干個常見的規則圖形,而“補”是指利用添加輔助線方式,將原不規則圖形轉化為規則圖形,利用規則圖形的面積公式直接求解,從而達到降低實際解題難度的目的.同時也能夠根據不同的“補”的方式,將原不規則圖形轉化為多樣化的規則圖形,進而為學生提供多元化的解題路徑.

圖7 不規則陰影部分示意圖

分析本題目主要考查正方形性質與旋轉性質,故借助圖形的旋轉不變性、正方形的性質即可實現求解.如圖8所示,這是基于“補”方式處理后的示意圖.圖8中AECB為直角梯形,基于此便可以利用題目中所給條件與直角梯形相關公式完成陰影部分面積的分析與計算.

圖8 將陰影部分“補”成規則圖形

5 結束語

綜上所述,解決幾何圖形面積計算問題,對提高初中生數學成績、強化學生解題能力與數學思維十分有利.因此,教師應積極通過典型的幾何圖形面積計算問題的講解與解析,幫助學生充分掌握常用的幾何圖形面積計算方法,進而總結解題方法和技巧,熟悉常規題型的解題套路,實現快速、正確解題.