實對稱區間矩陣特征值確界的交錯定理及其應用

成龍 ,李耀堂

(1.重慶對外經貿學院數學與計算機學院,重慶 401520;2.云南大學數學與統計學院,云南 昆明 650091)

1.引言

在許多科學和工程問題中,由于測量誤差、計算誤差和數據變化等因素都會導致描述該問題的數學系統中的參數難以精確確定.如何解決不確定參數對系統特性的影響就顯得尤為重要.此時,區間分析就發揮了其強大的作用.[1-2]區間分析是考慮在各種因素影響的條件下,給出一個包含真實結果的區間.1966年,MOORE在文[1]中奠定了區間分析的理論基礎.隨后,區間分析被廣泛應用于化學與結構工程、控制電路設計、計算機圖形學和行為生態學等領域.[1-3]

在許多實際應用中,由于面對系統的各種不確定因素,系統的雅可比矩陣的元素往往取值于某個實區間中,即系統的雅可比矩陣為區間矩陣,且系統的特性由該區間矩陣的特征值決定.因此區間矩陣特征值界的估計問題吸引了眾多學者的關注和研究.[4-21]例如: 1982年,DEIF在文[11]中利用特征值不等式和非線性規劃理論,在特征向量分量符號不變的條件下,得到了一類特殊的區間矩陣――實對稱區間矩陣特征值的算法;2010年,HLAD′IK等學者在文[15]中給出了實區間矩陣特征值界的估計;2017年,HLAD′IK在文[16]中進一步給出了計算特征向量分量符號不變的實對稱三對角區間矩陣各特征值確界的算法.但是,在應用中特征向量分量符號不變的條件往往很難滿足,因此這些算法難以應用.另一方面,文[17]中證明了精確計算實對稱區間矩陣各特征值的確界是NP-難問題.因此,尋找實對稱區間矩陣各特征值界的估計算法具有重要意義.本文將在建立實對稱區間矩陣特征值確界的交錯定理的基礎上,給出實對稱三對角區間矩陣各特征值界的估計算法.

2.預備知識

為了敘述方便,本節給出實對稱區間矩陣的相關概念和符號,以及與實對稱矩陣特征值相關的預備知識.

定義2.1[22]設A=(aij)∈Rm×n,B=(bij)∈Rm×n,對任意的i=1,2,···,m;j=1,2,···,n,若aij ≥0,則記A ≥0;若aij>0,則記A>0;若aij-bij ≥0,則記A ≥B;若aij-bij>0,則記A>B.

1966年,MOORE首次提出區間矩陣的概念,即元素為閉區間的矩陣,其定義如下.

稱Ak為A的k階主子矩陣;稱為AI的k階主子區間矩陣.

定義2.5設AS是實對稱區間矩陣,定義AS的k階主子區間矩陣為

定義2.6[11]設AI是n階區間矩陣,稱AI中所有矩陣的特征值組成的集合為區間矩陣AI的特征值,記為λ(AI),即

一般來講,n階區間矩陣AI的特征值λ(AI)是復數域上的一個集合.但對于實對稱區間矩陣AS,因為AS中的矩陣都是實對稱矩陣,再由實對稱矩陣的特征值都是實數知λ(AS)為實數域上的集合.下面討論λ(AS)在實軸上的分布情況.

在下文中,實對稱矩陣A=(aij)n×n的特征值都按升序排列,即

引理2.1[11]若記λi(AS)=則λi(AS)為閉區間,即

注2.1稱λi(AS)為實對稱區間矩陣AS的第i個特征值區間,簡稱為AS的第i個特征值;稱(AS),λi(AS)分別為AS的第i個特征值的上確界和下確界.

注2.2由引理2.1知實對稱區間矩陣AS的特征值由n個閉區間的并集組成,即

由于實對稱區間矩陣AS的第i個特征值λi(AS)和第j個特征值λj(AS)(i=j)都為實數軸上的區間,故可能重合,并且精確計算AS各特征值的確界是NP-難問題.[17]本文研究AS各特征值的確界,以便給出AS各特征值界的估計.

為討論方便,下面先回憶實對稱矩陣特征值的交錯定理和Weyl 定理.

引理2.2[22](實對稱矩陣特征值的交錯定理) 設A ∈Rn×n為對稱矩陣,Sn-1(A)表示A的所有n-1階主子矩陣構成的集合,則對任意An-1∈Sn-1(A),有

由引理2.2可直接得到如下推論.

推論2.1[22]設對稱矩陣A ∈Rn×n,Sk(A)表示A的所有k階主子矩陣構成的集合,則對任意Ak ∈Sk(A),有

推論2.1說明實對稱矩陣A的所有k階主子矩陣的最大特征值中的最小者是矩陣A的第k個特征值的上界.

引理2.3[22](實對稱矩陣特征值的Weyl定理) 設A,B ∈Rn×n為對稱矩陣,則對任意的i ∈N,有

3.實對稱區間矩陣特征值確界的交錯定理

引理2.2給出了實對稱矩陣特征值的交錯定理,那么實對稱區間矩陣的特征值是否具有類似的結論呢? 下面討論該問題.

對An-1和A應用引理2.2,有

由(3.2)式、(3.3)式和(3.4)式得

同理可證k=1,2,···,n-2時,有

由(3.7)式、(3.8)式和(3.9)式得

同理可證k=1,2,···,n-2時,有

綜上(3.5)式、(3.6)式、(3.10)式和(3.11)式即得(3.1)式.

由定理3.1可得如下推論.

推論3.1設AS是實對稱區間矩陣,記Sk(AS)表示AS的所有k階主子區間矩陣構成的集合,則對任意的∈Sk(AS),有

證當k=1,2,···,n-1時,由定理3.1可得

如此遞推,可得如下不等式:

綜上即得(3.12)式.

推論3.1表明實對稱區間矩陣AS的所有k階主子區間矩陣的最大特征值的上確界中的最小者是AS的第k個特征值的一個上界.記該上界為(AS),即

定理3.1說明實對稱區間矩陣各特征值的上確界具有交錯性質.同樣的,實對稱區間矩陣各特征值的下確界也具有交錯性質,即有如下定理3.2,其證明過程類似于定理3.1的證明,略去.

定理3.2(實對稱區間矩陣特征值下確界的交錯定理) 設AS是實對稱區間矩陣,記Sn-1(AS)表示AS的所有n-1階主子區間矩陣構成的集合,則對任意的∈Sn-1(AS),有

由定理3.2可直接得如下推論.其證明過程類似于推論3.1的證明,略去.

推論3.2設AS是實對稱區間矩陣,Sk(AS)表示AS的所有k階主子區間矩陣構成的集合,則對任意的∈Sk(AS),有

推論3.2說明實對稱區間矩陣AS的所有n+1-k階主子區間矩陣的最小特征值的下確界中的最大者是AS的第k個特征值的一個下界.記該下界為(AS),即

4.實對稱三對角區間矩陣特征值界的估計

實對稱三對角區間矩陣是一類特殊的實對稱區間矩陣,通常由微分方程的有限元和有限差分離散化產生,例如:離散多質點彈簧系統的剛度矩陣等.在文[14]中,YUAN證明了實對稱三對角區間矩陣的最大和最小特征值的上、下確界等價求4個實對稱三對角矩陣的極值特征值.在文[16]中,HLAD′IK在區間矩陣的特征向量分量符號不變的條件下,給出了計算實對稱三對角區間矩陣特征值確界的算法.但實對稱三對角區間矩陣的特征向量的分量符號不變這個條件太強,往往難以滿足,參見下文中的例5.2.這就要求我們進一步研究,探討可以估計任意實對稱三對角區間矩陣各特征值界的方法,即給出計算實對稱三對角區間矩陣各特征值的外近似區間(即包含特征值的閉區間)的新算法.

本節應用上節所獲實對稱區間矩陣特征值確界的交錯定理構造實對稱三對角區間矩陣TS各特征值上界和下界的估計式,最后給出計算TS各特征值外近似區間的算法.

定義4.1[14]設區間矩陣稱TS為實對稱三對角區間矩陣,其中Tc,T?分別為TS的中點矩陣和半徑矩陣.顯然,對于任意的T ∈TS,T具有以下形式:

在文[14]中,YUAN證明了實對稱三對角區間矩陣TS的最大特征值的上確界等于TS中的如下矩陣U的最大特征值,即有如下引理4.1.

引理4.1[14]設TS是形如(4.1)式的實對稱三對角區間矩陣,令

證首先證明-TS是實對稱三對角區間矩陣.因為TS是實區間矩陣,由區間矩陣的定義知,-TS也是實區間矩陣;設T是TS中任意的對稱三對角矩陣,則-T ∈-TS,又-T也是實對稱三對角矩陣,所以-TS是實對稱三對角區間矩陣.

現在證明TS和-TS的特征值的確界滿足(4.2)式,即需證明

設實對稱三對角矩陣T和-T的特征值分別為:

由矩陣特征值的定義知,T和-T的特征值滿足

由引理2.1知,對任意的i ∈N,存在T ∈TS,滿足

又由(4.4)式知

由(4.5)式和(4.6)式即得(4.3)式.

注4.2定理4.1說明TS的第i個特征值的下確界(下界)可以通過求-TS的第n+1-i個特征值的上確界(上界)的相反數給出,所以本文只給出計算TS各特征值上界的估計式.

由引理4.1和推論3.1可以給出估計實對稱三對角區間矩陣各特征值上界的方法,即有如下定理4.2.

定理4.2設TS是形如(4.1)式的實對稱三對角區間矩陣,則對任意的k ∈N,

是TS的第k個特征值λk(TS)的一個上界,且

定理4.3設TS是形如(4.1)式的實對稱三對角區間矩陣,則對任意的k ∈N,有

其中Tc,T?分別為TS的中點矩陣和半徑矩陣,j=0,1,···,n-k,Sn-j(T?)表示矩陣T?的所有n-j階主子矩陣構成的集合.

證由實對稱三對角區間矩陣TS可表示為TS=[Tc-T?,Tc+T?]知,任意的T ∈TS可表示為T=Tc+δT,其中δT ∈[-T?,T?]為實對稱矩陣.由引理2.3知,對任意的k ∈N有

其中j=0,···,n-k.再由定理4.2得

由(4.8)式和(4.9)式即得(4.7)式.

由引理4.2知,TS與TS的子集合TD={T ∈TS|aii=?i ∈N}的各特征值有相同的上界.由于TD仍是實對稱三對角區間矩陣,將定理4.3的結論應用于TD可以得到TS各特征值上界的估計,即有下面的定理4.4.

Tc,T?分別是TS的中點矩陣和半徑矩陣,j=0,1,···,n-k,Sn-j(T?-D)表示矩陣T?-D的所有n-j階主子矩陣構成的集合.

由于定理4.2-4.4都是實對稱三對角區間矩陣TS各特征值上界的估計式.下面將三個定理的結果取最小者作為實對稱三對角區間矩陣TS各特征值的上界,給出計算TS各特征值外近似區間的如下算法.

算法4.1

5.數值例子

本節應用本文的定理4.2-4.4和算法4.1,計算兩個實對稱三對角區間矩陣各特征值的外近似區間,并與幾個現有算法進行比較.在表1和表2中,P1、P2、P3和P分別表示利用定理4.2-4.4和算法4.1得到實對稱三對角區間矩陣各特征值的外近似區間;Q表示HLAD′IK等學者在文[15]中給出的實對稱區間矩陣各特征值的外近似區間;M表示HLAD′IK在文[16]中給出的實對稱三對角區間矩陣各特征值的近似區間.

表1 實對稱三對角區間矩陣TS各特征值的近似區間

表2 實對稱三對角區間矩陣KS各特征值的近似區間

例5.1求如圖1中具有單位質量和區間剛度的離散四質點彈簧系統的剛度矩陣各特征值界的估計.其中各彈簧的剛度系數分別為k1=1000±10N/m;k2=2000±15N/m;k3=3000±20N/m;k4=4000±25N/m;k5=5000±30N/m.

圖1 四質點彈簧系統

根據離散多質點彈簧系統的剛度矩陣與剛度系數之間的關系可得到該彈簧系統的區間剛度矩陣為

一方面,對比表1中P與Q的數據,不難發現利用算法4.1得到TS各特征值的外近似區間更小,運行時間也更少.另一方面,由于該例子的特殊性,TS的特征向量分量符號保持不變,故可用文[16]中的算法進行計算,M中給出TS各特征值的近似區間就等于TS的各特征值區間,再對比P中的數據,可以觀察到利用算法4.1得到TS各特征值的外近似區間與TS的各特征值區間差距不大,并且不用去驗證TS是否滿足先驗條件,計算成本也更小.觀察P1、P2、P3中的數據還可以發現,當實對稱三對角區間矩陣各特征值區間重疊較少或不重疊時,利用定理4.3和定理4.4進行特征值區間的估計,結果較為理想;而利用定理4.2進行特征值區間的估計,結果并不理想.

例5.2計算實對稱三對角區間矩陣KS各特征值的界,其中

對比表2中P與Q的結果,可以發現利用算法4.1得到KS各特征值的外近似區間更小,運行時間也更少.又因為KS不滿足文[16]中所給算法的適用條件,所以不能給出KS各特征值的外近似區間.而本文給出的算法4.1能夠更好的獲得任意實對稱三對角區間矩陣各特征值的外近似區間.觀察P1、P2、P3中的數據還可以發現,當實對稱三對角區間矩陣各特征值區間重疊較多時,利用定理4.2進行特征值區間的估計,結果較為理想;而利用定理4.3和定理4.4進行特征值區間的估計,結果并不理想.

以上兩個例子表明,由于算法4.1是將三個定理的結果取最小者作為實對稱三對角區間矩陣各特征值的上界,故本文的算法克服了實對稱三對角區間矩陣各特征值區間重疊情況對估計結果的影響,所以本文算法能夠較好的估計任意實對稱三對角區間矩陣的各特征值區間.

6.總結

本文將實對稱矩陣特征值的交錯定理推廣到實對稱區間矩陣,給出了實對稱區間矩陣特征值確界的交錯定理,并應用其給出了計算實對稱三對角區間矩陣特征值界的新算法.文中數值例子表明,與一些現有算法相比,本文算法適用于所有的實對稱三對角區間矩陣,得到的界較為精確,計算成本也更加小.