變分不等式問題和半壓縮映射有限簇的強收斂定理

房萌凱 高興慧 郭玥蓉 王永杰

文章編號? 1000-5269（2024）01-0031-06

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.04

收稿日期：2023-06-26

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61866038）;國家級大學生創新訓練計劃資助項目（202210719022）; 延安大學研究生教育創新計劃資助項目（YCX2023012）

作者簡介：房萌凱（1999—），女，在讀碩士，研究方向：非線性泛函分析研究，E-mail： 455448281@qq.com.

*通訊作者：高興慧，E-mail： yadxgaoxinghui@163.com.

摘? 要：在Hilbert空間中，首先，構造了一種新的平行迭代方法用于逼近偽單調變分不等式的解集和半壓縮映射有限簇的公共不動點集的公共元；其次，在適當假設條件下，證明了該算法生成的迭代序列的強收斂性；最后，給出具體的數值實驗檢驗了所提出算法的有效性。

關鍵詞：變分不等式；半壓縮映射有限簇；強收斂定理

中圖分類號：O177.91

文獻標志碼：A

設H是實Hilbert空間， 〈·，·〉和‖·‖分別表示H中的內積和范數。 設x∈H，C是H中的非空閉凸子集，設A：H→H為非線性映射。經典的變分不等式問題是尋找一點x*∈C，滿足

〈Ax*，x－x*〉≥0，x∈C（1）

記Ω為問題（1）的解集。

變分不等式用于研究理論和應用科學中的一些問題，如最小化問題、最優控制問題，并在經濟學，工程力學和非線性規劃等領域發揮著重要作用［1-3］ 。為求解變分不等式問題，許多學者提出了許多算法［4-11］，投影算法是求解變分不等式最簡單、最有效的方法之一。其中，TSENG［5］提出了如下改進的投影算法

yn=PC（xn－λAxn）

xn+1=xn－λ（Ayn－Axn）

其中，λ∈（0，1L），映射A在H上單調且Lipschitz連續，TSENG［5］證明了此算法生成的迭代序列弱收斂于單調變分不等式的解。為得到強收斂定理，YANG等［7］提出如下投影算法

yn=PC（xn－λnAxn）zn=yn+λn（Axn－Ayn）xn+1=αnf（xn）+（1－αn）zn

其中，

λn+1=minμ‖xn－yn‖‖Axn－Ayn‖，λn，Axn－Ayn≠0λn，Axn－Ayn=0

其中，映射A是單調且Lipschitz連續的，YANG等［7］證明了上述算法產生的迭代序列強收斂于單調變分不等式的解。

關于半壓縮映射T：H→H的不動點問題，找x*∈H，使得Tx*=x*，用F（T）來表示T的不動點集，即F（T）={x*∈H | Tx*=x*}。近些年，許多學者提出求解變分不等式問題和不動點問題的公共元的迭代算法［12-15］。其中，楊藍翔等［14］提出如下自適應慣性投影算法

ωn=xn+αn（xn－xn－1）

yn=PC（ωn－λnAωn）

zn=yn－λn（Ayn－Aωn）

xn+1=ηnf（xn）+（1－ηn）[φnT（zn）+（1－φn）zn]

其中，

λn+1=minμ‖ωn－yn‖‖Aωn－Ayn‖，λn+pn，Aωn－Ayn≠0

λn+pn，Aωn－Ayn=0

其中，f：H→H為系數為κ∈（0，1）的壓縮映射，T：H→H為非擴張映射，映射A在H上為偽單調且Lipschitz連續， 楊藍翔等［14］證明此算法生成的迭代序列強收斂于偽單調變分不等式解集和非擴張映射不動點集的公共元。

受上述工作的啟發，本文提出一種新的平行迭代算法，證明了新算法產生的迭代序列強收斂于偽單調變分不等式解集和半壓縮映射有限簇的公共不動點集的一個公共元素。本文所得結果改進和推廣了文獻［12-15］的相關結論。

1? 預備知識

本文用→表示強收斂，表示弱收斂。對x，y∈H，α∈R，有

‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2〈x，y〉≤‖x‖2+2〈y，x+y〉；

‖αx+（1－α）y‖2=α‖x‖2+

（1－α）‖y‖2－α（1－α）‖x－y‖2

任給x∈H，則C中存在唯一的最近點PCx滿足

‖x－PCx‖≤‖x－y‖，y∈C

這里PC叫做H到C上的投影算子，易知PC為H到C上的非擴張映射。

定義1［16］? 設T：H→H是一映射：

（1）稱T為偽單調的，若〈Tx，y－x〉≥0〈Ty，y－x〉≥0，x，y∈H；

（2）稱T為L-Lipschitz連續的，若‖T（x）－T（y）‖≤L‖x－y‖，x，y∈H，其中，L為Lipschitz常數且L>0；

（3）稱T是α-半壓縮映射，如果x∈H，z∈F（T），都存在0≤α<1滿足

‖Tx－z‖2≤‖x－z‖2+α‖（I－T）x‖2

事實上，上述定義等價于

〈Tx－z，x－z〉≤‖x－z‖2+α－12‖（I－T）x‖2

也等價于

〈Tx－x，x－z〉≤α－12‖（I－T）x‖2

若α=0，則T為擬非擴張映射。顯然，擬非擴張映射是半壓縮映射，但反之不成立；

（4）稱T為弱序列連續，若任給序列{xn}滿足xnx，則有TxnTx。

定義2［16］? 設T：H→H為非線性映射滿足F（T）≠，稱I－T在零點是半閉的，若序列{xn}滿足xnx和（I－T）xn→0，則有x∈F（T）。

引理1［16］ 設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，給定x∈H，z∈C，則

z=PC（x）〈x－z，z－y〉≥0，y∈C

引理2［17］? 設映射T：H→H是α-半壓縮映射且F（T）≠，則有F（T）是H中的閉凸集。

引理3［18］? 設{an}是非負實數序列，{an}是（0，1）中的實數序列滿足∑∞n=1αn=∞，{bn}為實數列。 假設

an+1≤（1－αn）an+αnbn，n≥1

如果lim supk→∞ bnk≤0對于{an}的每個子列{ank}滿足lim infk→∞（ank+1－ank）≥0，則limn→∞ an=0。

2? 算法分析

為引出算法，本文給出如下假設：

（C1）A：H→H是偽單調、L-Lipschitz連續且在C上序列弱連續；f：H→H是具有常數為δ∈[0，1）的壓縮映射；

（C2）Ti：H→H是τi-半壓縮映射且I－Ti在零點是半閉的，并且滿足∩si=1F（Ti）≠，其中，i=1，2，…，s；

（C3）Ω∩∩si=1F（Ti）≠；

（C4）序列{βn}，{αin}滿足{βn}，{αin}（0，1）且

limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，

limn→∞ βn=0，∑∞n=1βn=∞，

∑si=0αin=1，lim infn→∞ α0n>τ，

lim infn→∞ αin>0（1≤i≤s）

其中，τ=max1≤i≤sτi?，F引進下述算法：

算法1? 給定λ1>0，0<μ<1，選取x0，x1∈H，n：=1。

第1步 令ωn=xn+σn（xn－xn－1）并計算

tn=PC（ωn－λnAωn）

這里

λn+1=minμ‖ωn－tn‖‖Aωn－Atn‖，λn，Aωn－Atn≠0λn，Aωn－Atn=0（2）

第2步 計算

un=tn－λn（Atn－Aωn）

第3步 計算

yn=α0nun+∑si=1αinTiun

第4步 計算

xn+1=βnf（xn）+（1－βn）yn

令n：=n+1，轉到第1步。

引理4［8］? 假設條件（C1）成立，則自適應規則生成的序列{λn}非增且limn→∞λn=λ≥minμL，λ1。

引理5［19］? 假設條件（C1）—（C4）成立，設{ωn}為算法1生成的序列，若存在子列{ωnk}弱收斂于z∈H和limk→∞‖tnk－ωnk‖=0，則z∈Ω。

引理6［6］? 假設條件（C1）—（C4）成立，{un}是由算法1所產生的序列，則

‖un -q‖2≤‖ωn -q‖2-（1-λ2n λ2n + 1 μ2）‖tn -ωn ‖2，q∈Ω（3）

定理1? 假設條件（C1）—（C4）成立，則算法1所產生的迭代序列{xn}強收斂于某一個元素q∈Ω∩∩si=1F（Ti），其中，q∈PΩ∩∩si=1F（Ti）f（q）。

證? 首先，證明序列{xn}有界。 根據0<μ<1可得

limn→∞（1-λ2n λ2n+1 μ2）=1-μ2>0

結合（3）式得

‖un－q‖≤‖ωn－q‖（4）

事實上，取φin=αin1－α0n（1≤i≤s），有∑si=1φin=1，對n≥0，

α0nun+∑si=1αinTiun

=α0nun+（1－α0n）∑si=1φinTiun

=∑si=1φin（α0nun+（1－α0n）Tiun）

由于對i∈{1，2，…，s}，Ti是τi-半壓縮映射，則顯然Ti是τ-半壓縮映射，故由‖·‖2的凸性和{yn}的定義有

‖yn－q‖2=‖α0nun+∑si=1αinTiun－q‖2

≤∑si=1φin‖α0nun+（1－α0n）Tiun－q‖2

≤∑si=1φin（‖un－q‖2－（1－α0n）（α0n－τ）‖Tiun－un‖2）

=‖un－q‖2－（1－α0n）（α0n－τ）∑si=1φin‖Tiun－un‖2

=‖un－q‖2－（α0n－τ）∑si=1αin‖Tiun－un‖2

≤‖un－q‖2（5）

根據{ωn}定義得

‖ωn－q‖=‖xn－q+σn（xn－xn－1）‖

≤‖xn－q‖+βnσnβn‖xn－xn－1‖

由于limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，則存在M1>0，使得對n≥1，有σnβn‖xn－xn－1‖≤M1，

得

‖ωn－q‖≤‖xn－q‖+βnM1（6）

結合（4）—（6）式得

‖yn－q‖≤‖un－q‖≤‖ωn－q‖

≤‖xn－q‖+βnM1

由{xn}的定義得

‖xn+1－q‖=‖βn（f（xn）－q）+（1－βn）（yn－q）‖

≤βn‖f（xn）－q‖+（1－βn）‖yn－q‖

=βn‖f（xn）－f（q）+f（q）－q‖+（1－βn）‖yn－q‖

≤βnδ‖xn－q‖+βn‖f（q）－q‖+

（1－βn）‖xn－q‖+βnM1

=（1－βn（1－δ））‖xn－q‖+

βn（1－δ）‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

≤max‖xn－q‖，‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

≤…≤max‖x0－q‖，‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

故{xn}有界。

其次，證明

（1-βn）1-λ2nλ2n+1μ2‖tn-ωn‖2+

（1-βn）（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2

≤‖xn－q‖2－‖xn+1－q‖2+βnM4 （7）

根據（6）式得

‖ωn-q‖2≤（‖xn-q‖+βnM1）2

=‖xn-q‖2+βn[βnM21+2M1‖xn-q‖]

≤‖xn－q‖2+βnM2（8）

其中，M2=supn≥1 （βn M21? + 2M1 ‖xn -q‖）。根據‖·‖2的凸性以及（3），（5），（8）式得

‖xn+1-q‖2=‖βn（f（xn）-q）+

（1-βn）（yn-q）‖2

=βn‖f（xn）-f（q）+f（q）-q‖2+

（1-βn）‖yn-q‖2-βn（1-βn）‖f（xn）-yn‖2

≤βn[‖f（xn）-f（q）‖2+2〈f（q）-q，f（xn）-q〉]+

（1-βn）‖yn-q‖2-βn（1-βn）‖f（xn）-yn‖2

≤βnδ‖xn-q‖2+2βn‖f（q）-q‖‖f（xn）-q‖+

（1-βn）[‖xn-q‖2-1-λ2nλ2n+1μ2‖tn-ωn‖2-

（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2+βnM2]

≤‖xn-q‖2-（1-βn）1-λ2nλ2n+1‖tn-ωn‖2-

（1-βn）（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2+

βnM2+βnM3

其中，M3=supn≥1（2‖f（q）－q‖‖f（xn）－q‖），令M4=M2+M3。由此可得（7）式成立。

再次，證明

‖xn+1－q‖2≤（1－βn（1－δ））‖xn－q‖2+

βn（1－δ）[M5σn（1－δ）βn‖xn－xn－1‖+

21－δ〈f（q）－q，xn+1－q〉]（9）

根據{xn+1}的定義以及（3），（5）式得

‖xn+1－q‖2=‖βn（f（xn）－f（q））+βn（f（q）－

q）‖+（1－βn）（yn－q）‖2

≤‖βn（f（xn）－f（q））+（1－βn）（yn－q）‖2+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉

≤βnδ‖xn－q‖2+（1－βn）‖yn－q‖2+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉（10）

‖yn－q‖2≤‖un－q‖2≤‖ωn－q‖2

≤‖xn－q+σn（xn－xn－1）‖2

≤‖xn－q‖2+2σn〈xn－xn－1，ωn－q〉

≤‖xn－q‖2+2σn‖xn－xn－1‖‖ωn－q‖

≤‖xn－q‖2+σn‖xn－xn－1‖M5（11）

其中，M5=supn≥1（2‖ωn－q‖）。因此將（11）式代入（10）式得

‖xn+1－q‖2≤βnδ‖xn－q‖2+（1－βn）×

[‖xn－q‖2‖+σn‖xn－xn－1‖M5]+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉

≤（1－βn（1－δ））‖xn－q‖2+βn（1－δ）×

[M5σn（1－δ）βn‖xn－xn－1‖+21－δ〈f（q）－q，

xn+1－q〉]

則（9）式成立。

最后，證明{‖xn－q‖2}收斂到零。

根據引理3知，只要證明當{‖xn－q‖}的每一個子列{‖xnk-q‖}滿足lim infk→∞ （‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）≥0，有lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－q〉≤0。

為此，假設{‖xnk－q‖}是{‖xn－q‖}的子列滿足lim infk→∞ （‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）≥0，則

lim infk→∞（‖xnk+1－q‖2－‖xnk－q‖2）

=lim infk→∞[（‖xnk+1－q‖+‖xnk－q‖）×

（‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）]≥0

由（7）式得

lim supk→∞{（1-βnk）1-λ2nkλ2nk+1μ2‖tnk-ωnk‖2+

（1-βnk）（a0nk-τ）∑si=1αink‖Tiun-unk‖2}

≤lim supk→∞（‖xnk-q‖2-‖xnk+1-q‖2+

βnM4）≤0

于是有

limk→∞‖tnk－ωnk‖=0（12）

limk→∞‖Tiunk－unk‖=0（i=1，2，…，s）

由limk→∞‖tnk－ωnk‖=0和limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，以及條件（C4）得

‖xnk+1－ynk‖≤βnk‖f（xnk）－ynk‖→0（k→∞）（13）

‖ynk－unk‖=‖α0nkunk+（1－α0nk）∑si=1φinkTiunk－unk‖

≤（1－α0nk）∑si=1φink‖Tiunk－unk‖→0（k→∞）（14）

‖ωnk－xnk‖≤βnkσnkβnk‖xnk－xnk－1‖→0（k→∞）（15）

‖unk－xnk‖=‖unk－ωnk‖+‖ωnk－xnk‖

≤‖tnk－ωnk‖+λnkλnk+1μ‖tnk－ωnk‖+

‖ωnk－xnk‖→0（k→∞）（16）

由（13）—（16）式得

‖xnk+1－xnk‖=‖xnk+1－ynk‖+‖ynk－unk‖+

‖unk－xnk‖→0（k→∞）（17）

因為{xnk}是有界的，則存在子列{xnkj}使得xnkjz∈H，并且滿足

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉

=lim supj→∞〈f（q）－q，xnkj－q〉

=〈f（q）－q，z－q〉（18）

注意到xnkz，根據‖xnk－ωnk‖→0，可知ωnkz（n→∞），再結合（12）式和引理5得z∈Ω。另一方面，由（16）式可得unkz，又I－Ti在零點半閉，故由limk→∞‖Tiunk－unk‖=0可得z∈F（Ti）（i=1，2，…，s），即z∈∩si=1F（Ti）。因此z∈Ω∩∩si=1F（Ti）。

由q∈PΩ∩∩si=1F（Ti）f（q）和引理1得

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉=〈f（q）－q，z－q〉

≤0（19）

再根據（17）式及（19）式得

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－q〉

≤lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－xnk〉+

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉

≤0（20）

因此，結合條件（C4）及（9），（20）式和引理3可得limn→∞‖xn－q‖=0，即算法1迭代產生的序列{xn}強收斂到q。

本文所得的結果從以下幾個方面改進和推廣了文獻［7］和文獻［14］的相關結論：

（1）將文獻［14］中的一個不動點推廣到有限個公共不動點，并將文獻［14］中的非擴張映射不動點推廣到了半壓縮映射不動點；

（2）當α0n≡1時，本文算法1可變成文獻［7］的算法；

（3）將文獻［7］中單調映射弱化為偽單調映射。

3? 數值實驗

本節數值實驗是在MATLAB-R2022a和Windows11中運行。用“n”表示算法的迭代次數，“‖xn+1－xn‖”來測量第n步的誤差，迭代終止條件為‖xn+1－xn‖≤ε。

例1? 設映射A：R2→R2，滿足Ax=Mx+q，其中，q∈R2，M=NNT+P+D，其中，N是2×2階矩陣，P是2×2階斜對稱矩陣，D是2×2階對角矩陣且對角線上的元素非負，q，N，P的元素在（－2，2）中隨機產生，D的對角元素在（0，2）中隨機取值，映射A是單調且Lipschitz連續的，其中，Lipschitz常數是L=‖M‖，定義C={x=（ε1，ε2）∈R2|εi≤2，i=1，2}是非空閉凸集。針對例1選取ε為10－6，初始點x0=x1=（1，1）T，令f（x）=x20，定義映射Ti：H→H（i=1，2，3，4）分別是T1=－x12，T2=－x6，T3=x3，T4=x15，在算法1中選取參數αn=1n+1，α0n=n5n+4，α1n=n+15n+4，α2n=n+25n+4，α3n=n5n+4，α4n=n+15n+4，σn=0.1，λ1=0.5，μ=0.99。迭代終止條件為‖xn+1－xn‖≤ε，數值實驗結果見圖1。

從例1的數值實驗結果來看，隨迭代步數的增長，誤差‖xn+1－xn‖越來越小并趨于0，驗證了本文算法的有效性。

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（責任編輯：于慧梅）

Strong Convergence Theorem of Variational Inequality Problems and

a Finite Family of Semi-contractive Mappings

FANG Mengkai， GAO Xinghui*， GUO Yuerong， WNAG Yongjie

（School of Mathematics and Computer Science， Yanan University， Yan an 716099， China）

Abstract：

In Hilbert spaces， firstly，a new parallel iterative method is proposed to approximate the common elements of the set of solutions of pseudo-monotone variational inequality and a common fixed point set of a finite family of semi-contractive mappings. Secondly，under appropriate assumptions， the strong convergence of the iterative sequence generated by this algorithm is proved. Finally， some concrete numerical experiments are also included to explain the effectiveness of the proposed methods.

Key words：

variational inequality; a finite family of semi-contractive mappings; strong convergence theorems