理解題目明通法 探尋本質顯立意
——例談用怎樣解題表分析框架評析中考幾何壓軸題

聞國梁

（浙江省杭州市余杭區五常中學）

2023年中考數學浙江杭州卷最后一題為幾何壓軸題，以三角形和圓為背景，考查了等腰三角形、直角三角形、圓等基本圖形的相關性質，綜合性強，對學生來說有一定難度.當遇到比較難的問題時，按照波利亞怎樣解題表的四個階段（弄清問題，擬訂計劃，實現計劃，回顧反思）解題，不僅能產生多種解題思路，使問題迎刃而解，而且可以洞穿問題的本質，舉一反三，從而達到“做一題、會一類、通一片”的效果.在解題過程中，以題育人，有助于提高學生系統解決問題的能力，發展理性思維，從而落實立德樹人根本任務.

一、呈現題目

題目如圖1，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點F，交線段OB于點G（不與點O，B重合），連接OF.

圖1

（1）若BE=1，求GE的長.

（2）求證：BC2=BG·BO.

（3）若FO=FG，猜想∠CAD的度數，并證明你的結論.

為了聚焦文章的核心內容，略去對第（1）（2）小題的討論.下文按照波利亞怎樣解題表的四個階段展開對第（3）小題的解法、本質和變式的研究.

二、理解題目

第（3）小題要求猜想∠CAD的度數，并證明結論.此題給出了3 個已知條件：①在⊙O中，直徑AB⊥CD；②CF⊥AD；③FO=FG.先對問題進行定性分析，當∠CAD的大小確定時，等腰三角形ACD的形狀隨之確定，其他圖形的形狀，以及FG與FO的數量關系也隨之確定.

不妨設∠CAD=α，當α>60°時，點G在點O的上方；當α= 60°時，點G與點O重合；當α< 60°時，點G在點O的下方.因此，我們可以確定α<60°.當α的度數由小到大變化時（0°<α<60°），∠FGO的度數逐漸減?。?0°<∠FGO<90°），∠FOG的度數逐漸增大（0°< ∠FOG< 120°）.所以必存在一個α的值，使得∠FGO=∠FOG.反之，當FO=FG時，亦可以求得∠CAD的度數.同時，學生可以用量角器測量∠CAD的度數并大膽地提出猜想，進而通過作圖來驗證猜想.

由條件①可以得到∠CAB=∠DAB，由條件②可以得到∠DCF=∠DAB，由條件③可以得到∠FOG=∠OGF.綜上分析，可知圖中相等的角主要有三類，即∠CAB=∠DAB=∠DCB=∠DCF=，∠CAD=∠BCG=∠OFG=α，∠FOG= ∠OGF= ∠CGB= ∠CBG= ∠D= ∠ACD=；平行線有FO∥BC；相似的三角形有△FOG∽△CBG∽△ACD.

題目所給的3 個已知條件所蘊含的隱性條件十分豐富，這些條件在后續的解題思路中均直接使用，不再贅述.

三、擬訂方案

此題主要考查的是三角形和圓的相關知識，因此在問題解決時應該聚焦三角形邊角之間的關系及圓的軸對稱性和旋轉對稱性的討論.

解題的成功與否取決于選擇的角度，也取決于能否從容易接近的一側來攻克要塞.在平時解題時，遇到此類求角度的問題通常采用以下兩種解決方案.

第一，聚焦條件中角度間的關系.從此題中所給的角度的數據出發，可以結合三角形、圓中有關角的性質進行求解.三角形中關于角的性質有三角形的內角和及外角的性質，圓的軸對稱性主要體現在垂徑定理上，旋轉對稱性主要體現在圓心角、弧、圓周角三者間數量關系的轉化上.于是將求角度問題轉化為探尋圓與三角形中相關角之間的關系.

第二，聚焦條件中線段間的數量關系.在直角三角形中，根據銳角三角函數的性質可以求出邊之間的數量關系，求出三角函數值，從而求出角度.求線段長度常用的方法有勾股定理、面積公式、相似三角形、三角函數等.當問題中沒有給出線段長度時，為了便于求解，可以設某條線段的長度為“單位1”.

四、執行方案

1.聚焦條件中角度間的關系

思路1（聚焦FO∥BC的條件）：如圖2，延長FO交AC于點H.由已知，得FO∥BC.所以∠AHF=∠ACB=90°.由垂徑定理，可知HF垂直平分線段AC，所以△AFC為等腰直角三角形.所以∠CAD=45°.

圖2

思路2（將角轉化到圓心角上）：如圖3，連接OC，可得∠AOC=180°-∠BOC=180°-α，∠COF=∠COG+∠GOF= 90°+，∠AOF= 360°- ∠AOC- ∠COF=90°+所以∠AOF= ∠COF.又因為OA=OC，OF=OF，所以△AOF≌△COF.所以AF=CF.從而求得∠CAD=45°.

圖3

思路3（將角轉化到圓周角上）：如圖4，延長CF交⊙O于點P，連接AP，OP.根據圓周角定理，可得∠DAP= ∠DCP= ∠BAD.因為∠AFG= ∠AFP= 90°，AF=AF，所以△AFG≌△AFP.所以FP=FG=OF.所以∠GOP=90°.從而求得∠CAD= 45°.也可以證A，O，F，P四點共圓，從而得到∠AOP=90°.

圖4

思路4（將角轉化到四邊形COFD上）：如圖5，連接OC，OD.由分析可知，∠OCD=90°-α，∠DFO=90°+α，即∠OCD+ ∠DFO= 180°.所以C，O，F，D四點共圓.所以∠COD=∠CFD=90°.所以∠CAD=45°.

圖5

2.聚焦條件中線段間的數量關系

不妨設⊙O的半徑為“單位1”，OE=k.如圖6，連接CO，可得∠COE= ∠CAD=α.則在等腰三角形BCG中，可得GE=BE=1-k，BG=2-2k，OG=OB-BG=2k-1，聚焦線段間的數量關系，根據勾股定理、相似三角形、銳角三角函數的性質即可求解.

圖6

思路5：如圖7，過點G作GH⊥AC于點H.在Rt△ACF中，因為AG平分∠CAF，所以GH=GF.所以因為△OGF∽△BGC，所以即解得所以α=45°.

圖7

思路6：如圖8，過點F作FI⊥AB于點I，可得，AE= 1 +k.因為IF∥CD，所以△AIF∽△AED.所以即解得所以α=45°.

圖8

思路7：如圖8，過點F作FI⊥AB于點I，可得△GIF∽△GEC.所以所以IF=kCE=.結合已知可得△AIF∽△FIG.所以，即IF2=IG·AI.所以解得所以α=45°.

五、回顧反思

1.探尋本質

一個好的數學問題，問題的本質要有深度，結論具有可推廣性.回顧題目中的圖形，“做減法”去除輔助圖形，探尋本質.如圖9，原題中的點G為等腰三角形ACD的垂心，延長FO交AC于點H，根據FO=FG，證明得到FH⊥AC；作點F關于直線AE的對稱點F′，可知點O為△AFF′的垂心.于是將圖1 中的以AB為直徑的⊙O及BC，BE去掉，問題的本質即探究等腰三角形ACD和等腰三角形AFF′垂心之間的關系.

圖9

為了便于探究垂心間的關系，我們將符號進行統一，將條件進行更一般化的表述.如圖10，已知點H0為銳角∠BAC平分線AD上的一點，過點H0作H0P1⊥AB，交AB于點P1；過點P1作P1P2⊥AC，交AC于點P2，交AD于點H1；過點P2作P2P3⊥AB，交AB于點P3，交AD于點H2.按此規律依次作垂線，過點Pn作PnPn+1垂直于角的另一邊，交角的另一邊于點Pn+1，交AD于點Hn.記點Pn關于直線AD的對稱點為Pn′.由作圖可知，點Hn為△APnPn′的垂心（n為正整數）.

圖10

不妨設∠BAC=α，AH0的長為“單位1”.因為H0P1⊥AB，P2P3⊥AB，所以△P2H2H1∽△P1H1H0，兩個等腰三角形的相似比又因為AH0平分∠BAC，所以所以k=cosα，H1H0=1-k.由此類推，可得以下結論.

結論1：△PnHnHn-1為等腰三角形，相鄰兩個等腰三角形的相似比

結論2：Hn+1Hn=H1H0·kn=(1-k)kn.

結論3：HnH0= (1-k)(1+k+k2+…+kn-1)=1-kn，AHn=kn.

題目的第（3）小題相當于當點H2經過AH0的中點時，求α的值.由結論3，可得因為k>0，所以，得α=45°.通過“做減法”，探究問題的本質，用代數方法表達幾何圖形的性質是如此簡潔而美妙！

2.變式推廣

聚焦問題的本質，對條件和結論進行普遍化、特殊化、類比、分解和重組等操作，設計變式，進一步推廣結論.

變式1：如圖11，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的高線，相交于點F，若點F為△ABC的重心，求∠BAC的度數.

圖11

思路：如圖12，延長FD至點G，使FD=DG，連接BG.記AG=1，則cos∠BAC=k.易證GB⊥AB，AF=類比圖10，點G相當于點H0，點F相當于點H1，由結論3可得所以∠BAC=60°.

圖12

變式2：如圖13，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的高線.過點E作EG⊥AB，分別交AB，AD于點G，H；過點G作GI⊥AC，分別交AC，AD于點I，J.若點J為△ABC的外心，求∠BAC的余弦值.

圖13

思路：設△ABC外接圓的直徑為d，由點J為△ABC的外心，得.類比圖10，點J相當于點H3，由結論3可得所以即

變式3：如圖14，有一種“特殊的鏡子”，無論入射光線如何照射，反射光線與入射光線始終保持夾角為α.現有兩面鏡子AB，AC，夾角∠BAC=α，有一束光線從∠BAC平分線上的點H0處垂直照射AB，經過4次反射后，經過AH0的四等分點，求α的度數.

思路：變式3中的光線本質上與圖10中的高線是一致的，由結論3可得，即所以α=45°.

變式4：如圖15，在變式3的基礎上，將兩面鏡子的夾角∠BAC調整為，有一束光線從AC上的點P0處垂直照射AB，經過第n次反射的反射點記為Pn，若，求α的度數.

圖15

思路：由P0P1∥P2P3∥P4P5，根據平行線分線段成比例定理，可得.如圖16，作AB關于AC的對稱圖形AB′，點P3關于AC的對稱點為P3′，可得圖16與圖10類似.根據結論1，可得所以α=60°.

圖16

六、結束語

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“學業水平考試”中明確要求問題的設置要有利于考查對數學概念、性質、關系、規律的理解、表達和應用，注重考查學生的思維過程.2023 年中考數學浙江杭州卷的幾何壓軸題入口寬，有多種解決問題的路徑，使學生均能獲得成功的體驗，提高考試的信度和效度.問題聚焦對幾何圖形的基本概念和性質的考查，在幾何推理中凸顯了思維過程，考查了學生的幾何直觀和推理能力，在代數推理中考查了學生的抽象能力和運算能力，彰顯了“堅持素養立意，凸顯育人導向”的命題原則.

怎樣解題表的四個步驟和程序組成了一個完善的解題系統.在理解題目的過程中，做“加法”，挖掘隱性條件；在擬訂方案過程中，以問題為導向，制訂解題策略；在執行方案過程中，添加輔助線，完善解答過程；在回顧反思過程中，去除輔助圖形，探尋本質，在變式中運用性質，形成系統性的解題方法，提升學生的數學思維能力和學科素養.正如羅素所說：數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美.一旦形成系統性的解題方法，找到問題背后的本質和規律后，我們就能體會數學中至高的美.