基于貝葉斯動態模型的激光干涉儀漂移誤差預測

劉麗穎, 程真英, 陳 旭, 李瑞君

( 合肥工業大學 儀器科學與光電工程學院 測量理論與精密儀器安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230009)

1 引 言

漂移是測量系統的重要性能指標之一,其好壞直接影響測量系統的測量精度。激光干涉儀因其具有大測量范圍、高分辨力、高測量精度和直接溯源至激光波長等優點被廣泛應用于高精度位移測量領域[1～3]。然而,激光干涉儀在實際測量中受到溫度波動、氣流擾動、振動等外界環境因素以及激光器自身因素的影響,其測量結果隨測量時間會產生較大的漂移誤差,從而導致系統測量精度下降[4,5]。

近年來,國內外許多學者在漂移誤差抑制與補償方面進行了相關研究: 1) 利用高精度的恒溫控制箱可以降低溫度波動對測量系統結構和空氣折射率的影響,該方法操作簡單,能夠有效提高系統的測量精度,但其存在體積大、成本高、不易搬運等缺點[6～9]; 2) 采用諸如花崗巖、微晶玻璃等具有低熱膨脹系數的材料搭建測量系統的基座或框架可以減小測量系統受環境溫度引起的結構變形,進而降低結構變形引起的漂移誤差,但材料本身造價較高,對稍微復雜一些的結構更是難以加工[10,11]; 3)通過合理的結構設計可以降低漂移誤差對測量系統精度的影響,但該方法設計階段耗時較長且隨著系統結構的繁復程度有所增加[12～14]。此外,陶盼等人提出了一種利用波紋管和氣泵使空氣折射率均勻化的方法,使激光測量系統的光束穩定性提高50%[15]。Tao等提出了一種掃頻光纖干涉儀的漂移誤差補償方法,光路長度漂移誤差由共享光纖光路的光纖邁克爾遜干涉儀實時監測進而實現誤差補償[16]。Kuang等采用激光與單模光纖耦合的方式減少了激光光源引起的漂移誤差[17]。以上方法從測量系統設計的角度出發,最大限度提高系統結構的穩定性,削弱系統本身對環境的敏感性,減少漂移誤差的產生。然而,高精度的環境控制在實際測量中成本高昂,結構設計耗時長且不易實現。

相較于上述方法,采用軟件技術進行漂移誤差補償的方法具有成本低、實時性好、通用性強的特點,并且無需額外增加測量系統的體積。常用的漂移誤差補償方法有:多項式擬合[18]、小波分析[19]、時間序列分析[20,21]、神經網絡建模[22,23]、支持向量機[24]等。Plotkin等采用多項式擬合方法補償了正交磁通門傳感器的溫度漂移誤差,該方法易于實現、便于集成,但補償精度較低[18]。Song等提出一種基于稀疏冗余表示的小波降噪方法,降噪后MEMS陀螺儀殘余隨機漂移誤差的標準差為0.014 7°/s[19]。在小波降噪的基礎上,李光耀等提出基于粒子群優化BP神經網絡的光纖陀螺溫度漂移補償方法,補償后光纖陀螺在不同溫度下輸出標準差降低了60.19%[22]。小波分析方法中選擇合適的小波基函數和閾值十分困難;而神經網絡需要大量的數據樣本進行模型訓練,且容易產生過擬合、局部極小等問題。Narasimhappa等采用基于時間序列模型的自適應無跡衰退卡爾曼濾波方法減少了光纖陀螺漂移,建立時間序列模型需要對數據進行平穩化處理[21]。楊遂軍等提出了一種基于最小二乘支持向量機的硅壓阻式傳感器溫度補償模型,在0～400 ℃溫度范圍內綜合精度由3.2%提高到0.25%,該方法需要人為選擇懲罰系數和核函數[24]。

在實際測量中,激光干涉儀系統所處的測量環境復雜多變,一方面使得高精度的環境控制難以保證,另一方面使得硬件結構設計所能達到的漂移抑制效果有限。因此,如何依據系統的測量過程實現系統的實時漂移補償顯得尤為重要。此外,激光干涉儀輸出的位移信號中既包含真實測量數據又包含漂移誤差,且漂移誤差的初始狀態一般無法預知。因此,如何充分利用非測量階段采集得到的漂移數據建立相應的跟蹤預測模型,是實時補償激光干涉儀漂移誤差的關鍵。

本文引入基于無信息先驗分布的貝葉斯動態模型來建立激光干涉儀的跟蹤預測模型。分析了邁克爾遜激光干涉儀漂移誤差特點;基于貝葉斯動態模型建立了合理的預測模型結構;利用無信息先驗分布法得到了漂移誤差的初始信息,而后基于貝葉斯遞推算法估計了模型狀態參數;根據預測模型實現了干涉儀漂移誤差的預測;通過實驗驗證了該方法的正確性和有效性。

2 基于無信息先驗分布的貝葉斯動態模型及其預測原理

2.1 貝葉斯動態模型及其預測原理

建立動態模型是貝葉斯預測的基礎。激光干涉儀的漂移誤差序列在大多數情況下是隨時間變化的非平穩隨機序列,其特征主要表現為線性、周期性和隨機性,因此可以采用具有多種模型結構的貝葉斯動態線性模型進行描述。模型中狀態方程與觀測方程分別為:

Xk=AkXk-1+Wk

(1)

yk=CkXk+Vk

(2)

式中:k為離散時間;Xk為k時刻的狀態向量;Wk為狀態噪聲;yk為k時刻的漂移誤差信號;Vk為一維的觀測噪聲,且Wk與Vk相互獨立;Ak為狀態轉移矩陣;Ck為觀測矩陣。若Xk和Wk為s維矩陣,則Ak和Ck的矩陣大小分別為s×s和1×s。

設D0為k=0時初始信息的集合,Dk表示k時刻及其以前時刻所有有效信息的集合。假設狀態向量、狀態噪聲和觀測噪聲的初始先驗分布均服從正態分布,即(X0|D0)～N(m0,c0),Wk～N(0,wk),Vk～N(0,v),由式(1)可以得到k(k≥1)時刻狀態向量Xk的先驗分布密度函數:

(3)

2.2 無信息先驗分布法

在實際測量中,由于激光干涉儀的漂移誤差具有隨機性,使得遞推所需的狀態初始分布和噪聲先驗分布不易獲得。因此,引入無信息先驗法以獲得遞推所需初始信息。

上述模型中有s+1個參數(包括v),需要至少觀測s+1次來得到合適的后驗分布。在確定初始信息階段采用的觀測數據較少,無法估計出參數的任何變化,因此可設wk=0(k=1,2,…,s+1)。假設初始先驗分布密度p(X1,v|D0)∝v-1。經推導可得Xk和v(k=1,2,…,s+1)的聯合先驗和后驗分布密度函數[25]:

對聯合后驗分布密度函數進行整理可得:

(4)

當k>s+1時,將式(4)對v進行積分可以得到k時刻Xk的后驗分布密度函數:

p(Xk-1|Dk-1)∝

p(Xk|Dk-1)∝

p(yk|Dk-1)∝

(5)

綜上,可以得到基于無信息先驗分布的貝葉斯遞推算法如下所示。

初始化

H1=Os×s,h1=Os×1,λ1=0,r0=0

fork=1:s+1

end

fork>s+1

end

3 激光干涉儀的漂移誤差預測

FAN K C等研制了基于邁克爾遜干涉原理的激光干涉儀,可用于微/納米測量探頭和微納米三坐標測量機上[26]。在此基礎上,采用對稱式結構設計減小了結構熱變形并采用優化設計電路減小了干涉儀的非線性誤差,但其在實際測量中仍存在較大的漂移誤差[27]。為進一步提高該干涉儀的測量精度,減小其漂移誤差是亟需解決的問題。

3.1 邁克爾遜激光干涉儀原理及裝置

邁克爾遜激光干涉儀的工作原理如圖1所示。激光光源LC發出的部分偏振光經過偏振分光棱鏡PBS1分為透射光P光和反射光S光,兩束光分別經過1/4波片QWP1、QWP2而后被測量鏡MM和參考鏡RM反射。兩束反射光再次經過QWP1、QWP2,使得原來的P光轉化為S光、原來的S光轉化為P光。由于光線的透射和反射狀態發生變化,兩束光經反射不會原路返回激光器,而是進入QWP3。QWP3使重合后的兩束光產生干涉,消偏振分光棱鏡NPBS、PBS2和PBS3構成鑒相模塊用于獲取4路相位差為90°的光強信號,并由光電探測器PD1-PD4檢測。

實驗裝置如圖2所示。光源為532 nm波長的固體激光器(長春新產業有限公司,型號:MSL-III-532 nm)。配套光學器件由廠家根據波長定制,底板及支座均采用因瓦合金(線膨脹系數α:1.5×10-6/℃)加工而成。干涉儀的輸出位移信號由16位的數據采集卡(美國NI,型號:NI-6259)采集。

圖2 實驗裝置圖Fig.2 Experimental setup

3.2 漂移誤差分析與建模

為實現激光干涉儀的漂移誤差建模預測,首先要了解分析漂移誤差的特征和變化規律,建立符合其變化規律的模型。將第3.1節描述的激光干涉儀置于恒溫計量實驗室中(溫度:20 ℃±0.5 ℃,相對濕度:50%±5%),調整參考反射鏡RM使干涉儀的輸出信號為零。測量反射鏡MM支座在光軸方向上的長度為7 mm,由熱變形伸長量計算公式ΔL=αL(T2-T1)可知,其在光軸方向上總體伸長量為±5.25 nm。由于支座受熱變形向兩個方向伸長,輸入量的實際變化量為±2.625 nm,與漂移誤差相比可以忽略不計。

為了降低激光器預熱和人為調整干預的影響,實驗前激光器開啟1 h,并保持周圍安靜。而后利用數據采集卡記錄非測量階段輸出位移的漂移誤差數據?？紤]到大多數位移測量實驗可以在1 h內結束,以及預測模型建立需要一段漂移誤差數據,因此采集2 h的漂移誤差數據用于建模預測。在相同實驗條件下,連續6次記錄的漂移誤差曲線如圖3所示。采樣頻率設置為1 Hz。

圖3 邁克爾遜干涉儀的漂移誤差數據Fig.3 Drift error data of Michelson interferometer

從圖3可以看出:激光干涉儀在持續工作2 h內,漂移誤差序列的變化規律主要表現為線性和周期性。此外,還具有一定的隨機性。在長時間工作過程中,外界控溫環境的溫度波動以及激光器自身產熱使得系統內部溫度變化,而溫度變化引起的機械變形、光路干擾等因素會使得漂移誤差序列呈現線性增長和周期性波動。從圖3還可以看出:雖然6次重復漂移實驗結果的總體規律特性是一致的,但漂移實驗的重復性并不好。說明漂移誤差具有較大的隨機性。因此,在綜合考慮漂移誤差規律的同時,還需要對其進行實時監測,從而才能建立激光干涉儀精確的漂移誤差預測模型。

貝葉斯動態模型具有多種模型結構,如周期模型、回歸模型、多項式模型、噪聲模型等,這些模型還可以依照疊加原理進行疊加,故而非常適合建立包含線性成分、周期成分及隨機成分的誤差精確預測模型。根據激光干涉儀漂移誤差的特點,采用貝葉斯線性回歸分量模型和周期分量模型組合構建預測模型。

貝葉斯線性回歸模型可以表示為:

式中:[akbk]′為狀態變量;ak和bk分別表示線性規律的斜率和截距。相應的矩陣參數為:

(11)

周期模型可以表示為:

(12)

式中:ω=2π/T,T為誤差序列周期分量中每個周期的采樣點數。當T為奇數時,認為誤差序列由s=(T+1)/2個調和分量和水平分量組成,當T為偶數時,認為誤差序列由s=T/2個調和分量和水平分量組成。周期模型分量的個數i需要根據實際測得漂移信號的頻譜分析結果進行確定。

由于線性模型疊加后仍是線性模型,疊加原理也適用于貝葉斯動態線性模型。激光干涉儀的漂移誤差序列主要呈現線性和周期性,因此采用1個線性回歸分量模型和i個周期分量模型疊加對其進行描述。疊加得到的組合模型為:

狀態轉移矩陣:Ak=diag[A1k,A2k,…,Ajk]

觀測矩陣:Ck=[C1k,C2k,…,Cjk]

其中:diag(·)為對角矩陣,j=1,2,…,i+1。

3.3 漂移誤差預測補償流程

基于上述構建的預測模型,利用無信息先驗分布的貝葉斯遞推算法對模型參數進行遞推估計,而后將預測模型計算的結果作為補償量,對激光干涉儀輸出位移信號進行漂移誤差補償(在激光干涉儀原始輸出的漂移信號上減去模型的預測值)。漂移誤差預測補償的流程圖如圖4所示。

圖4 漂移誤差預測補償流程圖Fig.4 Flowchart of the drift error prediction and compensation

4 實驗與分析

4.1 漂移誤差數據特性分析及預測

開機預熱1 h后,非測量階段采集的漂移誤差曲線如圖3所示。因為大多數位移測量實驗可以在1 h內結束,所以將圖3中60～120 min的漂移誤差數據作為預測集,用于驗證預測效果。同時,將0～60 min漂移誤差數據作為訓練集,用于估計預測模型中狀態參數。針對第1次激光干涉儀漂移誤差數據,對訓練集數據序列去除線性趨勢后,采用非線性最小二乘擬合得到了殘余誤差的角頻率(R2=0.981),ω1=0.002 153,ω2=0.002 172。因此,采用一個回歸分量模型和兩個周期分量模型來構建預測模型。依據疊加原理,預測模型結構如下所示:

(13)

Yk=[k1 1 0]Xk+Vk

(14)

基于上述預測模型結構和訓練集數據,利用第2.2節基于無信息先驗分布的貝葉斯遞推算法估計了模型狀態參數:

利用最終的預測模型迭代遞推得到的漂移誤差的預測曲線如圖5所示。

圖5 貝葉斯動態模型的預測結果Fig.5 Prediction of Bayesian dynamic model

從圖5可以看出:在整個預測集數據段內,預測漂移誤差曲線與實際漂移誤差曲線趨勢相近,漂移誤差的均方差(mean square error,MSE)減小了99.93%(由1.10×104nm2減小到8.25 nm2)。此外,漂移誤差的變化量減小了75.98%(由51 nm減小到12.25 nm),說明文中提出的方法能夠實現漂移誤差的預測補償。

4.2 分析與討論

4.2.1 與常用建模方法預測效果的比較

為驗證文中方法對漂移誤差預測補償的有效性,將其與最小二乘擬合建模預測方法和神經網絡建模預測方法進行了比較。最小二乘擬合模型和神經網絡模型利用MATLAB擬合工具箱和神經網絡擬合工具箱訓練獲得。采用3種方法預測得到的漂移誤差曲線如圖6所示。

圖6 3種模型的預測結果Fig.6 Prediction results of three models

從圖6可以看出:采用神經網絡模型預測的漂移誤差不能很好地反映實際漂移誤差的周期性規律。在整個預測集數據段內,通過擬合模型預測補償后的MSE為26.66 nm2,通過神經網絡模型預測補償后的MSE為429.78 nm2。與上述兩種方法相比,采用文中方法預測補償后的MSE分別減小了67.85%和99.08%,說明基于貝葉斯動態模型的漂移誤差預測補償方法比其他兩種預測補償方法更有效。

4.2.2 訓練集長度對預測效果的影響

訓練集長度不同會對預測補償效果產生影響。針對第1次漂移實驗數據,分別采用4種不同長度的數據作為訓練集,即50、60、70、80 min,而后采用文中方法預測漂移誤差,漂移預測曲線如圖7所示,80～120 min殘余誤差的MSE如表1所示。

表1 殘余誤差MSE比較Tab.1 Comparison of residual error’s MSE nm2

圖7 預測結果比較Fig.7 Comparison of prediction result

從圖7和表1可以看出:采用50 min訓練集預測的趨勢與實際漂移趨勢有偏差,其余3種長度訓練集的預測曲線基本重合,且在80～120 min內殘余誤差的MSE相差不大?？紤]到訓練集長度不宜過長,因而選取60 min長度的訓練集對漂移誤差數據進行預測。

4.2.3 穩健性驗證

對圖3中漂移誤差序列進行預測補償,補償前后殘余誤差的MSE如表2所示。

表2 補償后的殘余誤差Tab.2 Residual error after compensation nm2

從表2可以看出:6次重復性實驗漂移誤差預測補償后的MSE均減小了82%以上,驗證了文中方法的穩健性。

5 結 論

提出了一種用于激光干涉儀漂移誤差預測補償的方法,建立了基于貝葉斯動態模型的預測模型框架,利用基于無信息先驗分布的貝葉斯遞推算法估計了模型狀態參數,實現了激光干涉儀漂移誤差預測補償。實驗結果表明:1) 與擬合預測方法和神經網絡建模預測方法相比,采用文中方法預測補償后的MSE分別減小了67.85%和99.08%,且文中提出的方法能更好地預測漂移趨勢;2) 針對自制激光干涉儀的漂移誤差數據,采用60 min及以上的數據進行訓練,均可達到較好的補償效果;3) 6次重復性實驗中漂移誤差預測補償后的MSE均減小了82%以上,驗證了文中方法的穩健性。本文提出的漂移誤差預測補償方法不局限于激光干涉儀,亦可用于其他高精度的測量儀器。