“從愛因斯坦質能關系式推出勾股定理”之荒謬

摘 要 一本數學教科書提出并“證明”勾股定理可以用愛因斯坦質能關系式推導出來。教科書的編寫者混淆了愛因斯坦少年時對勾股定理的簡潔而睿智的純數學推導，與多年后提出的著名的物理大發現———質能關系式?？茖W和教育界類似的荒謬貽害深遠，必須予以澄清。

關鍵詞 勾股定理;質能關系式;荒謬

1 故事的由來

最近關于人民教育出版社義務教科書八年級《數學自讀課本》[1]（以下簡稱“教科書”）的“勾股定理與愛因斯坦質能關系式”的匪夷所思的勾連，引起物理界一陣感嘆。勾股定理與愛因斯坦質能關系式在科學上都是重量級的發現，而把它們勾連在一起，也可以算是這本號稱“教科書”的編者們的相當驚人的發現。教科書的封面就以勾股定理作圖，可見它的編者們是拿這件事很以為傲的。

愛因斯坦本人在11歲時還真的給出一個勾股定理的證明，于是想象力豐富的編者就杜撰了下面的故事：

“2005年是愛因斯坦建立相對論100周年。愛因斯坦在相對論中提出了一個著名的質能方程E=mc2，其中E 表示物質所含的所有能量，m 是物質的質量，c 是光速。這個質能方程是現代制造核武器、核電站的理論基礎?！钡竭@兒，沒大毛病。接下去：

“據說，勾股定理也曾經引起了這位偉大的物理學家的濃厚興趣，”這也沒錯。然后：“與眾不同的是，愛因斯坦是用相對論來證明勾股定理的?！弊x到這兒，筆者不由驚出一身冷汗。相對論可以證明勾股定理，How？ 這怎么可能呢，怎么有關聯了呢？ 學了這么多年物理竟然不知這等妙聞？ 有趣的還在下面，這個“證明”原來如此：

假設直角三角形的三條邊為a， b， c，過直角頂點作斜邊 c 的垂線段。

假設原三角形面積為E，根據相對論，有E=mc2。

同理，內部被分割出來的兩個小三角形的面積為

E（a）=ma2，E（b）=mb2

因為內部兩個小三角形拼成原三角形，所以

E =E（a） + E（b）

也就是

mc2 =ma2 +mb2

兩邊約去m ，就得到了勾股定理

c2 =a2 +b2

看到這里，不禁拍案叫絕，原來愛因斯坦質能關系式可以用來算直角三角形的面積！ 原來質能關系式中的光速c，可以就是直角三角形的斜邊長度c。這種類比真是異想天開，匪夷所思。為了讓故事更吸引人，教科書繼續編造：

“愛因斯坦這個證明發表以后，震驚了國際數學界，大家發現相對論原來有這么大的威力。后來德國著名的數學刊物‘Mathematische Annolen聘請愛因斯坦去做了多年的主編?！?/p>

好一個完美動聽的故事。愛因斯坦發表過這樣的證明嗎？ 他因此而震驚了國際數學界了嗎？ 物理界和數學界的朋友們聽到這里都目瞪口呆：謊言就這樣明目張膽地寫入官方教科書里？

2 愛因斯坦對勾股定理的天才論證

事實又是如何呢？ 愛因斯坦證明過勾股定理還真是歷史事實，但那是他11歲時的天才萌發，離他發明相對論還有15年之久，談何以相對論證明勾股定理？ 一本著名的科學史著作《分形、混沌和指數律（Fractals， chaos， power laws）》[2]，論述了勾股定理（西方稱之為畢達哥拉斯定理）的由來，其中介紹了愛因斯坦的證明。那一節的題目就是愛因斯坦的名言：“我要稍微想一想”（I will alittle think）。這個稍微想一想，發生在愛因斯坦11歲學習歐幾里得幾何學時。他那時已經有了追求簡約的思想風格，因此覺得歐幾里得關于畢達哥拉斯定理的證明是不必要的繁復（如果你認真看看歐幾里得最初的證明，那里有若干條輔助線，一定會同意愛因斯坦的看法），于是只經過簡單的思考（A little thinking），愛因斯坦給出了一個十分簡潔的證明，只需要一根輔助線。這根輔助線把原來的三角形分成兩個，顯然這兩個小三角形和原來的大三角形彼此相似。如果大三角形斜邊長度為c，兩個直角邊長度分別為a 和b，則a和b 分別成為兩個小三角形的斜邊長度（見圖1）。根據相似三角形的歐幾里得幾何學，可以證明這三個三角形的面積之比等于它們相應的一個邊（例如斜邊）長度平方之比，因此，這三個三角形的面積可以用Ea =ma2、Eb=mb2 和Ec=mc2 來表示，m 是個無量綱的常數。簡單來說，直角三角形的面積是兩個直角邊長度的乘積之半，而兩個直角邊長度之比取決于內角，例如圖中b=αa，面積即可以寫成ab/2=αa2/2，也就是與一個邊長的平方成正比。圖中的三個三角形是相似三角形，這個比例系數a 是相同的，所以這三個三角形的面積之比等于它們相應的一個邊（例如斜邊）長度平方之比。這樣，這三個三角形的面積之間顯然有下列關系：

Ea +Eb =Ec

即

ma2 +mb2 =mc2

約去常數m ， 就得到勾股定理。

多么巧妙而簡潔的證明，出自一位11歲少年之手。細心的讀者可能會發現，這里真出現了類似相對論質能關系式的公式：Ec =mc2，于是“教科書”大加發揮，說成是愛因斯坦用相對論的質能關系式證明了勾股定理。這些編輯絕對是沒經過大腦，也不想想在上面的勾股定理證明中，m 只是個無量綱的常數而不是質量，c 是個長度而不是光速，E 也不是能量而是面積。兩者之間的關系，除了表面形似，可以說風馬牛不相及！ 讓人不得不佩服編輯們的想象力！

3 勾股定理的各種傳奇證明

至于震驚了國際數學界，更是一個神話。勾股定理的證明從公元前400多年，至今2600多年，有無數智者徜徉于其中尋求樂趣。就連一位后來當了美國總統的加菲爾德先生，也給出一個頗為聰明的證法（見圖2），后被戲稱為總統證法[2]。如圖2所示，三角形ABC 的面積是c2/2，AEB 和CBD 兩個三角形面積都是ab/2。這三者面積之和為直角梯形ABED 的面積（a+b）（a+b）/2。因此

因而

a2 +b2 =c2

這個證明也頗有新意，說明這位后來的美國總統確實智力過人。

總而言之，勾股定理自古至今堪稱人類智慧的一個大賽場，包括吸引了11歲的愛因斯坦，但是無論如何，與相對論無關，與質能關系式完全無關。

4 相對論質能關系式

那么相對論質能關系式又是何方神圣呢？ 讓我們引述張天蓉在《上帝如何設計世界：愛因斯坦的困惑》的介紹[3]：

“愛因斯坦善于‘從一團亂麻中尋找出最重要最核心的東西，他天才地在狹義相對論中導出了描述能量質量關系的質能公式：E =mc2，……這個公式已經深入人心，是人類歷史上最有名的公式之一，已成為人類文化的一部分?！?/p>

“狹義相對論中，三維空間被四維時空所代替：（t，x，y，z），質能關系表明了靜止質量m 和其內稟能量的關系。它表明物體相對于一個參照系靜止時仍然有能量mc2。反之，在真空中傳播的一束光，其靜止質量是0，但由于它們有運動能量，因此它們也有所謂因運動而具有的‘相對論質量……這個等式所描述的不是質量和能量的互相轉化，而是表明了質量能量是同一個東西，物體的質量實際上就是它自身能量的量度?！?/p>

質量和能量這種關聯，不但是物理學的重大飛躍，也是哲學上非凡的突破，是人類認識史一個里程碑式的發展。

質能關系式的證明，正需要四維時空的概念。在四維時空中，可以定義一個協變的四維速度：

愛因斯坦很快意識到這一項應該被理解為能量，因為當速度v 極大地小于光速c 的時候，可以用平方根式的二項式展開而得到：

E 中包含了兩部分，后面一項顯然就是牛頓力學中質量為m 的粒子的動能表達式，而第一項則可看成是粒子內部的能量。當速度v=0時，便得到：E=mc2，即眾所周知的質能關系。

5 結語

關于這個勾股定理與質能關系式的糾纏故事到此可以落幕了?！敖炭茣钡木幷邆儸F在感到尷尬，于是發了個聲明，表示“確有文獻記載愛因斯坦在少年時，曾運用相似、利用兩個小直角三角形的面積和等于大直角三角形的面積，證明過勾股定理。但其證明過程中涉及的公式Ec=mc2 等與相對論的質能方程具有類似的形式是一種偶然，并不能說明他是利用相對論證明了勾股定理，因此自讀課本中的有關表述存在錯誤?！边@里用“偶然”和“表述存在錯誤”來輕描淡寫，實在看不出誠意所在。他們承認：“在自讀課本中出現這樣的問題，說明我們在編輯、審稿過程中不夠嚴謹科學?！比欢@僅僅是不夠嚴謹和科學嗎？ 這是在褻瀆科學，是以偽科學在誤導孩子。最后，這個聲明的著眼點，其實是欲蓋彌彰、息事寧人，不想太丟人而已：“現在這個事已經形成了一波輿情，還請老師看到有關內容后不再轉發?！比绻嬲J識到自己的錯誤，以及危害之嚴重，為什么要遮遮蓋蓋呢？ 難道不應該勇敢地向最廣大的讀者群承認錯誤，挽回損失嗎？

真誠地認識和承認錯誤，是改正錯誤的開始。其實這個錯誤也不完全在幾位編者，他們水平有限、自以為是，固然是事件的直接起因，但更要追究的是：誰把教科書這樣重大的社會責任交付給他們？ 在美國，像費曼這樣頂尖的物理學家曾經是中小學數學課標的評審人。我們這里呢？ 誰把中小學教育和他們的教科書真正當回事了？ 教育，當然要從娃娃抓起，幼兒、兒童和少年的教育會奠定一個人一生認知的基礎，其無可替代的重要性是不言而喻的！

借鑒于這個小小的事件，我們期待教育的改革和發展，期待中國教育強盛的一天。

6 “荒謬”又一例

最近，一則小魔術風靡一時。表演者擺出六張帶人物形象的撲克牌（J，Q，K），請觀眾任選一張，默記于心。表演者聲稱可以讀出你選的是哪張牌。然后洗牌，重新亮出五張，觀眾選定的那張牌果然不見了?？雌饋矸浅Ｉ衿?、不可思議，號稱世紀之謎。于是各種解釋匪夷所思。最荒謬的一種是把這說成是“量子糾纏”效應，認為表演者基于量子糾纏，“讀出”了觀眾的量子信息。

其實說穿了，這是一個極為簡單的魔術。帶人物形象的撲克牌總共有12張。表演者先擺出任意六張，然后從另外剩下的六張中任選五張擺出，當然原先的都不在里面。所以你任意選定一張，都不會出現。如此而已。請看下圖。這樣簡單的魔術騙過了許多人。

由此可見，關于量子糾纏，已經被誤解到何種程度。筆者在《物理》雜志上曾經撰文闡述2022年諾貝爾物理學獎的科學內涵[4]，其摘要為：“

2022年的諾貝爾物理學獎，被一些人誤解為證明了量子糾纏現象。實際上，包括愛因斯坦本人都承認量子糾纏，關鍵在于如何詮釋。今年諾貝爾物理學獎的價值在于這幾位物理學家以無可爭辯的實驗事實，證明了基于定域隱變量的貝爾不等式是不對的。目前的一些介紹文字，沒有認真解釋量子力學在理論上是如何批駁貝爾不等式的，同時雖對量子糾纏的物理價值多有闡述，但對其哲學意義卻鮮有評述，對社會上濫用糾纏概念缺少直接批判和闡釋。本文希望在這兩方面有所補充?！庇信d趣的讀者可以參考。

參考文獻

[1] 人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.數學 八年級下冊 自讀課本[M]. 北京：人民教育出版社.

[2] SCHROEDER M. Fractals， chaos， power laws： Minutesfrom an Infinite Paradise[M]. New York： Dover Publications，2009.

[3] 張天蓉. 上帝如何設計世界：愛因斯坦的困惑[M]. 北京：清華大學出版社，2015.

[4] 葛惟昆.2022年物理學諾貝爾獎的科學內涵辨識[J].物理，2022，51（12）：821.GE W K. On the interpretation of the 2022 Nobel Prize inphysics[J]. Physics， 2022， 51（12）： 821. （in Chinese）