關于一類帶耗散發展方程收斂率估計的注記

樊 龍

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同 037009）

在自然科學領域，有許多現象可以用帶有耗散的非線性發展方程來模擬，具體參看文獻[3-5]，該方程由Hsieh 在文獻[1]中給出，具體方程如下

其 中，σ,α,β以 及ν為正常數，且滿足σ＜α，0 ＜β＜1，初值為

Tang和Zhao在文獻[2]中討論了Cauchy問題（1）（2）化簡形式解的全局存在性和收斂率估計，其中，α=β且σ=1。Zhu 和Wang 在文獻[6]中證明了Cauchy 問題（1）（2）在σ=1 和α=β下的全局存在性，并給出了解的指數收斂估計。

研究的方程如下

其中，α,β以及ν為正常數，且滿足σ＜α，0 ＜β＜1,初值為

相較于先前的研究工作，不同點在于方程（3）（4）中的非線性項(ψθ)x，這會帶來更為復雜的計算。

安排如下，在第2 節中給出Cauchy 問題（3）（4）收斂率估計中一個重要的定理證明，在第3節中給出了該定理的一個具體應用，并給出具體能量積分過程。

1 主要結果及證明

在本節中首先給出主要定理。

定理1假設給定函數g(t) ≥0，并且g(t) ∈L1[0,∞]，g′(t) ∈L1[0,∞]，則有g(t) →0，當t→0。

證明：首先我們有由g′(t) ∈L1[0,∞]，當t1和t2足夠接近時可得

當t1,t2→∞時，可知g(t)為常函數，即g(t)=a

再由g(t) ∈L1[0,∞]，若假設a≠0，有

其中，M為一足夠大正數，易知I2為無窮大，與已知條件矛盾，故假設不成立，定理證畢。

2 應用

在關于方程（3）的能量估計中，首先引入如下矯正函數，關于具體計算過程在此省略，可參看文獻[6]

其中，為G(x,t)為熱核函，具體形式如下

m0(x)為有緊支集且連續滿足條件

作如下變換

可將方程（3）化為如下形式

初值為

其中，

接下來問題轉換為Cauchy問題（5）（6）解的衰減估計，首先需解決Cauchy問題（5）（6）解的存在性，通過將方程（5）簡化為積分方程，再采取能量積分的方法，容易得到方程解的存在性，在此省略證明過程，具體過程可以參看文獻[6]。

關鍵問題是衰減估計，為了得到解的衰減性質，需采用先驗估計的方法。首先假設

其中，δ是一個很小的正數。

接下來問題分為三個步驟：

首先，在方程（5）的兩端同乘2u以及2v，并關于x和t在?和(0,t)上積分可得

通過計算上式右端每一項，可得

再由

以及Gronwall不等式可知

其次，在方程（5）的兩端關于x求導一次，并且同乘2ux以及2vx，并關于x和t在?和(0,t)上積分，同理可得

最后，在方程（5）的兩端關于x求導兩次，并且同乘2uxx以及2vxx，并關于x和t在?和(0,t)上積分可得

證明過程類似于步驟1，在此省略。

注：在步驟2中不必對方程（5）求導，直接在方程兩端同時乘以-2uxx和-2vxx，然后分部積分，再進行能量估計，同樣可以得到相同的結論。

由于給出了條件δ和δ0充分小的條件，在此條件之下可知先驗估計（7）是封閉的，因此先驗估計成立，即（7）式成立。

綜合以上結果可得：

其中，C是不依賴于時間t的正常數，所以取g(t)=，可 知g(t) ∈L1(0,∞)，再由分部積分可得

同理可得v的收斂性質。