基于數學史的數學概念教學模式探索
——以“弧度制”教學為例

秦再梅,倪 萌,王羅那

(1.長興金陵高級中學,浙江 長興 313100;2.湖州師范學院 理學院, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“新課標”)提出,要進一步精選學科內容,重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化;以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實[1].數學概念是數學學習的基礎,數學概念教學對數學教學至關重要.理解數學概念是真正實現學生數學發展的前提.

無論是目前已有的數學概念教學模式的研究,還是數學教材編排的研究,大都從實例或情境出發,歸納共性,抽象概念.概念教學方法單一,看似是學生直接經驗與間接經驗的結合,是實現以學生為本的發現學習.在實際教學中,易形成以結果為導向、過程形式化的教學模式.概念不是數學家們憑空構造的,有著產生發展的合理性和必要性.在概念教學中介紹數學概念的歷史發展,有助于幫助學生理解概念,從而形成完整的概念體系.本文基于數學史對數學概念教學模式進行探索,并以“弧度制”教學為例進行教學實踐.

1 概念教學模式

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映,是建立數學法則、公式、定理的基礎,也是運算、推理、判斷和證明的基石,更是數學思維、交流的工具[2].數學概念主要來源于兩個方面：一是對現實世界事物或關系的直接抽象;二是抽象邏輯的純數學構造.抽象是形成概念的必要手段,在概念教學中,除幫助學生理解和掌握數學概念外,其教學過程也是培養學生數學抽象素養的良好載體.

數學概念的學習包括兩種基本方式：概念形成和概念同化.概念形成是從多個不同的具體實例或情境出發,引導學生發現共同特征,抽象出概念的本質屬性,從而得到概念.概念同化是從學生已掌握的概念出發,通過新舊概念之間的聯系,使學生掌握新概念.已有的概念教學模式大多采用這兩種方式,有時也會將這兩種方式結合運用.例如,張敏提出概念教學的框架結構：創設情境→歸納共性→概括定義→深化理解,即從典型、豐富的具體實例出發,通過自己的實踐活動,由具體到抽象、由特殊到一般,從中歸納、概括出一類事物的共同本質特征,從而理解和掌握概念[3];潘超提出概念教學的框架結構：辨別實例,概括屬性(建立表象)→抽象本質;提出定義(定義概念)→聯系舊知,辨析概念(辨析概念)→強化應用,明確外延(應用概念)→融合概念,形成體系[4].另外,以人教版普通高中《數學》教科書必修第一冊中3個核心概念為例,集合概念是以學生生活中和數學中的10個例子作為導入;函數概念是以“復興號”高速列車行進路程和時間、電氣維修公司工作工資和天數、北京空氣質量指數變化圖、國際上常用的恩格爾系數4個問題情境作為導入;三角函數概念是以數學情境作為導入,給出概念定義.這類概念教學模式存在著弊端,如果說得到概念是教學目標,那么在一步步的教學流程中,學生的反應則是被設定好的,即需要在教師的引導下,歸納出特定共性,抽象出正確概念.而學生在這樣的概念課學習中會產生一些常見的疑問,如這個概念是怎么產生的?(必要性)為什么要學習這個概念?(重要性)等.這是現有的概念教學模式所忽視的.

數學的嚴謹呈現為“冰冷的美麗”,但數學的發現卻是“火熱的思考”[5].概念教學應將概念的形成和發展過程盡可能地展示給學生,以實現學生對概念的深入理解.新課標提出,在教學活動中,教師應有意識地結合相應的教學內容,將數學文化滲透在日常教學中,引導學生了解數學的發展歷程.將數學文化融入教學,有利于激發學生的數學學習興趣,開拓學生的視野,提升學生的數學學科核心素養[6].數學史記載著數學知識和思想的形成過程,有助于教師理解數學學科的整體結構、思想方法和特定主題,以及預測和評判學生的認知困難.因為個體對數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展順序,即通常所說的“ 歷史相似性”.正如弗賴登塔爾認為：“ 年輕的學習者重蹈人類的學習過程,盡管方式改變了”[7].教師可以借助概念歷史發展把握教學內容和學生現實,以實現有效教學.本文基于數學史對數學概念教學模式進行探索,構建引入歷史使概念發現化、創設情境使概念具體化、合作探究使概念抽象化、精準定義使概念規范化、正確應用使概念理解化5個環節的概念教學模式,見圖1.

2 基于數學史的概念教學

弧度制是高中階段學習的一個重要數學概念,其本質是以長度來度量角大小的單位制.弧度制是學習三角函數的基礎,是幾何與代數聯系的橋梁,有利于實現數學公式的簡潔性和數學體系的一致性.本文以“弧度制”教學為例,探討基于數學史的數學概念教學模式.

2.1 引入歷史,使概念發現化

數學是一門抽象的科學,但并不脫離生活現實,其形成和發展的基礎來源于人們對現實生活的理解.新課標提出“四基”,即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.掌握基礎知識是形成基本技能、基本思想、基本活動經驗的基礎.而數學概念是數學基礎知識的基石,其產生和發展也有其合理性和必要性.然而,傳統的概念教學往往忽視數學概念產生的歷史,數學教材一般將數學史作為拓展放在前言或結尾,教師在實際的教學中常常簡單帶過,或直接跳過交由學生課下自主閱讀.若教師能夠向學生介紹概念的歷史發展,將學生代入前人的角色,并體驗概念發現的過程,實現概念的發現化,則將會更好地激發學生的學習興趣,改變學生認為數學概念完全是由數學家們閉門造車產生出來的錯誤觀念.同時,教師在收集相關數學概念史資料的過程中,也會對概念的內涵和外延認識得更加深入,對學生在學習概念時遇到的困難也會有更全面的預估.

例如,在“弧度制”概念教學中,教師可首先介紹角度制：約在公元前2 000年,古巴比倫人認為一年大約有360天,創設性地將圓周劃分為360度,每度分為60分,每分再劃分為60秒.而引入弧度制不僅僅是方便計算或人們更習慣用長度來衡量一個量,更重要的是實現幾何與代數的聯系.1748年,瑞士數學家歐拉在他的著作《無窮小分析概論》中提出用半徑來作為弧長的度量單位,使一個圓周角等于2π弧度,這就是現在所學習的弧度制的來源.通過了解數學史,學生可以經歷弧度制概念形成的過程,更好地了解概念,感受數學的魅力.

2.2 創設情境,使概念具體化

數學學科多是抽象的,其學習過程需要學生具有極強的邏輯思維能力和抽象思維能力.很多學生對數學學習的感受是難且枯燥.針對這種情況,教師在概念教學時應創設豐富多樣的實例或情境,實現概念具體化;在增加課堂趣味性的同時,拉近數學與實際生活的距離,讓學生感受數學的重要性,從而提高學生學習的積極性;通過創設情境驅動學生學習,在簡單問題鏈的設置下關注知識的自然生長,引領學生的思維發展,培養學生的數學抽象素養[8].

例如,在“弧度制”概念教學中,可創設情境：在沒有量角器的情況下度量學?；▔拇笮?針對此情境,教師可用問題驅動的方式來完善情境設計,并推動學生進入情境開始思考.

問題1在之前的數學學習中,我們學習了長度、面積、體積等量,度量這些量需要不同的單位.而單位是非常需要注意的,如身高1.8 m,如果用單位cm,就應寫成身高180 cm,否則就會鬧笑話.那我們用什么工具度量角度的大小?度量角度的單位是什么?

學生答：用量角器度量角度的大小,度量的單位是度(°).

問題2圖2是校園花壇,若我們手上的工具只有皮尺,沒有量角工具,如何測算每一個扇形的面積?前面我向大家介紹了古巴比倫人和歐拉的智慧,如果代入數學家們的思維,他們會如何解決此問題?

設計意圖：在創設情境中,只有皮尺測量長度,由此引發學生思考：僅有長度,如何測量和計算扇形的面積.同時引導學生利用前面弧度制歷史發展的介紹,理解弧度制出現的必要性,代入數學家角色嘗試用長度度量角度.

在創設情境中,教師也可用實物來激發學生興趣.例如,在講解指數函數時,可通過折疊報紙讓學生理解指數的特征;在概念教學時,可通過創設與學生日常生活息息相關的教學情境,為學生營造出積極、和諧的學習氛圍,并通過問題驅動的方式提高學生在數學課堂學習中的參與度和主動性.

2.3 合作探究,使概念抽象化

在教學過程中,教師需要充分調動和發揮學生的主體性,正確處理預設與生成之間的關系,即在概念教學過程中實現學生從預設具體情境中生成抽象概念的自然性.數學概念的生成是一個循序漸進的過程.通過合作探究的方式可以營造一種主動研究、探索和不斷創新的氛圍,使學生間相互合作、充分互動,給學生提供解決思維困頓的契機,使學生的邏輯思維更加縝密,在教師的引導下一步步探求概念本質,從而實現概念的抽象化[9].

例如,在“弧度制”概念教學中,可創設以下探究題目：

(1)請學生通過動手畫圖的方式,將花壇用數學語言表述(圖3),形成數學問題.

(2)以O為圓心,C、D和B、A分別在同一圓上,使用皮尺測量對應的弧長和半徑.

①弧CD和弧BA所對應的圓心角是多少?相等嗎?

②弧CD和弧BA與其所在圓的半徑比值分別為多少?相等嗎?

探究要求：學生按照教師的要求合作畫圖,探究弧度制的本質,并請一位學生代表本小組交流探究結論.

設計意圖：讓學生全程自己動手,合作探究用圓心角所對弧長與半徑的比值來度量對應圓心角是否合理,使學生對弧度制的理解更加深刻.從具體情境中理解概念本質,實現概念抽象化,有利于培養學生的數學抽象思維和邏輯推理的能力.

2.4 精準定義,使概念規范化

考慮到學生的數學認知水平,要實現用數學語言準確表述數學概念的定義是有難度的.而數學概念是非常精煉且嚴謹的,不能多一個字或少一個字.學生合作探究抽象出的數學概念可能會比較接近概念的定義,但還是會有差距的,這就要求教師適時點出概念,并對概念中的每一個詞語作準確的解釋,對比學生合作探究得出的概念抽象結論,將概念講清楚、講透徹,從而使學生準確把握概念的本質,實現概念的規范化.

例如,在“弧度制”概念教學中,可設計以下表格(表1),讓學生發現弧度制長度(l)與圓心角(n)的關系.

學生1：圓心角相等的扇形,它們的弧長與半徑之比不變.

學生2：當改變扇形圓心角大小時,上述比值會隨之改變.

教師適時點出概念,規范定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角稱作1弧度(radian)的角,弧度單位用符號rad表示,讀作弧度.

2.5 正確應用,使概念理解化

概念教學本身是比較有難度的,在考試中對概念的考察也常在應用方面.因此,很多教師盡管明白數學概念的基礎性和重要性,但在實際教學中還是會為提高教學速度和效率而忽視概念理解,將大部分的教學時間放在概念的應用方面,從而陷入概念教學的誤區.應用概念是為更好地理解概念,而理解概念才能真正實現有效教學,幫助學生正確地應用概念.概念教學是數學教學的重要環節,能否對概念進行正確地應用是概念教學重要的一部分.[10]數學概念是抽象的,為幫助學生深入理解數學概念,在概念教學過程中,教師應注意把課堂還給學生,給學生留出練習思考的時間,引導學生從應用概念中發現問題、討論問題和解決問題,以實現對數學概念的內化和對概念體系的構建.是否能夠正確地應用概念也是衡量概念教學質量的重要標準.

例如,在“弧度制”概念教學中,教師可引導學生畫出花壇的簡單數學模型(圖4).通過運用尺子,直接測量出花壇的半徑.

問題已知每個扇形的大小相同,假設測量出的花壇半徑為50 m.分別用角度制和弧度制的方式,求出每個扇形的弧長為多少?

設計意圖：在規范弧度制概念定義后,設計一些關于弧度角的實際練習和問題情境,如弧度與角度之間的相互轉化、扇形的弧長面積等,讓學生再次解決創設情境中的問題,從而幫助學生正確應用概念,實現有效的概念教學.

3 結 語

歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現各個數學概念,減小各知識點之間的跨越度,從而為開展課堂活動提供生動而有意義的資料.如何將數學史與課堂相結合?首先,教師必須了解本學科的基本發展史,并在此基礎上確定其中關鍵的發展步驟,如一些認知障礙的出現;然后,按照課堂和學生的實際情況重新構建這些關鍵步驟,直接或間接地使用歷史材料設計教學方案.真正實現基于數學概念歷史發展的概念教學,不僅需要教師增強數學史的知識儲備,在實際教學中考慮學生的認知基礎,還要在教材編制方面進行適當調整.只有重視概念教學,不斷探索創新概念教學模式,才能實現數學課堂教學質量的提高和學生的數學發展.