王道金
摘 要:空間角是立體幾何中的重要問題.在空間坐標系下解決空間角問題思路直接,但有時候運算量比較大,而且弱化了對圖形本質的認識,如果能夠抓住空間角之間的邏輯關系,運用等價轉化思想,實現有效降維,就可以簡化求解過程.文章通過四個基本事實,得到空間角的變換依據,展示了角度變換在解決空間角問題中的有效應用.
關鍵詞:空間角;邏輯關系;等價轉化;降維;角度變換
中圖分類號:G632?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2024)07-0045-04
空間角包括二面角、線面角、線線角,平面角是空間角的基礎,文[1]和文[2]指出了常用的解決空間角問題的幾何法(添加輔助線結合空間角的定義)和空間向量法(建立空間坐標系).文[3]則提出了解決空間角問題的幾何法與空間向量法(提出了方程思想),也提出了構造法.筆者發現,在特定環境下,空間角之間可以相互轉化,利用空間角度的變換可以簡化空間角的作圖和計算.有幾個關于空間角關系的基本事實,可以用來簡化空間角的求解過程.下面以四個基本事實作為依據,以角度變換的視角求解高考中的空間角問題.
1 對有公共棱的二面角實施和差變換
變換依據 如圖1,平面ABEF在二面角D-AB-M的兩個半平面ABCD和ABNM之間,二面角D-AB-M大小為θ,二面角D-AB-E大小為α,二面角E-AB-M大小為β,則有θ=α+β.
問題1 (2023年全國Ⅱ卷20)如圖2,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BDCD,ADB=ADC=60°,E為BC中點,
(1)證明:BC⊥AD;
又DE⊥BC,所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AD.
(2)如圖3,二面角D-AB-F的大小設為θ,可以看成二面角D-AB-C和二面角F-AB-C組成的.
二面角F-AB-C為直二面角,作EM⊥AB于點M,連接DM,則由DE⊥平面ABC得到∠DME為二面角D-AB-C的平面角.
(1)證明:DE⊥平面ACD;
(2)求二面角B-AD-E的大小.
分析 三個二面角D1-AC-D,D1-AC-B1,B1-AC-B之和為π,可以先求二面角D1-AC-D與二面角B1-AC-B.
設二面角D1-AC-D的大小為α,設二面角
B1-AC-B的大小為β,
可以證明AC⊥AB,AC⊥平面ABB1,∠B1AB=β,tanβ=2.如圖7,設H為AC中點,連接DH,D1H,則有DH⊥AC.
2 對二面角實施降維變換
變換依據 如圖8,OP⊥平面ABNM,OQ⊥平面ABCD,則∠POQ與二面角M-AB-D的平面角相等或者互補.
問題4 (2015年湖北理19)《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱
問題5 (2016年全國Ⅰ卷理18)如圖11,在以A, B, C, D, E, F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD= 90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.求二面角E-BC-A的余弦值.
分析 如圖12,考慮尋找平面ABCD與平面BCE的垂線,作CM⊥EF,垂足為點M,作MN⊥AB,垂足為點N,連接CN,則AB⊥平面CMN.作MP⊥CN于點P,則MP⊥平面ABC.作MH⊥CE于點H,則由平面BCE⊥平面EFDC得到MH⊥平面BCE[3].
3 對二面角的半平面實施位置變換
變換依據 如圖13,平面ABFE∥平面MNCD,則二面角D-AB-E與二面角A-CD-M的大小互補.
問題6 (2014年全國Ⅰ卷19)如圖14,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
4 對線面角實施降維變換
變換依據 如圖16,直線AB與平面α相交,
分析 設法找到平面PAM的垂線,先求此垂線與PC所成的角,如圖18,取PA的中點K,OK∥PC,設I為AK的中點,則OI⊥AK.設AM與BO交于點N,由BO⊥AC,BO⊥平面PAC得到BO⊥AK.
所以AK⊥平面INO.
問題8 (2021年全國甲卷19)如圖19,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2, E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.當B1D為何值時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最???
分析 因為AB⊥平面BCC1B1,要使面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小,需要AB與平面DEF所成角最大.
EF為定直線,AB與平面DEF所成角最大值為AB與EF所成角,EF∥AC1,所以需要平面AC1B與平面DEF垂直.
又平面AC1B與直線B1C垂直,所以需要B1C∥平面DEF,如圖20.
5 結束語
從上面的求解過程可以看出,角度變換方法可以直接抓住幾何本質,以較小的運算量解決空間角度問題,在教學中可以引導學生自覺加以應用,這對培養學生的空間想象力,提升學生的基本學科素養方面大有益處,值得研究.
參考文獻:
[1]王冬冬.高考立體幾何空間角解題技巧[J].數理化解題研究,2019(22):10-11.
[2] 張宇.例談“空間角”的求解策略[J].中學數學,2023(01):78-79.
[3] 張宏儷.聚焦立體幾何中空間角的求解[J].高中數理化,2021(23):13-15.