等腰三角形“多解”問題集錦

任曉金

等腰三角形是一種特殊的三角形，除具有一般三角形的性質外，還具有獨特的性質，即兩底角相等，兩腰相等.正是由于它的特殊性質，解答等腰三角形問題時易產生漏解現象.尤其當題目中沒有給出具體圖形時，更應謹慎解題.現分類舉例說明.

一 角不明確時要分類討論

例1如果等腰三角形的一個角為50°，那么其他兩角的大小分別為__.

解析：當50°的角為頂角時，則每個底角的大小為：1/2（180°-50°）=65°.

當50°的角為底角時，另一個底角也為50°，則其頂角的大小為：180°-2×50°=80°.

故答案應為65°，65°或50°，80°.

評注：在等腰三角形中，如果給定一個角的度數，求其他兩角的度數，求解時要按頂角或底角進行分類討論.

二 邊不明確時要分類討論

例2等腰三角形的一邊長為5 cm，另一邊長為4 cm，則它的周長為___.

解析：當腰長為5 cm，底邊長為4 cm時，則其周長為：5+5+4=14（cm）.

當底邊長為5 cm，腰長為4 cm時，則其周長為：5+4+4=13（cm）.

故答案為14 cm或13 cm.

評注：在等腰三角形中，如果給定兩邊的長，但沒有明確哪個為腰長哪個為底邊長，則求解時要按腰或底邊進行分類討論.

三 高不明確時要分類討論

例3等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則等腰三角形頂角的大小為（）.

A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°

解析：因為銳角三角形的高在三角形的內部，而鈍角三角形的高可能在三角形的外部，所以本題應分兩種情況求解.

（1）銳角三角形.如圖1所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因為BD是AC邊上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的內角和為180°，則

∠A=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

（2）鈍角三角形.如圖2所示，AB=AC，∠ABD=30°.

因為BD是AC邊上的高，所以∠ADB=90°.

由三角形的內角和為180°，則

∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=60°.

所以∠BAC=180°-∠BAD=120°.

故應選D.

評注：由于等腰三角形腰上的高可在等腰三角形內部，也可在等腰三角形外部，因此當等腰三角形腰上的高沒有明確在三角形內部或外部時，應分類討論.

四 其化情況的分類討論

例4等腰三角形底邊長為6，一腰上的中線把其周長分成兩部分，兩部分的差為2，則其腰長為（）.

A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 以上都不對

解析：如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，腰AC上的中線BD把周長分成兩部分，兩部分的差為2.若設腰長AB=AC=x，則AD=DC=1/2x.

當（AB+AD）-（BC+DC）=2時，即x+1/2x-6+1/2x=2，則x=8；

當（BC+DC）-（AB+AD）=2時，即6+1/2x-x+1/2x=2，則x=4.

所以腰長為8或4.故應選C.

溫馨提示：等腰三角形的兩解必須滿足“三角形的內角和等于180°”和“三角形兩邊的和大于第三邊”這些條件.請思考如下問題：

1. 如果等腰三角形的一個角為120°，那么其他兩角的大小分別為___.（答案：30°，30°）

2. 等腰三角形的一邊長為4 cm，另一邊長為9 cm，則它的周長為__.（答案：22 cm）