韓 霞
三角形全等是圖形全等的基礎,也是初中數學學習的重點之一.為了幫助同學們學好三角形全等,筆者總結出三角形全等的六種常見模式.
一、“公共角”模式
公共角是兩個圖形中都含有的角,為全等提供了一個自然條件.在判斷全等時,可以考慮與角有關的判定方法.
例1如圖1,AB=AC,AD=AE,請說出∠B=∠C的理由.
解析:圖中的∠A是公共角,再加上AB=AC,AD=AE,則△ABD≌△ACE(SAS).全等三角形的對應角相等,所以∠B=∠C.
二、“對頂角”模式
“對頂角相等”為判斷三角形全等提供了一個自然條件.這時,可以考慮與角有關的判定方法.
例2如圖2,OA=OB,OC=OD.試問:AC∥DB嗎?
解析:∠AOC和∠BOD是對頂角,又因為OA=OB,OC=OD,所以△AOC≌△BOD(SAS),所以∠C=∠D.內錯角相等,兩直線平行,因此,AC∥DB.
三、“公共邊”模式
公共邊相等是兩個三角形全等的一個自然條件.
例3如圖3,AC=AD,BC=BD.AB是∠CAD的平分線嗎?
解析:由于AC=AD,BC=BD,考慮到AB是公共邊,所以△ABC≌△ABD(SSS),所以∠CAB=∠DAB,AB平分∠CAD.
四、“角平分線”模式
角平分線提供了兩個角相等,同時,角平分線又可以成為公共邊,因此有角平分線的問題應考慮SAS或AAS或ASA的判定方法.
例4如圖4,OA平分∠BOC,并且OB=OC,請指出AB=AC的理由.
解析:因為OA平分∠BOC,所以∠1=∠2.又已知OB=OC,再由于OA是公共邊,所以△OAB≌△OAC(SAS),所以AB=AC.
五、旋轉模式
如圖5,△OAC繞點O逆時針方向旋轉角α(∠AOB=∠COD=α)就到了△OBD的位置.這類問題常用SAS證明.需要利用“等角+公共角=公共角+等角”的思路解題.比較難的題中往往有這種全等的模式.
例5如圖6,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,請說明AC=BD的理由.
解析:∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.再因為OA=OB,OC=OD,所以△OAC≌△OBD(SAS),所以AC=BD.
六、平移模式
把全等三角形沿某邊所在直線平移,便把對應邊都分成了兩部分,這時往往通過兩條線段加上或減去同一線段的方法得到對應邊相等.
例6如圖7,AC=DF,BC=EF,AD=EB,請說明∠C=∠F的理由.
解析:AD=EB,所以AD+DB=DB+EB,即AB=DE.再考慮到AC=DF,BC=EF,便可得到△ABC≌△DEF(SSS),所以∠C=∠F.