盧定波
一、基礎知識精要
1. 軸對稱、對稱軸、對稱點
把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱,也稱這兩個圖形成軸對稱.這條直線叫做對稱軸.兩個圖形中的對 應點叫做對稱點.
如圖1,如果△ABC沿直線PQ折疊后,與△A′B′C′重合,則稱△ABC與△A′B′C′關于直線PQ對稱,直線PQ是對稱軸,點A與A′、B與B′、C與C′是關于直線PQ的對稱點.
提醒:(1)軸對稱包含兩層意思:①有兩個圖形,能夠完全重合,即形狀大小都相同;②對重合的方式有限制,也就是:把它們沿著某一條直線對折后能夠重合.
(2)對稱軸是一條直線,而非線段、射線等.
(3)對稱點是指折疊后重合的點,對稱線段也是指折疊后重合的線段,如圖1中線段AB與A′B′就是關于直線PQ對稱的線段.
2. 軸對稱圖形
把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能夠互相重合,那么稱這個圖形是軸對稱圖形,這條直線就是對稱軸.
提醒:軸對稱圖形是指一個圖形的本身.
3. 軸對稱與軸對稱圖形的關系
它們的主要區別是:(1)軸對稱是兩個圖形之間的對稱關系,軸對稱圖形是一個圖形自身的對稱特征;(2)軸對稱的對稱點分別是在兩個圖形上,軸對稱圖形的對稱點是在同一個圖形上;(3)兩個圖形成軸對稱,其對稱軸可能在兩個圖形的外部,也可能經過兩個圖形的內部或它們的公共點(邊),軸對稱圖形的對稱軸一定經過這個圖形的內部.
它們的主要聯系是:
(1)都是沿某直線翻折后能夠互相重合的.
(2)若把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形;若把軸對稱圖形沿對稱軸所在直線分成兩部分,那么這兩部分又可看成關于這條直線成軸對稱.
4. 成軸對稱的兩個圖形的性質
(1)成軸對稱的兩個圖形全等.
(2)如果兩個圖形成軸對稱,那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線.如圖1,△ABC與△A′B′C′關于直線PQ對稱,則△ABC≌△A′B′C′,PQ垂直平分線段AA′、BB′、CC′等.
(3)成軸對稱的兩個圖形,如果對稱線段(或其延長線)相交,那么交點在對稱軸上.
提醒:(1)如果兩個圖形關于某直線成軸對稱,那么這兩個圖形全等;反過來,兩個圖形全等,這兩個圖形不一定成軸對稱(如一個三角形繞其某頂點旋轉一定角度,所得的兩個全等三角形).
(2)若兩個圖形成軸對稱,則連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分.
5. 關于畫圖
如果一個圖形是軸對稱圖形,那么連接對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸.
而畫一個圖形的軸對稱圖形時,要先確定對稱軸,再找出對稱點.找對稱點時,關鍵是畫出一些特殊點,如線段的端點、圖形的頂點等.
二、典例剖析
例1如圖2,下列圖案中,是軸對稱圖形的是_______.
思維技巧:判斷一個圖形是不是軸對稱圖形,要抓住軸對稱圖形的特征,即對于這個圖形來說,能夠找到某條直線,沿著這條直線對折,對折的兩部分能夠完全重合.
解:由軸對稱圖形的特征可知,圖中的(1)、(3)、(4)、(5)、(8)是軸對稱圖形.
點評:(1)一個圖形是不是軸對稱圖形,是針對一個圖形的整體而言的.圖形的某一部分是軸對稱圖形不代表整個圖形也是軸對稱圖形.(2)要善于變換角度去發現軸對稱圖形的對稱軸,如例1的(8).(3)防止視角差異導致誤判.
例2試找出下列每個正多邊形的對稱軸的條數,并填入表格中.
根據上表,請就一個正多邊形對稱軸的條數作一個猜想.
思維技巧:先畫出每一個正多邊形的所有對稱軸,分析對稱軸的條數與正多邊形的邊數的關系,再通過幾個正多邊形驗證,得出一般性的結論.
解:畫出各正多邊形的對稱軸,其條數依次為3,4,5,6,8.由此可猜想:一個正n邊形的對稱軸的條數正好等于其邊數n.
例3(1)如圖4(1),已知點A、B和直線MN,試畫出點A、B關于直線MN的對稱點A′、B′.
(2)如圖4(2),已知線段AB和直線MN,試畫出線段AB關于直線MN的對稱線段A′B′.
(3)如圖4(3),已知△ABC和直線MN,試畫出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.
解:分別如圖5中三個圖所示.
點評:當畫某一復雜圖形關于某直線對稱的圖形時,可以先畫出它上面一些特殊的點關于直線的對稱點,再依次連接即可得到結果.
例4(最短距離問題)如圖6,直線MN表示一條小河.一牧民在點A放馬,現在要讓馬到河邊去飲水,然后回帳篷點B處(A、B在小河MN同旁).問:飲水地在何處時才能使他所走的路最短?在圖中表示出代表飲水地的點.
思維技巧:要使所走的路最短,即在直線MN上找到一點,使這個點到A和到B的距離之和最小.
解:如圖7.畫點A關于直線MN的對稱點A′.連接A′B交MN于點C,點C就是所求的點.
點評:本例是利用軸對稱性質解決實際問題的范例.作出B點關于MN的對稱點B′,連接AB′,也能找出同樣的C點.
例5(最佳點問題)設CDEF是一臺球桌的矩形臺面,A、B分別是黑、白兩個球,如圖8.如果擊打黑球A,使黑球A碰到臺球桌臺邊EF后反彈擊中白球B,黑球A應經過怎樣的路線?
思維技巧:如果A球擊出后撞到臺邊EF上的M點反彈,恰好擊中B球,設MN是垂直EF的直線,則有∠AMN=∠BMN.∠AMN、∠BMN分別稱為入射角與反射角.大自然中,很多反射現象都遵循這個規律,例如光線從A處射入,經過鏡面上一點M反射后,經過B點,也必有∠AMN=∠BMN.故作A點關于EF對稱的點A′,連接A′B與EF相交于點M,擊打黑球A到M點,即可使黑球A擊中白球B.
探索與思考
1. 如圖9,已知P為∠AOB內一點,請分別在OA、OB上作一點P′、P″,使△P P′P″周長最小.
2. 如圖10,四邊形ABCD是長方形彈子球臺面.有黑、白兩球分別位于E、F兩點上.試問:怎樣撞擊黑球E,才能使黑球先碰撞臺邊CD,再撞擊臺邊AD,反彈后擊中白球F?