巧用旋轉變換解題

丁廣琳

將一個圖形旋轉，圖形上的每一個點都繞著中心沿著相同的方向轉動了相同的角度.任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等；旋轉前后的兩個圖形是全等形，對應邊、對應角都相等.另一方面，一些圖形又可看成是由一個圖形旋轉而成的.這些特點都給解題創造了有利的條件.

一、利用旋轉的基本性質解師

例1（2007年·寧德）如圖1所示，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形.

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由.

（3）探究：當α為多少時，△AOD是等腰三角形？

解析：可以利用旋轉的基本性質，找出旋轉前后的對應線段、對應角.抓住旋轉前后的圖形是全等形這一性質進行解題.

（1）CO=CD，∠OCD=60°，故△COD是等邊三角形．

（2）當α=150°，即∠BOC=150°時，因△BOC≌△ADC，故∠ADC=∠BOC=150°.又△COD是等邊三角形，故∠ODC=60°．所以∠ADO=90°．△AOD是直角三角形．

（3）首先，∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°.若△AOD是等腰三角形，按每兩邊相等可以有三種情況：

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．故190°-α=α-60°. α=125°.

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ODA．因∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∠ODA=α-60°，所以α-60°=50°． α=110°．

③要使DO=DA，需∠OAD=∠AOD．所以（由②的一個結論）50°=190°-α. α=140°．

綜上所述，當α為125°，110°或140°時，△AOD是等腰三角形．

二、利用旋轉整合圖形解題

在解決幾何問題時，常常將某個圖形旋轉一定的角度，通過這種旋轉對圖形進行割補，把不規則圖形整合為規則圖形，使問題的條件由分散變得相對集中，從而順利解決問題.

例2如圖2，在正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD上的點，∠PAQ=45°.試說明BP+DQ=PQ.

解析：如圖3，將△ADQ繞A點順時針方向旋轉90°到△ABE，由旋轉的基本性質：

∠EAB=∠QAD，BE=DQ，

∠EAQ=∠BAD=90°.

所以，∠EAP=45°=∠PAQ.

由于AD=AB，∠EBA=∠D=90°，所以E、B、P三點在一條直線上.易知△EAP≌△QAP（SAS），所以PQ=PE.而PE=BP+BE，所以BP+DQ=PQ.

三、旋轉變換與作圖

利用旋轉的基本性質作圖，是中考中出現頻率較高的題型.解題關鍵還是要抓住旋轉過程中的不變量.

例3（2007年·云南）如圖4，在所給網格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：

（1）作出格點△ABC關于直線DE對稱的圖形△A1B1C1；

（2）作出△A1B1C1繞點B1順時針方向旋轉90°后的圖形△A2B2C2 .

解析：略.

四、中考鏈接，請你試一試

1． （2007年·西安）如圖5，在等邊△ABC中，AC=9.點O在AC上，且AO=3.點P是AB上一動點.連接OP，將線段OP繞點O逆時針方向旋轉60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上，則AP的長是（）.

A． 4 B． 5 C． 6 D． 8

答案：C

提示：注意到這時將會有△PBD≌△OAP（AAS），BP=AO=3.

2. （2007年·徐州）如圖6，將兩張相同的正方形紙片完全重合地疊放在一起，中心都是點O.按住下面的紙片不動，將上面的紙片繞點O順時針方向旋轉15°，所得重疊部分的圖形（）.

A. 既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

B. 是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形

C. 是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形

D. 既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形

答案：D

3. （2007年·衢州）一副三角板按圖7所示疊放在一起.現固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點A，按順時針方向旋轉α角（0°<α<180°）.當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時，相應的旋轉角α是___.

答案：30°，45°，75°，135°，165°

提示：AC只能平行于BO，AD只能平行于BO，CD可平行于△AOB的三邊.