等腰三角形中的角與周長

徐小芬

等腰三角形是三角形大家族中一個特殊而又重要的成員，也是中考中的重要考點之一.下面以中考題為例,說明有關的角與周長的計算.

例1（2007年?陜西）如圖1所示，∠ABC＝50°，AD垂直平分線段BC于點D，∠ABC的平分線BE交AD于點E.連接EC，則∠AEC的大小是_____．

解析：因為BE平分∠ABC，所以∠EBC=1/2∠ABC=25°.又AD垂直平分BC，所以EB=EC，所以∠C=∠EBC=25°.所以∠AEC=∠EDC+∠C=90°+25°=115°.

點評：本題綜合考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質.若連接AC，易知△ABC為等腰三角形.∠AEC=∠AEB，在△ABE中也可算出結果.

例2（2007年?岳陽）已知△ABC中，AB=AC，∠B=60°，則∠A=_____.

解析：略.

例3（2007年?寧波）如圖2，在△ABC中，AB=AC.CD平分∠ACB交AB于D點.AE∥DC交BC的延長線于點E.已知∠E=36°，則∠B=_____．

解析：因為AE∥DC，所以∠DCB=∠E=36°.因為CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCB=72°.又因為AB=AC，所以∠B=∠ACB=72°.

點評：△ACE也是一個等腰三角形.角平分線與平行線結合，往往出現等腰三角形.

例4（2007年?江西）如圖3，在△ABC中，點D是BC上一點，∠BAD=80°.AB=AD=DC.則∠C=_____．

解析：因為AB=AD，∠BAD=80°，所以∠ADB=∠B=1/2（180°-80°）=50°.又因為AD=DC，所以∠C=∠CAD=1/2∠ADB=25°.

點評：本題綜合考查了等腰三角形底角相等的性質以及三角形外角的性質.要注意等腰三角形的外角α與不相鄰的內角β間的關系：α=2β或α+β=180°或180°+β=2α.它們可以互相表示.

例5（2006年?武漢）如圖4，在△ABC中，AB的中垂線DE交AC于F，垂足為D.若AC=6，BC=4，求△BCF的周長.

解析：因為DE垂直平分AB，所以FA=FB，所以△BCF的周長=BC+AC=4+6=10.

點評：本題利用線段垂直平分線的性質將△BCF的周長轉化為BC+AC.這種轉化技巧常常用到.

例6（2007年?安順）如果等腰三角形的兩邊長分別為4和7，則三角形的周長為_____．

解析：因為已知的兩邊長沒有確定是腰長還是底邊長，故需分兩種情況求解：當4為腰長時，第三邊長為4，周長為4+4+7=15；當4為底邊長時，第三邊長為7，周長為4+7+7=18.綜上可知，三角形的周長為15或18.

點評：在解答有關等腰三角形的邊、角的問題時，幾乎都要涉及分類討論，所以一定要思考全面，小心謹慎！