李 艷
三角形的知識是初中數學的重點,而等腰三角形的知識更是重中之重.判定一個三角形是等腰三角形,有兩種基本方法:一是證明兩角相等,二是證明兩邊相等.
一、根據等角對等邊來解決問題
例1如圖1,AO平分∠BAC,∠1=∠2,試說明△ABC是等腰三角形.
思路分析:如圖2,由題設可知,∠1=∠2,∠3=∠4.僅有角相等,無論是證AB=AC還是證∠ABC=∠ACB都不夠,因此想到作輔助線.由于AO為∠BAC的平分線,根據角平分線的性質,過點O向角的兩邊作垂線OE、OF,這樣得到一對直角和一組邊相等:OE=OF.
因為∠1=∠2,所以OB=OC.
所以Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
所以∠5=∠6.
所以∠1+∠5=∠2+∠6,即 ∠ABC=∠ACB.
所以AB=AC.△ABC為等腰三角形.
點撥:題中有角平分線時,常自角平分線上一點作角兩邊的垂線.
二、兩邊相等
證兩邊相等,可以考慮下面四種方法.
1. 通過三角形全等證線段相等
例2如圖3所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,E是AD延長線上的一點,連接BE、CE.試說明△EBC為等腰三角形.
思路分析:根據已知條件AB=AC,AD⊥BC,易知BD=CD.由于AD⊥BC,DE為公共邊,可得△BDE≌△CDE(SAS).所以BE=CE.△EBC為等腰三角形.
2. 利用線段垂直平分線的性質證線段相等
如上面的例2,可以發現AE是線段BC的垂直平分線,由于線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,所以BE=CE.這樣就省略去了證△BDE≌△CDE的步驟.
3. 利用線段的和與差證線段相等
例3如圖4所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CF,AD⊥BC于D.試問:線段AE與AF相等嗎?
思路分析:由于AB=AC,AD⊥BC,由等腰三角形的性質,易知有BD=CD.結合BE=CF知ED=FD,故AD是線段EF的垂直平分線,于是AE=AF.
4. 利用面積法證線段相等
例4在△ABC中,AB=AC,P為BC的中點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.試說明PE=PF.
思路分析:連接AP,如圖5,根據題意知AP⊥BC,BP=CP.所以△ABP和△ACP的面積相等.而△ABP和△ACP的面積還可以分別通過把AB、AC當作底,PE、PF當作高來表示,即1/2AB·PE=1/2AC·PF.而AB=AC,易得PE=PF.
點撥:要證兩線段相等,常用三角形全等來證.如果已知條件中有等腰三角形存在,那么等腰三角形三線合一的性質經常會用到.審題時一定要注意中點、垂直等條件.有時候已知條件不夠,要適當添加輔助線,常作的輔助線是高(垂線)、平行線等.