提高數學概念教學有效性的策略

徐順湘

數學概念不僅是小學數學基礎知識的重要組成部分，也是培養和發展學生數學能力的重要內容。實踐證明，加強概念教學是切實提高小學數學教學質量的有效策略。筆者認為，在當前積極開展教學有效性研究的背景下，應該努力探尋提高數學概念教學有效性的策略。

一、引入要恰當

1.引入的情境要突出概念的本質特征。

借助直觀具體、生動形象的情境引出概念，能激發學生學習的興趣，有助于學生對概念的理解和掌握。但情境一定要與概念的本質屬性相關聯，否則會因為遠離教學內容而影響教學效果，有時甚至產生誤導作用，將學生的思維引入歧途。

有位老師為了引出“倒數”的概念，從孫悟空騰云駕霧翻跟斗講起，弄得學生一時摸不著頭腦，真令人啼笑皆非。雖然學生對此故事情境很感興趣，但由于故事內容不能反映“倒數”的本質特征，因而也只能是無效的教學。

另一位老師在教學“加法交換律”時，從“朝三暮四”這個成語的典故引入，卻帶來了奇特的效果。教師講完典故后，引起學生的哄堂大笑。教師問學生為什么可笑，學生說猴子太愚蠢了，其實一天吃到的桃子是一樣多的。然后教師引導學生列出“3+4”和“4+3”這兩個加法算式來說明道理，進而通過比較感知到兩個加數沒變，和也沒變，只是加數位置變了。學生在愉悅的氛圍中輕松感知了加法交換律。

2.引入的方式要符合學生的認知特點。

數學概念具有高度的抽象性。由于小學生的思維水平處于從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的階段，因而理解和掌握概念有一定困難。教學時，應當遵循學生的認知規律，結合實例，聯系學生已有知識經驗，采用直觀操作等實踐活動的形式，自然地引出概念。

例如教學“小數的意義”，教師先通過學生熟悉的元、角、分，讓學生初步感知小數。接著引導學生根據米尺上的刻度，進一步認識一位小數、二位小數……通過對實例的觀察、分析比較和抽象概括，使學生從具體到抽象地理解小數的概念。

又如，我們可以借助操作活動，建立“平均分”的概念。讓學生把8根小棒分成2份，交流不同的分法。然后引導學生將幾種分法進行分類，觀察、比較后讓學生發現“4根與4根”的分法的本質特征是“每份的根數一樣多”，并指出這種分法叫平均分。

3.引入的路徑要體現概念產生的背景。

教師要根據概念產生的不同背景，因“材”施教，選定最佳的引人路徑，盡力排除非本質屬性的干擾，讓學生盡快觸及概念的本質特點，體現概念建立過程的高效化。

例如，在教學“質數、合數”時，有位老師先組織學生操作學具：分別用2個、3個、4個……20個小正方形去擺成一個長方形，然后引導學生去發現擺出的長方形個數與小正方形的個數之間的聯系，再逐步引到質數、合數。殊不知，教者刻意追求創新，不僅在擺長方形上花費了大量的時間，還人為地增加了非本質屬性的干擾，反而影響了對概念的直接感知，真是得不償失。其實，可以利用約數的概念直接引入質數、合數概念。讓學生先分別求出一些自然數的約數，然后根據一個數有幾個約數進行分類，從分類情況便可引出質數、合數。這才是引入質數、合數概念最簡捷的路徑。

二、感知要到位

教學中，教師要根據概念的具體特點，精心組織感知活動，為形成表象進而抽象概括出概念提供堅實的基礎。

1.感知要全面。

首先，提供的感性材料要注意形式上的充足性。如教學“認識長方體、正方體”時，我們可以引導學生觀察幾組對比鮮明的長方體實物：大小懸殊的兩個長方體——藥箱和粉筆盒；空心和實心的兩個長方體——木塊和玻璃缸；質地不同的兩個長方體；顏色不同的兩個長方體，等等。通過觀察，然后進行抽象概括，撇開材料、大小、顏色等非本質屬性，而只注意它們的形狀，從而明確了這些物體都是長方體。

其次，提供的感性材料要注意內容上的完整性。如教學“認識角”時，既要讓學生感知直角、銳角、鈍角等不同種類的角，又要注意變化角的大小和角的開口方向，這樣才能獲得對角的清晰認識。又如教學“比的意義”，就不能在感知了兩個同類量的比以后就急于概括出比的概念，而應該進一步感知兩個不同類量的比，從而讓學生對比形成完整的認識。

再次，提供感性材料時要注意方法上的多樣性。如在幾何概念教學中，可先通過實物呈現讓學生直觀獲得感知覺、表象的觀念，然后輔以模型，借助于著色、放大、對比、反襯、動態等手段，使本質特征與非本質特征產生強烈對比，使學生感性認識的范圍加以擴大，從而突出事物的本質特征。與此同時，通過語言的直觀描述喚起學生生動的表象，從而使感性材料的來源更豐富多樣。

2.感知要鮮明。

在引導學生感知的過程中，要有明確的感知目標，并逐漸加大對概念本質特征刺激的強度。如教學“比的意義”時，我從猜粉筆支數的游戲引入：第一次左手拿2支白粉筆，右手拿4支紅粉筆；第二次左手拿3支白粉筆，右手拿6支紅粉筆；第三次左手拿4支白粉筆，讓學生猜右手該拿幾支紅粉筆，并說一說是怎么想的。根據學生回答，板書出4÷2=2，2÷4=1/2；6÷3=2，3÷6=1/2；8÷4=2，4÷8=1/2這三組算式，讓學生發現白粉筆與紅粉筆之間存在著倍數關系，也就是兩個數相除的關系。再出示例1，啟發學生想一想2杯果汁和3杯牛奶是否也存在兩個數相除的關系。由此引入果汁杯數是牛奶杯數的2/3，也可以說成果汁杯數與牛奶杯數的比是2:3，2/3和2:3都表示出2和3這兩個數相除的關系。引入比的概念后，讓學生進一步理解牛奶杯數與果汁杯數的比表示的就是3÷2。接著出示例2，根據路程、時間和速度之間的數量關系，學生很容易理解路程與時間之間也存在兩個數相除關系，因而同樣可用比來表示，而時間和速度之間存在的是兩個數相乘的關系，是不能用比來表示的。這樣，概括比的意義便水到渠成學生對比與分數、除法之間的聯系自然就會十分清楚。

3.感知要遞進。

學生對事物的認識是由表及里、由淺入深遞進式發展的。因而教學中要十分重視概念的感知過程，引導學生漸漸“逼近”對概念本質特征的認識。

如教學“認識角”時，先出示學生熟悉的五角星、三角板，讓學生指出其中的角，憑借日常概念一般學生都以為尖的地方就是角，這時教師有意識地把三角板放在黑板上，按照學生所指的地方畫下來。當拿去三角板，看到黑板上畫的是一個點時，學生才恍然大悟。經教師啟發誘導，學生再次指的時候不僅指出了角的頂點，還指出了角的兩條邊。這時，學生看著黑板上留下的圖形，就對角形成了初步的表象。在進一步豐富感知的基礎上，通過求同思維，很容易獲得“角有一個頂點，兩條邊”的認識。學生的感知經歷了一個從模糊到清晰的遞進過程。

4.感知要深刻。

感知活動不能浮于表面，而應真正觸及并涵蓋概念

的全部意義，引領學生進入對概念透徹理解的層面，使概念的建立既深刻又牢固。如教學“認識分數”時，我設計了一系列感知活動，讓學生獲得對1/2全面而深刻的認識。(1)用圓形紙片代替蛋糕，把它平均分成2份，理解1/2的實際意義。(2)要求學生用多種材料也得到它們的1/2，拓展1/2的實際意義。(3)觀察比較大小懸殊的兩個蛋糕的1/2，幫助學生初步建立單位“1”的概念，即弄清“是誰的1/2”。(4)用自己喜歡的方式(畫圖或實際操作)表示出1/2，從實際意義上升到抽象意義。

三、抽象要適時

1.把握好抽象的“火候”，及時擺脫對于直觀感知的依賴。

學生由直觀感知所獲得的對于概念的認識是粗略的、膚淺的，而且具有局限性和片面性。若能及時喚起他們頭腦中的有關表象，發揮表象的中介作用，就可以使學生逐步擺脫對于具體感知材料的依賴，克服直觀感知中的局限性。以此為基礎進行抽象概括活動，就能揭示概念的內涵，使學生最終形成概念。因此，能否及時擺脫對直觀感知的依賴，反映出學生對概念的認識水平。

如教學“11～20各數的認識”，教師把握了抽象的時機，在直觀感知建立計數單位“十”以后，幫助學生及時上升到抽象思維水平。(1)通過拿鉛筆的活動，讓學生知道12支鉛筆可以一支一支地拿，也可以1捆帶2支地拿，感知引進計數單位“十”的必要性。(2)舉出生活中10個一包裝成一份的例子，感受計數單位“十”的應用價值。(3)把10根小棒捆成一捆，建立計數單位“十”，強化對10個一就是一個十的認識。(4)應用計數單位“十”，通過擺小棒抽象出對11～20各數的認識。如用1捆帶3根小棒表示13后，教師及時引導學生離開小棒理解13就是1個十和3個一，反之一個十和3個一就組成13。(5)認識11～20各數的大小和順序，培養數感。

2.體現教學的層次性，逐步提高抽象程度。

由于受小學生認知能力的制約和知識本身比較抽象的影響，有時需引導學生經歷一個分層次逐步抽象的過程，讓他們拾級而上，步步為營，確保達到一定的抽象程度。

例如，在學生已經初步理解可能性的基礎上，為了讓學生建立“等可能性”的概念，我安排了4個層次的教學活動。

(1)猜一猜。出示裝有3個紅球、3個黃球的袋子，讓學生猜一猜：從中隨意摸出一個球可能會是什么顏色的球?假如把摸出的球再放入袋中，再從中隨意摸一個，如此重復40次，摸到兩種球的次數會是怎樣的?由于學生生活經驗和思維水平的差異，會作出不同的判斷，從而產生實驗驗證的需要，同時激起學生的探究興趣。

(2)摸一摸。學生分小組操作，并對摸球結果進行統計。在每一組交流摸球結果后，引導學生說一說觀察每一組摸到兩種球的次數后的發現。這里只要讓學生初步感知到兩種球出現的次數都較接近。

(3)算一算。把兩個組、三個組……所有組的實驗結果，逐次相加，并分別觀察兩種球出現的次數，你又發現了什么?至此，讓學生感知到隨著摸球次數的不斷增加，兩種球出現的次數越來越接近，由此抽象出“兩種球出現的次數差不多”。

(4)想一想。引導學生想象，當摸球次數增加到無限多時，摸到兩種球的可能性大小會怎樣?“等可能性”的概念便呼之欲出。

四、鞏固要及時

1.注重概念的理解。

一方面要幫助學生理解概念的內涵。其主要方法有：(1)判斷。如運用三角形概念判斷所提供的圖形是一不是三角形并說明理由，讓學生進一步明確三角形的本質特征。(2)舉例?？梢宰寣W生舉實例進一步解釋概念，使概念具體化，也可舉反例強化對概念內涵的理解。如用足球場上的比分強化對比的意義的理解。(3)變式。如教垂直概念時，可運用變式方法畫出各種不同的圖形，引導學生觀察、分析，加強對垂直的理解。(4)比較。將相近易混的概念加以比較，更加突出它們的本質屬性。如“周長”和“面積”可從意義、計量單位等方面進行比較。

另一方面要幫助學生理解概念的外延。其主要方法有：(1)強化。如讓學生判斷百15/24能否化成有限小數。教師故設疑問：這個分數分母中含有因數3怎么也能化成有限小數呢?是不是與得到的結論相矛盾呢?由此，強化了一個分數能否化成有限小數是在“一個最簡分數”前提下歸納出來的。(2)補充。概念揭示的是事物的一般性，對于特殊性必須作補充說明，從而獲得全面認識。如認識長方體后，讓學生知道有兩個相對的面是正方形的長方體以及正方體都是特殊的長方體。(3)擴展。即對概念的適用范圍作一定的拓展和延伸。如，對于乘法分配律，可出現(a+b+c)d=ad+bd+cd、(a-b)c=ac-bc等形式。

2.注重概念的應用。

數學概念主要是在應用中得到鞏固的。通過概念的應用，除了能加深學生對概念的理解，促進概念的鞏固外，還有利于啟迪學生思維，培養學生的數學能力。同時，通過概念應用，可以檢驗學生理解和掌握概念的情況，以便及時彌補。小學數學概念的應用形式大致有：應用概念進行判斷；應用概念分析推理；應用概念分析數量關系，指導計算；概念的綜合應用。

3.注重概念的建構。

數學概念之間存在著種種的關系，如交叉關系、反對關系、并列關系、種屬關系等。當人們頭腦中建立了概念間的這些聯系時，就形成了一定的概念系統。幫助學生逐步建立一定的概念系統，這是概念教學的重要組成部分。在概念的系統中教學概念，學生容易理解，容易掌握。比如，教某一新概念時，講清它的來龍去脈，將它納入到原有的概念系統中去，不但能使學生全面、深刻地理解新概念，而且還能使原有概念得到充實和發展，更加鞏固。同時，由于系統化、結構化的知識具有良好的抗遺忘作用，所以，建立概念結構，有利于學生掌握概念，鞏固概念。