無窮小分析初階　第二版

John L. Bell University of Western Ontario，Canada

A Primer of Infinitesimal

Analysis

Second Edition

2008, 124pp.

Hardcover

ISBN 9780521887182

J.L.貝爾著

無窮小思想在微積分和數學分析的早期發展中起著重要作用，也是理解微積分的一個關鍵性概念。對于無窮小量的再認識以及在一種嚴格的基礎上重新論述，是現今數學領域的一個引人注意的課題。例如上世紀A.Robinson建立了“非標準分析”，被視為一個重要數學進展。本書作者應用一種直接、嚴格的公理化方法，提出“零平方”(或“冪零”)無窮小概念，建立了光滑無窮小分析框架，系統地給出微積分基本理論及在物理學中的主要應用，特別是將微分運算歸結為簡單的代數運算。本書初版后頗受好評，尤其是它在數學哲學和邏輯學方面的價值以及在教學上的意義得到肯定，第二版有一些增補，并改正了印刷錯誤。

全書除引論、附錄和文獻外，正文含8章。引論通過一些物理例子(如脈沖函數)分析了無窮小思想及其歷史發展過程，給出“冪零”概念的背景。正文第1章給出光滑世界的基本特征和公理化描述，是全書論述的基本框架，其余各章給出傳統微積分的基本結果和應用。其中第2~4章講述單變量微分學以及幾何、物理應用(如長度、面積、體積計算、壓強、懸鏈線、橫桿彎曲等)；第5章研究多變量微分學，包括偏導數、極值、熱傳導、流體力學基本方程、波方程等；第6章簡明地論述了定積分、高階無窮小及其應用；第7章是綜合微分幾何學的引論。最后一章給出光滑無窮小公理系統，并與“非標準分析”作了比較。附錄給出光滑無窮小分析的模型結構。

本書可供大學數學教師、理工科高年級學生以及數學哲學和邏輯方面的研究人員參考。

朱堯辰，研究員

(中國科學院應用數學研究所)

Zhu Yaochen, Professor

(Institute of Applied Mathematics,CAS)