燃爆壓裂中壓擋液柱運動規律的動力學模型*

吳飛鵬，蒲春生，吳 波

（中國石油大學石油工程學院，山東 東營 257061）

燃爆壓裂中壓擋液柱運動規律的動力學模型*

吳飛鵬，蒲春生，吳 波

（中國石油大學石油工程學院，山東 東營 257061）

針對燃爆壓裂過程中壓擋液柱受沖擊運動機理的復雜性，假設火藥燃氣與壓擋液柱存在完全氣液接觸界面，采用拉格朗日的微元分析方法，建立了由連續性方程、動量守恒方程、能量守恒方程組成的壓擋液柱運動規律動力學模型，并給出了該模型與火藥燃爆模型的耦合數值解法。經程序編制和實例計算表明，在綜合考慮火藥燃氣對液柱的宏觀推動作用、沖擊壓縮作用、液柱自身的動能分布及管壁對其摩擦阻力的影響后，火藥燃燒過程中氣液界面上升高度有限（實例計算不足0.1m），可起到很好的持壓作用；但全過程中最高液柱位移較大（18.9m），水力振蕩增效作用明顯。研究成果對提高燃爆壓裂的數值模擬精度具有一定促進作用。

爆炸力學；動力學模型；燃爆壓裂；壓擋液柱運動；動能分布

1 引 言

油水井燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運動規律是影響火藥燃爆能量分配及裂縫系統動態延伸的關鍵因素之一［1－3］，當前對于該問題主要是基于靜力學分析或簡化的動力學分析，將火藥燃爆壓力對液柱的作用分成初始沖擊壓縮作用和應力波傳到液面后的剛體運動作用2個部分來分析，分別建立相關解析模型［4－10］。但是由于高能火藥燃爆的強加載環境，整段液柱中各部分微元的運動速度差別非常大，由其所產生的動能影響和管壁對流體微元的摩擦阻力影響也非常大，不能忽略。由此，本文中，將綜合考慮液柱運動過程中由速度分布造成的動能影響及管壁摩擦阻力影響，以液柱任意微小截面單元作為研究對象，利用質量守恒、動量守恒、能量守恒等條件，建立燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運動規律動力學模型，據此可使壓擋液柱運動規律的定量描述更符合實際情況。

2 壓擋液柱運動物理模型

燃爆壓裂過程中火藥燃氣對壓擋液柱的作用機理很復雜，因此采用下列假設條件：（1）火藥燃爆后燃氣符合完全氣體狀態方程；（2）壓擋液為牛頓流體；（3）燃氣與液柱存在完全接觸面，且液柱的壓力為連續作用力；（4）全過程考慮流體微元動能變化和管壁摩擦阻力對液柱運動的影響；（5）液柱在井筒中的流動為等截面管流。

3 壓擋液柱運動規律數學模型

當前研究流體運動一般采用質點分析法的拉格朗日法或空間固定觀察站法的歐拉法［11］。本研究采用拉格朗日法，因此在一維流動中，選取各微團所在初始截面坐標位置x0作為拉格朗日坐標s。

（1）連續性方程

當流體運動時，微團流體的截面位置在隨時間變化，但此兩截面包圍區域中流體質量卻不隨時間變化。設l0為初瞬時t0兩截面之間的距離，ρ0為兩截面所限區域內的微團密度。經過時間t后，微元長度變為l，密度變為ρ，假設液體運動為等截面管流（A＝A0，A0、A分別為t0、t時刻的流體截面積），則液柱運動的連續性方程為

再由流體的壓縮性，結合微元體壓力和液柱壓力的對應關系得

式中：β為流體體積壓縮系數，Pa－1。

（2）動量守恒方程

流體微團受沖擊運動時受到4種作用力的影響：

①下端界面處向上的壓力p （x，t ）A；

②上端界面處向下的壓力

式中：λ為牛頓流體管流摩阻系數，量綱為一；R為管柱內半徑。由此應用牛頓第二定律，可得動量方程

③流體微元自身重力

④流體微元運動時受管壁的摩擦力

將式（3）～（5）代入式（6），并化簡得

（3）能量守恒方程

在絕熱、無粘的條件下，兩截面包圍區域內流體微團的熵值在運動過程中保持不變，則在流體微元運動過程中4種作用力對其作的功全部轉變成流體微元自身的動能和彈性能。

由前面分析得出流體微元在運動中受到的合力為

假設dt時間內，流體微元整體運動的距離為dx，微元長度變為l，則合力F對其做的功為

dt時間內流體微元的動能增量為

由位移、速度、加速度間關系得

將式（11）代入式（10）得

若壓擋流體的彈性模量為E，可得在dt時間內流體微元的彈性能增量為

式中：dl為t時刻到t＋dt時刻的微元長度變化量。

最后綜合式（9）、（12）、（13）得能量守恒方程為

（4）邊界條件

若以pn（t）表示第n個流體微元t時刻所受的壓強，則根據壓擋液柱的運動規律可得邊界條件為

式中：n＝1時pn（t）表示液柱底端微元所受的沖擊壓強；n＝M時表示t時刻應力波傳到第M 個微元，M＝int（ct／l0）；HM為第M 個微元的上部液柱高度，HM＝HL－ct，其中HL為壓檔液柱總高度；n＝N時pn（t）表示液柱最上端微元的上端面所受壓強，其值等于大氣壓（井口放開）。

4 壓擋液柱運動規律模型求解

由上述分析得燃爆壓裂過程中壓擋液柱運動的數學模型為

其中的未知數為液柱各處壓力p、微元流體密度ρ、微元自身長度l、微元位移x和微元運動速度v等5個參數，求解時模型（16）加上微元位移與微元自身長度變化的關系，共5個方程，可定量化求解任意火藥燃爆壓力、液柱條件和井身條件下的氣液界面高度位移隨時間的變化關系。

如圖1所示，將整段液柱進行網格劃分，進而對建立的數學模型（16）進行差分求解，以第i個微元網格為研究對象，分別對t時刻和t＋Δt時刻進行差分計算。

則連續性方程為

圖1 液柱網格劃分示意圖Fig.1Schematic diagram of the gridded fluid column

動量守恒方程為

如圖2，假設整個過程中液柱始終保持連續，則第i微元的位移與i－1微元的自身長度存在如下關系

圖2 流體微元運動示意圖Fig.2 Schematic diagram of the infinitesimal fluid column

結合沖擊壓力邊界條件，從液柱底端第1個微元開始差分求解，就可求得任意時刻的液柱狀態。

5 計算實例分析

利用建立的液柱運動模型，結合文獻［12］給出的火藥燃爆模型（式（12））、巖石起裂壓力模型和文獻［13］給出的燃爆壓裂裂縫系統動力學模型，利用火藥燃氣的質量變化與壓力變化可對各部分模型進行耦合求解，如此便可計算模擬火藥燃燒、裂縫起裂延伸、壓擋液柱運動組成的高能氣體壓裂全過程。利用該套理論編制計算程序，計算川高561井這一深層致密氣井中，5km井深，50kg火藥在1km清水液柱壓擋情況下燃爆的燃氣壓力和底面氣液界面的位移規律，如圖3～5所示。

式中：Vg為藥柱的燃燒體積，pw為井筒壓力，w0為燃速系數（壓力為1MPa時的燃燒速度），u為火藥的燃燒速度；δ為t時刻藥柱的燃燒長度，n為壓力指數，ρ0為火藥密度，Vr為燃燒室的自由容積；S0為裝藥的燃燒表面積，p為燃燒室內的平均壓力，R為燃氣常數，通常等于2.87J／（kg·℃）；f為火藥力，T為燃燒室內的溫度，cV為火藥比熱容。

式中：ps、pd為靜、動載下巖心破裂壓力，MPa；γ為動載加壓速率，GPa／s。

式中：q（t）為火藥燃氣在射孔孔眼處泄流量，Lf（t）為t時刻燃爆壓裂裂縫長度；W （x，t）為裂縫寬度；u （x，t）為火藥燃氣在裂縫壁面的滲流速度；p （x，t）為沿裂縫長度上的燃氣壓力分布；ρg為燃爆空間內火藥燃氣的密度；cg為火藥燃氣的比熱容；dQ2（t）為某時間微元內裂縫系統內的流體增量；dQ3（t）為某時間微元內由裂縫壁面滲漏入地層的流體增量。

圖3 裂縫延伸階段液柱運動和燃爆壓力的對應關系曲線Fig.3 Fracturing period corresponding curves between deflagate pressure and fluid column movement

由圖3（圖中H1為液柱底面運動的高度）可知，火藥燃爆后液柱底面壓力迅速上升，沖擊應力波以液體中縱波的速度向上傳播，應力波傳到的地方液柱受壓縮短，因此隨著火藥燃爆的進行，氣液界面上升位移呈現變加速上升趨勢；直到燃氣壓力趨于穩定（AB段），此時系統泄壓速率與火藥燃爆的產能速率達到平衡，新參與壓縮的液柱段所受沖擊壓力近似相等，故在AB壓力穩定階段，液柱底氣液界面呈現近似恒定速度地線性上升；當火藥燃燒完全（B點）后，系統壓力迅速下降，單位時間內新參與壓縮的液柱高度恒定，但所受壓力不斷下降，因此液柱底面仍在上升，但此時為變減速運動。

圖4 應力波傳到液面前后的液柱運動和燃爆壓力的對應關系曲線Fig.4 Stress wave propagating to the fluid surface period corresponding curves between deflagate pressure and fluid column movement

由圖4可知，燃爆應力波在火藥爆燃后705.7ms時傳到液柱頂面，此時對應的液柱底面壓力為9.95MPa，仍高于底面液壓。此后隨著應力波傳出液面，參與壓縮液柱的平均沖擊力逐漸變小，因此此時液柱壓縮到最短，之后液柱自身高度逐漸伸長，但液柱各部分微元將繼續向上做變速運動，且此時的液柱底面微元的運動速度遠大于液柱自身伸長速度，所以此后氣液界面仍將向上做變速運動。

圖5 液柱振蕩過程中的對應關系曲線Fig.5 Corresponding curves during oscillation process

由圖5可知，當沖擊應力波傳到液面后，伴隨著自身長度的伸縮，液柱整體在慣性的作用下繼續向上運動。此過程中由于重力、管壁摩擦力的作用，而且火藥燃氣本身也由于體積增大而迅速降壓，液柱底氣液界面上升速度逐漸減小，在6.75s時氣液界面停止向上運動，氣液界面上升到最高18.90m；此后，液柱在重力作用下下降，火藥燃氣壓力上升，減緩液柱運動，到達最底端后又開始反彈，出現振蕩，直至能量損耗完畢。

但需注意的是，圖5中所示的液柱振蕩曲線是在氣液存在完全接觸界面的假設條件下計算的，實際作業過程中隨著時間的推移，液柱底面將出現氣液混合作用，運動規律很復雜，需要進一步深入研究。但從燃爆壓裂的火藥開始燃爆到裂縫止裂階段耗時僅為幾毫秒（該實例2.5ms），氣液混合作用極微，可忽略不計，故所建模型可作燃爆壓裂過程耦合的關鍵模型之一。

基于燃爆壓裂的瞬時性、復雜性，實時測試井底氣液界面的位移很困難，但由于液柱參數對火藥爆燃峰值壓力影響很大，因此可通過測試實際爆燃壓裂井的峰值壓力來驗證模型的可靠性如表1所示，表中h為壓裂彈深度，H為液面高度，m為火藥質量，pmax為爆燃峰值壓力。

表1 實際燃爆壓裂井的峰值壓力對比表Table 1 Peak pressures of the actual blasting fracturing wells

從表1中可以看出，在裝藥量相當的情況下壓擋液柱高度對峰值壓力的影響顯著；且在考慮液柱動能分布、管壁摩擦影響后的計算精度（平均92.737%）遠高于解析算法精度（平均84.58%）；2種方法計算的峰值壓力均小于實測值，這可能是由于實際情況下管柱在強沖擊下會發生膨脹變形，使液柱流動為變截面流，從而加大了管壁對流動的阻力，導致燃爆峰值壓力升高。

6 結 論

（1）綜合考慮燃爆應力對壓擋液柱的宏觀推動作用、沖擊壓縮作用以及液柱的動能分布和管壁摩擦阻力的影響，以液柱任意微小截面單元為研究對象，利用質量守恒、動量守恒、能量守恒等條件，建立了燃爆壓裂過程中的壓擋液柱運動規律動力學模型，可為燃爆壓裂系統耦合模型提供壓力維持條件。

（2）利用動量守恒和能量守恒理論將火藥燃爆模型、裂縫動態延伸模型和壓擋液柱運動模型中的燃氣壓力、體積、質量耦合起來，建立了耦合數值求解方法，可定量計算任意火藥和壓擋液柱參數組合下的火藥燃爆壓力變化和氣液界面位移變化的對應關系。

（3）實例計算結果表明：

①火藥燃爆全過程中，沖擊應力波一般未傳到液柱頂面，液柱處于彈性壓縮階段，整體沒有位移，且由于時間極短此階段氣液界面上升高度有限，可起到很好的持壓作用；

②在沖擊波傳到液面后，液柱開始整體運動，火藥燃氣迅速卸壓，當液柱底面上升到最高時井筒燃爆處壓力降到最低；

③整個作用過程中氣液界面可上移到較高位置（實例計算中為18.9m），表明燃爆壓裂具有較好的水力振蕩增效作用。

（4）本文中給出的壓擋液柱運動動力學模型考慮因素更加全面，研究成果對提高燃爆壓裂優化設計的精度具有一定促進作用。

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A dynamic model of the pressurized liquid column movement in the high energy gas fracturing process＊

WU Fei-peng，PU Chun-sheng，WU Bo

（College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Dongying257061，Shandong，China）

According to the kinematical mechanism complexity of the impacted pressurized liquid column in the high energy gas fracturing process，we assumes that the completely contacted gas liquid interface exits.Then by using a Lagrange analytical method for studying a random liquid across-section，a dynamic model of the pressurized liquid column movement law is set up，which comprises continuity equation，momentum conservative equation and energy conservative equation.Based on the pressure and volume conservation during the process of powder conflagration and pressurized liquid column movement，a coupling numerical method for describing the gas-liquid interface movement law is established.Example calculations show that when considering the macroscopical propel and impact compression on the pressurized liquid column caused by deflagration，dynamic energy distribution of the liquid distribution and pipe column friction resistance，the interface ascending height is limited（less than 0.1min the example conditions）.This illustrates that pressurized liquid column has a good function of backing pressure.But in fact，in the fracturing process，the interface can reach a higher position（18.9m），which shows that in the later process，hydraulic oscillation produces an obvious synergistic effect.

mechanics of explosion；dynamic model；high energy gas fracturing process；pressurized liquid column movement；dynamic energydistribution

8August 2009；Revised 29November 2009

WU Fei-peng，upcwfp＠163.com

（責任編輯 曾月蓉）

O389；TE357.2 國標學科代碼：130·35

A

1001-1455（2010）06-0633-08

2009-08-08；

2009-11-29

國家自然科學基金項目（50774091）；國家西部開發科技行動計劃重大科技攻關項目（2005BA901A13）

吳飛鵬（1983— ），男，博士。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（50774091）；the Key Technology R＆D Program（2005BA901A13）