“牛頓水桶”液面方程的幾種巧解

孫伏優

(南京師范大學附屬中學江寧分校 江蘇 南京 211102)

牛頓在1689年構思了一個理想實驗，即著名的“水桶實驗”．在“水桶實驗”中，一個注水的水桶起初保持靜止．當它開始發生轉動時，水桶中的水最初仍保持靜止，但隨后也會隨著水桶一起轉動，于是可以看到水漸漸地脫離其中心而沿桶壁上升形成凹狀，直到最后和水桶的轉速一致，水面相對靜止．辯證力學的理論預言是：在地球的引力場內，旋轉水桶中水面形狀由平變凹，其形狀是拋物線旋轉曲面．筆者嘗試從幾種不同角度證明最后穩定時液面的形狀是拋物線旋轉曲面．

建模：牛頓水桶實驗可視為切線力等于零的平衡運動，所以，牛頓水桶可以當做剛體．現任取曲面的一個截面，試證明其為拋物線．

圖1

方法一：從曲線上取一點水P，受法向力N和重力mg，P點的切線與x軸夾角為θ，不難證明N與mg的夾角為(π-θ)，由于水滴P做勻速圓周運動，所以合力指向圓心提供水滴P做圓周運動的向心力，如圖1所示.由平行四邊形法則可得N與mg的合力F合．

圖2

方法二：從液面上任取一點(x,y)，構建如圖2所示的水平小液柱x和豎直小液柱y，那么水平小液柱x做圓周運動的向心力來源于豎直小液柱y的壓力．設液體密度為ρ，小液柱截面為ΔS，得

同理可得液面方程

說明：不難證明均勻棒繞其一端做圓周運動時，可將其等效為質量集中在中點的質點做圓周運動．

圖3

方法三：從曲線上取一點水P，坐標為(x,y)，其受重力mg、法向力N、水平向外慣性力F1=mω2x、豎直向上慣性力F2=mg，如圖3所示．則x方向合力為零，y方向合力沿y正方向大小為mg，那么水滴的運動可視為平拋運動．則

x=v0t

(1)

(2)

由(1)、(2)式得

在P處的速度方向為該點切線方向，而F1與重力mg的合力與N等大反向，則

同理可得液面方程