3種熱平衡積分法結果的比較

陳葉,令鋒

（1.內蒙古工業大學理學院，內蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學院計算機學院，廣東肇慶526061）

3種熱平衡積分法結果的比較

陳葉1,2,令鋒2

（1.內蒙古工業大學理學院，內蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學院計算機學院，廣東肇慶526061）

運用傳統的、改進的和替換的熱平衡積分法求解了一維單相融化問題，在不依賴精確解的情況下比較了3種積分方法近似解的精度.結果表明：在固定溫度邊界條件下選取二次函數近似時，傳統的熱平衡積分法較改進的和替換的熱平衡積分法更準確,隨著Stefan數的減小，3種積分法結果的誤差都在減小.

Stefan問題；傳統的熱平衡積分法；改進的熱平衡積分法；替換的熱平衡積分法

0 引言

熱平衡積分法（heat balance integral method;HBIM）是Goodman[1]提出的解決熱傳導問題的一種解析方法.即通過對導熱微分方程在t時刻的攝動深度s(t)關于空間變量積分得到一個積分方程，選取滿足邊界條件的函數代入積分方程，求得整個區域的溫度分布.用簡單函數來近似描述溫度場，計算難度低于分析解法，計算速度快于數值解法，且計算精度較高，這使其在導熱問題的求解中被廣泛應用.Wood[2]提出了二次函數下HBIM的6種組合，通過與精確解作比較對HBIM的實施提供了指導.事實上，Goodman在文獻[1]中提到2種組合方式，而Wood在文獻[2]中只提到其中1種，Mitchell和Myers[3]把Goodman的第2種組合作為第7種，并稱其在Stefan數的小范圍內比其他6種準確.Mosally等人[4]以單相融化問題為模型，采用與數值實驗結果相對比的方法，給出了當Stefan數等于1時單相融化問題HBIM細化解的收斂速度.徐湘田和令鋒[5－6]通過理論分析而不依賴于數值實驗，分別給出了單相融化問題和Neumann問題熱平衡積分細化解收斂性的證明.

改進的熱平衡積分法（refined integral method;RIM）是Sadoun等人[7]提出的一種半解析方法.即通過對導熱微分方程關于空間變量積分2次并結合傳統的熱平衡積分方程得到一個新的積分方程，選取滿足邊界條件的函數代入這個積分方程，求得整個區域的溫度分布.該方法建立在文獻[8]中提到的改進積分基礎上，避免了?u/?x在x＝0處產生的誤差,在一定Stefan數范圍內該方法比其他解析方法顯示出更高的準確性.Mitchell和Myers在文獻[3]中介紹了RIM，并在此基礎上提出了替換的熱平衡積分法（alternative refined integral method;ARIM）.即通過對導熱微分方程關于空間變量積分2次得到一個積分方程，選取滿足邊界條件的函數帶入這個積分方程，求得整個區域的溫度分布.文中利用已知的數值解及精確解比較了HBIM、RIM和ARIM在2種溫度邊界條件下得到的近似解，指出當?u/?x在x＝0處已知的情況下，比如Robin或者熱流邊界條件下ARIM更準確.

至此，多數學者都是借助已知的數值解或精確解比較近似解的精度.Langford[9]提出一個函數在精確解和數值解未知的情況下估計近似解的準確性.Myers[10－11]利用Langford提出的函數求得了非整數形式的HBIM和RIM最優多項式次數，并將之應用到標準熱問題及Stefan問題中.本文中，筆者在前人工作的基礎上，在不依賴精確解和數值解的情況下,考慮固定溫度邊界條件下選擇二次函數近似時,比較3種熱平衡積分的結果.

1 模型方程

單相冰融化問題的無量綱模型的數學描述如下[4]：

2 計算過程

假設溫度近似函數為[2]

2.1 傳統的熱平衡積分法(HBIM)

將(1)關于空間變量x積分，有

整理得

將(6)代入(8)，有

將(2)代入(9)，有

另由(6)與Stefan條件(2),得到

由(10)和(11)得到

2.2 改進的熱平衡積分法(RIM)

將(1)關于空間變量積分2次，有

整理得替換的熱平衡積分方程

將(8)代入(15)，有

將(2),(6)代入(16)，有

由(11)與(17)得到(13)和下式：

2.3 替換的熱平衡積分法(ARIM)

將(6)代入(15)，有

由(11)和(19)得到(13)和下式：

3 結果比較

Langford[9]提出的用于估計近似解準確性的函數為

將(6),(13)代入(21)，有

式(22)給出了e2的定義,即t＝1時近似解的誤差,易知e2只是β的函數.依次將(12),(18),(20)代入(22)，并利用數學軟件Matlab，取β＝1：0.2：10計算誤差并作圖.

圖1 β取不同值時3種熱平衡積分e2的比較

圖1給出了3種積分方法近似解誤差隨β值變化的曲線.從圖1中可以看出，隨著β值的增大，即隨著Stefan數的減小，3種熱平衡積分所得近似解析解的誤差都在減小.也就是說，相變的速度越快，積分結果越準確.對于固定溫度邊界條件下一維單相熱傳導問題，采用熱平衡積分法的誤差最小.

本文在簡單情形下（即固定溫度邊界條件下）對3種熱平衡積分進行了比較.在以后的工作中，可以用這種方法對復雜情形（例如隨時間變化溫度的邊界條件下）這3種熱平衡積分進行比較.此外，本文還為比較熱傳導方程其他形式的近似解析解提供了思路.

[1]GOODMAN T R.The heat balance integral and its application to problems involving a change of phase[J].Trans ASME Journal of Heat Transfer,1958,80：335-342.

[2]WOOD A S.A new look at the heat balance integral method[J].Applied Mathematical Modeling,2001,25(10)：815-824.

[3]MITCHELL S L,MYERS T G.Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problem[J].SIAM Review,2010,52(1)：57-86.

[4]MOSALLY F,WOOD A S,AL-FHAID A.On the convergence of the heat balance integral method[J].Applied Mathematical Modeling,2005,29(10)：903-912.

[5]徐湘田,令鋒.單相融化問題熱平衡積分細化解的收斂性[J].內蒙古大學學報：自然科學版,2009,40(2)：128-131.

[6]徐湘田,令鋒.Neumann問題熱平衡積分法細化解的收斂性[J].工程數學學報,2010,27(2)：115-124.

[7]SADOUN N,SI-AHMED E,COLINET P.On the refined integral method for the one-phase Stefan problem with time-dependent boundary condition[J].Applied Mathematical Modeling,2006,30：531-544.

[8]SADOUN N,SI-AHMED E.A new analytical expression of the freezing constant in the Stefan problem with initial superheat[J]. Numer Meth Therm Probl,1995,9：843-854.

[9]LANGFORD D.The heat balance integral method[J].Int J Heat Mass Transfer,1973,16(12)：2 424-2 428.

[10]MYERS T G.Optimizing the exponent in the heat balance and refined integral methods[J].International Communications in Heat and Mass Transfer,2009,36：143-147.

[11]MYERS T G.Optimal exponent heat balance and refined integral methods applied to Stefan problems[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2010,53：1 119-1 127.

A Comparison of Three Integral Methods CHEN Ye1,2,LINGFeng2

(1.School of Science,InnerMongoliaUniversity of Technology,Hohhot,InnerMongolia 010051,China; 2.School of ComputerScience,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

The one-phase melting problem is solved by using conventional,refined and alternative refined heat balance integral method.The accuracy of the approximate solutions is compared requiring no knowledge of the exact solution.It is found that the conventional integral method is more accurate underthe constant temperature boundary condition than the refined and alternative refined integral method when using the quadratic function,andas the Stefannumberbecomes smaller,the errors of the integral methods become smaller.

Stefan problem;heat balance integral method;refined integral method;alternative refined integral method

O175.29

A

1009－8445（2010）05－0001－04

(責任編輯：陳靜)

2010－06－08

陳葉（1986－），女，河南許昌人，內蒙古工業大學與肇慶學院聯合培養碩士研究生.