動力學系統Noether對稱性的幾何表示＊

劉 暢 趙永紅 陳向煒1)(北京理工大學應用力學系,北京 100081)(商丘師范學院物理與信息工程系,商丘 476000)(商丘師范學院教務處,商丘 476000)

動力學系統Noether對稱性的幾何表示＊

劉 暢1)?趙永紅2)陳向煒3)
1)(北京理工大學應用力學系,北京 100081)
2)(商丘師范學院物理與信息工程系,商丘 476000)
3)(商丘師范學院教務處,商丘 476000)

(2009年2月3日收到;2009年3月26日收到修改稿)

利用現代微分幾何方法研究了Lagrange系統、Hamilton系統和Birkhoff系統的Noether對稱性,并導出系統相應的Noether守恒量,最后給出了應用算例.

動力學系統,幾何表示,Noether對稱性,Noether守恒量

PACC:0320

1.引言

通過討論動力學系統的對稱性來簡化系統變量的個數是研究動力學系統的一個重要主題[1—4].自Noether1918年發表不變變分問題[5]以來,Noether理論的研究引起了力學物理學和數學工作者的高度重視,并已經取得了一系列重要成果[3,6—17].文獻[6]指出“Noether的結論既簡單又深刻,Noether定理之完美在于它不依賴于作用量的細節,它是人類只會對自然的自信.Noether定理給數理科學帶來一片光明.”近年來,國際上十分重視利用微分幾何的方法來研究動力學系統的對稱性與守恒量[1,18,19].利用現代微分幾何理論來描述力學系統的對稱性與守恒量,不僅從數學觀點上提供了更為嚴格、簡潔、優美的表達形式,而且可以直觀的從全局上把握動力學系統的物理本質.

本文就是利用微分幾何的方法研究了Lagrange系統、Hamilton系統和Birkhoff系統的Noether對稱性,并導出相應的守恒量,最后給出了應用舉例.

2.Lagrange系統的Noether對稱性

2.1.Lagrange方程的幾何形式

定義1 Lagrange動力學系統的狀態空間為切叢流形TQ,且Lagrange函數為L:TQ|→R,在切叢流形TQ上的動力學向量場為

切叢流形TQ上的1-形式為

則Lagrange系統動力學方程的幾何形式為

顯然可證(1)式等價于通常形式的Euler-Lagrange方程[19].

2.2.Lagrange系統的Noether定理

如果Lagrange動力學系統在流ψε作用下滿足

因為

如果向量場X是Lagrange系統的Noether對稱性向量場,即

其中PX=〈ˉX;θL〉為Noether守恒量.

3.Hamilton系統的Noether對稱性

3.1.H amilton方程的幾何形式

定義2 Hamilton動力學系統的狀態空間為余切叢流形T＊Q,且Hamilton函數H:T＊Q|→R,余切叢上的動力學向量場為

余切空間T＊Q上的1-形式為θH:=pidqi.則Hamilton系統的動力學方程可表示為

其中ωH=-dθH=dqi∧dpi.

3.2.H amilton系統的Noether定理

若向量場X是Hamilton動力學系統T＊Q,ω,H的對稱性向量場,則局部存在X= Xf,并且f沿Hami-ltonian流是運動不變的.反之,如果f:T＊Q|→R是運動不變的,則Xf是Hamilton系統的對稱性向量場,即

由(6)式知:

1)Hamilton系統的對稱性向量場保辛結構;

2)Hamilton系統的對稱性向量場保Hamilton函數不變.

4.Birkhoff系統的Noether對稱性

4.1.自治Birkhoff系統的Noether對稱性

自治Birkhoff系統動力學方程的幾何表示為[20,21]

自治Birkhoff系統的Noether定理:若向量場Y是自治Birkhoff系統的Noether對稱性向量場,則有

同樣由(8)式可知存在函數I滿足

所以由(9)和(10)式可得

即得自治Birkhoff系統的Noether守量為

4.2.非自治Birkhoff系統的Noether對稱性

非自治Birkhoff系統動力學方程的幾何表示為[20,21]

非自治Birkhoff系統的Noether定理:若向量場Y是非自治Birkhoff系統的Noether對稱性向量場,則有

因為

所以由Poincaré逆引理可知,存在規范函數GN滿足

同樣由(15)式知,一定存在函數I滿足

所以由(16)和(17)式可得

即得非自治Birkhoff系統的Noether守恒量

5.應用舉例

例1 對于四階自治Birkhoff系統

當系統的對稱性群G的無限小生成元

則此Birkhoff系統存在對稱性向量場

并且存在規范函數

則系統存在Noether守恒量

例2 對于二階非自治Birkhoff系統

當系統的對稱性群G的無限小生成元

則此Birkhoff系統存在對稱性向量場

并且存在規范函數

則系統存在Noether守恒量

6.結論

因此利用微分幾何的方法同樣可以研究了Lagrange系統,Hamilton系統和Birkhoff系統的Noether對稱性,并得到了相應的守恒量,形式更為簡潔,而且物理意義更為明顯.并且還可以

1.利用動量映射的方法研究動力學系統的Noether定理,即只要存在動力學系統的對稱性群,就可以構造出Lagrange系統、Hamilton系統和Birkhoff系統的動量映射,可以證明這個動量映射函數就是系統的守恒量;

2.構造出動力學系統的動量映射以后,還可以進一步研究動力學系統的對稱約化問題.

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PACC:0320

Geometric representation of Noether symmetry for dynamical systems＊

Liu Chang1)?Zhao Y ong-Hong2)Chen Xiang-Wei3)

1)(Department of Applied Mechanics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)
2)(Department of Physics and Information Engineering,Shangqiu Normal College,Shangqiu 476000,China)
3)(Academic Affairs Office,Shangqiu Normal College,Shangqiu 476000,China)

3 February 2009;revised manuscript

26 March 2009)

In this article Noether symmetry of Lagrange systems,Hamilton systems and Birkhoff systems are discussed by geometric methods.And the corresponding Noether conserved quantities are deduced.

dynamical systems,geometric representation,Noether symmetry,Noether conserved quantity

＊國家自然科學基金(批準號:10972127,10872084)和河南省自然科學基金(0311010900)資助的課題.

?通訊聯系人.E-mail:liuchang101618@126.com

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10972127,10872084),and the Natural Science Foundation of Henan Provience(Grant No.0311010900).

?Corresponding author.E-mail:liuchang101618@126.com