各向異性超常材料平板透鏡的聚焦特性分析＊

劉虹遙 呂 強 羅海陸 文雙春

(湖南大學計算機與通信學院微納光電器件及應用教育部重點實驗室,長沙 410082)

各向異性超常材料平板透鏡的聚焦特性分析＊

劉虹遙 呂 強 羅海陸 文雙春?

(湖南大學計算機與通信學院微納光電器件及應用教育部重點實驗室,長沙 410082)

(2009年4月6日收到;2009年5月23日收到修改稿)

運用矢量角譜理論研究各向異性超常材料平板透鏡的聚焦特性,得到了光束在平板透鏡內外各區域的矢量場分布,揭示了超常材料平板透鏡的聚焦特性跟材料的各向異性參數之間的定量關系,發現聚焦場的偏振態因平板透鏡的各向異性特性而發生改變.作為矢量理論的具體應用,分析了光軸方向磁導率為-1,其他各向異性參數均為1的超常材料平板透鏡的聚焦特性,發現此類透鏡對初始沿某一橫向方向偏振的光束能實現部分聚焦,并發生偏振旋轉現象.

超常材料,平板透鏡,部分聚焦,偏振態

PACC:4225B,4230D

1.引言

超常材料平板透鏡作為負折射率超常材料最重要的應用之一,近年來成為了研究熱點.平板成像首先由Veselago提出,他指出介電常數ε和磁導率μ均為負的材料會發生負折射現象進而實現平板聚焦[1].Pendry進一步指出,滿足μ=ε=-1的超常材料平板透鏡能夠實現“完美成像”:由于近場倏逝波能夠在超常材料平板透鏡中傳輸并參與成像,此透鏡能夠突破傳統透鏡的衍射極限實現亞波長成像[2].這個開創性的概念引起了人們極大的研究興趣[3—6].盡管“完美透鏡”具有如此誘人的優點,但在實際應用中,各向同性超常材料的制備相當困難,因此許多人將視線投向各向異性超常材料平板透鏡[7—15].如,Smith等人用實驗和模擬的方式證明了滿足z方向磁導率為-1的超常材料平板透鏡能夠實現近場TE光的部分聚焦[7];Parimi等人提出利用光子晶體中的負折射現象可構造平板透鏡[8]; Dumelow等人發現用無磁性各向異性材料同樣能構造對TM光有聚焦作用的平板透鏡[9].

由于在各向異性超常材料中電磁波波能表現出許多新奇的傳輸特性[16—22],各向異性超常材料平板能被設計為滿足不同需求的光學儀器,如對偏振不敏感的平板透鏡[14],偏振分離器[23],濾波器[24,25],等等.研究電磁波通過平板透鏡聚焦的問題時,光的偏振態是一個需要考慮的重要問題.然而,目前對此類問題的研究主要基于傳統的標量分析法,這種方法將傳輸的光束看成是標量波的疊加,沒有考慮光場的矢量性質,之前的研究大多集中在對聚焦場振幅分布的分析上,忽視了對偏振態的討論.不同于傳統標量分析方法,角譜理論考慮了電磁波的矢量特性,可以描述光束在各個方向上的場分布.基于這個理論,我們能夠對各向異性超常材料平板透鏡聚焦場的偏振態進行分析.

本文運用角譜理論研究了各向異性超常材料平板透鏡聚焦場的偏振特性.從麥克斯韋方程組出發,得到傍軸光束在各向異性超常材料中的矢量傳輸公式,利用這個公式對各向異性超常材料平板透鏡的聚焦場各個方向分量進行了研究.參照Smith等人所制造的材料,選取了一種各向異性超常材料平板透鏡進行具體討論,發現這個透鏡實現了初始沿x方向偏振光的部分聚焦,聚焦場的偏振態發生了變化,像平面上y方向場的最大振幅與x方向場的最大振幅在同一個量級.

2.光束在各向異性超常材料中傳輸的矢量理論

選取光軸為z軸的單軸各向異性超常材料為研究對象,這也是研究各向異性超常材料的一個常用模型[7,16—18].此時,介電張量和磁導率張量可表示為

其中εz(μz)和ε⊥(μ⊥)分別表示介電常數和磁導率在平行和垂直于光軸方向上的分量.

考慮一單色電磁波從真空以任意角度入射至各向異性超常材料,其電場E(r,t)=Re[E(r) exp(-iωt)]與磁場H(r,t)=Re[H(r)exp(-iωt)]的復振幅包絡滿足麥克斯韋方程組:

將(1)式代入(2)式,通過運算,我們得到各向異性超常材料的色散方程:

其中qj表示波矢在j(j=x,y,z)方向的分量,ω為電磁波的頻率,c表示真空中的光速.假設電磁波沿+z方向傳輸,由(3)式可知,qz可以取兩個不同的值:

分別對應于TE,TM偏振波[14,21,23].其中,k0=ω/c,表示真空中的波數,σ=±1,我們選擇其符號使能流往+z方向流動[13].將(4)式代入(2)式,得到單軸超常材料中正向傳輸平面波的兩組基本解:

其中UTE0,UTM0為任意常數,q⊥=qxex+qyey,表示波矢q的橫向分量.顯然,這兩組平面波的偏振方向與它的波矢以及材料的各向異性參數有關.

下面利用角譜理論推導光束在各向異性超常材料中的矢量傳輸公式.由麥克斯韋方程組的線性特征可知,傳輸光束可以看作平面波的線性疊加.不同于傳統的標量研究方法[24],本文將光束處理為兩組矢量平面波的線性疊加:

其中UTE(q),UTM(q)決定于入射光束在邊界上的分布.顯然,(6)式考慮了電場在各個方向的分量,能夠用于分析不同位置電場的偏振態.由邊界條件可知,邊界面處電場和波矢的橫向分量相等:

其中~E⊥(k)=~Exex+~Eyey,表示電場在邊界處的橫向角譜分布,可由對邊界電場分布進行傅里葉變換得到

將(5)式和(7)式代入(6)式,得到光束在各向異性超常材料中傳輸的嚴格矢量解

(9)式是描述光束傳輸的一般公式,可以用于研究任意條件下光束在單軸超常材料中的傳輸問題.下面引入傍軸近似,將qz進行泰勒展開并保留前兩項

由(9d)式得到TE波縱向場為零,傍軸條件下波矢分量滿足條件此時TM波電場的縱向分量為一階小量(見(9e)式),因此本文中我們不對縱向場分布進行具體地討論.將(10)式代入(9)式,得到傍軸光束在單軸超常材料中傳輸的矢量公式

其中A⊥(r⊥,z)表示橫向慢變振幅.為了更加清楚地表現電磁波的折射特性,(11)式中我們引入了TE,TM波的有效折射率nTE,nTM,它們分別滿足關系

觀察(11)式并與用傳統標量方法以及在傳統單軸晶體中傳輸的分析結論進行比較,可以發現許多新奇的現象[19,20,27].首先,由于任意偏振方向的波傳輸至超常材料中均能產生TE,TM波,光束傳輸至超常材料中偏振態將會發生改變,這樣可能導致平板透鏡產生聚焦場的偏振態有所改變.其次,由(11b)和(11c)式可知,超常材料中TE(TM)光束傳輸過程中是發生會聚的條件為nTE<0(nTM<0),因此有效折射率的定義將超常材料的各向異性參數與光束聚焦特性聯系起來.由于TE和TM波的有效折射率決定于不同的各向異性參數,各向異性平板透鏡能展現多種不同的聚焦特性.可以根據(12)式選取不同的材料參數,滿足各種實際需要.

3.光束通過各向異性超常材料平板的聚焦場分析

如圖1所示,將一個各向異性超常材料平板透鏡置于真空之中.取物平面為z=0,分界面分別為z =a和z=a+d平面,像平面位于z=a+d+b.考慮一個類高斯入射光束向+z方向傳輸,初始時沿x軸方向偏振,假設束腰位于物平面,電場分布為

其中,E0為與光強有關的任意常數,w0表示束腰寬度.當入射光束沿任意方向偏振時我們的方法同樣適用.

圖1 光束通過超常材料平板透鏡聚焦示意圖(平板透鏡位于區域2,兩邊被真空包圍(區域1和3),實線和虛線分別表示物平面和像平面)

將(13)式代入(11)式并取nTE=nTM=1,得到區域1內電場的分布:

取z=a,對(14)式的E1(r⊥,a)進行二維傅里葉變換,將所得到的邊界處電場角譜分布代入(11)式,我們得到區域2內的電場分布:

其中LTE=1/2nTEkw20,LTM=1/2nTMkw20,分別表示區域2內TE波和TM波的瑞利距離.為簡單起見,在上式推導中假設邊界面處電場完美匹配,沒有發生反射.

觀察(15)式,可以發現一個有趣的現象:光束傳輸至透鏡中偏振態立刻發生了改變.初始沿x方向偏振的光束在第一分界面(z=a平面)處分裂成TE,TM兩個光束,它們在y方向上電場振幅分布相同,相位相差π,滿足電場連續的邊界條件.然而,這兩個光束在透鏡中獨立傳輸,并且均不再為線偏振光,其偏振態與具體位置以及有效折射率有關.對于TE光,x方向場分量比y方向場分量相位滯后θTE= arctan[(z+anTE-a)/(knTEy2-LTE)].對于TM光, x方向場分量比y方向場分量相位滯后θTM=π/2+ arctan[(z+anTE-a)/(knTEy2-LTE)].

為了進一步研究透鏡內的場分布,我們選擇一種各向異性超常材料平板透鏡為例進行具體分析.根據Smith等人所制造的各向異性超常材料(見文獻[11]),取ε⊥=εz=μ⊥=1,μz=-1,a=2 cm,d =4 cm,假設zR=1 cm,w0=1 cm.此時,有效折射率為nTE=-1,nTM=1.圖2、圖3分別描繪了TE, TM光束在透鏡中不同位置處的場振幅分布.在第一分界面處TE,TM光束電場分布相似(見圖2(a),圖3(a)),然而由于對應的有效折射率符號相反,它們在透鏡中表現出不同的傳輸性質.TE光束具有負的瑞利距離[3],在區域2內發生會聚,兩個邊界面處電場分布相同(見圖2).TM光束則具有正瑞利距離,在傳輸不斷發散,束腰寬度不斷的增加(見圖3).

圖2 透鏡內TE光束電場的振幅分布圖(第一、二列分別表示x,y方向電場的分布;從圖上可以發現TE光束在區域2發生會聚,第一、二邊界面處電場分布相同) (a)第一邊界面;(b)透鏡內的像平面;(c)第二邊界面

圖3 透鏡內TM光束電場的振幅分布圖(第一、二列分別表示x,y方向電場的分布;顯然TM光束在區域2傳輸時繼續發散,光束不斷展寬) (a)第一邊界面;(b)透鏡內TE光束的像平面;(c)第二邊界面

圖4描繪了透鏡內TE(a),TM(b)光束束寬隨距離變化圖.η方向光束束腰寬度定義為[28]

其中j=TE,TM,η=x,y.顯然,透鏡內TE光束以會聚的方式傳輸,TM光束以發散的方式傳輸.由于超常材料的各向異性特性,平板透鏡內光束不再為圓對稱分布.盡管變化趨勢相一致,平板透鏡內光束在x方向與y方向的束腰寬度相差較大,這在圖2,圖3中同樣能得到體現.

現在我們開始分析區域3的電場分布.取(15)式中z=a+d并進行傅里葉變換,將得到的第二邊界面處的角譜分布代入(11)式.使nTE=nTM=1,得到區域3內的電場分布

其中A31(r⊥,z),A32(r⊥,z)分別表示區域2內的TE光束和TM光束傳輸至區域3產生場的慢變振幅.顯然,區域3內y方向的場分量不為零,并且光束不再為線偏振光.電場由兩部分線性疊加而成,這兩部分為別由區域2內的TE,TM光束通過第二邊界面產生.由于區域2內TE,TM光束獨立傳輸,有效折射率決定于不同的各向異性參數,各向異性超常材料平板透鏡能夠表現出不同的聚焦特性.nTE· nTM<0時,透鏡實現了光束的部分聚焦;nTE<0且nTM<0時,透鏡能實現光束的完全聚焦;nTE>0且nTM>0時,光束不能聚焦.注意平板透鏡的厚度必須滿足條件d>-an(其中,n=min(nTE,nTM)且n <0),否則光束在透鏡以及區域3內無法聚焦.此時,像平面的位置為b=-d/n-a.

圖4 透鏡內TE(a),TM(b)光束束寬隨距離變化圖(圖中虛線表示x方向束寬,實線表示y方向束寬.顯然TE,TM光束在平板透鏡內分別以會聚、發散的方式傳輸)

圖5 光束在物平面(a)以及像平面(b)的電場振幅分布圖(第一、二行分別表示x,y方向的電場分布.從圖中可以看出,像平面電場的偏振態發生改變,y方向的電場不為零)

下面我們以Smith等制造的各向異性超常材料平板透鏡為例進行具體分析,此時像平面的位置為b=2 cm.與Smith等人的結論一致,我們發現此透鏡實現了光束的部分聚焦:區域2的TE光束傳輸至區域3在像平面上發生聚焦,而區域2的TM光束一直發散傳輸,它在區域3所產生的場分布范圍廣、振幅小,相對于區域2內TE光束產生的場可以忽略,在實驗中也很難檢測到.因此,像平面上x方向的電場失去了圓對稱性,振幅約減少為物平面電場振幅的一半.注意物平面光束沿任意方向偏振時,均會發生部分聚焦.綜合上面的分析,我們揭示了部分聚焦的物理本質:入射光束由物平面向正方向傳輸,當它傳輸至平板透鏡時,由于透鏡的各向異性特性,傳輸光束可看成兩個獨立傳輸的矢量光束(TE,TM光束)的線性疊加.其中,TE光束在透鏡中以聚焦的方式傳輸,并在區域3內成像.另一方面,TM光束在透鏡里傳輸時不斷地發散,不能在區域3內成像.因此部分聚焦就是區域2中的TE光束部分發生聚焦.

圖5描繪了物平面、像平面上電場的振幅分布.與物平面相比較,像平面上電場的偏振態發生了改變.像平面y方向的場分布不為零,它的最大振幅與x方向場的最大振幅在同一個量級.偏振改變現象源于電場的部分聚焦:初始沿x方向偏振的光束在透鏡中分裂成TE,TM光束的線性疊加,在第一個邊界面處,TE,TM光束y方向場振幅分布相同,相位相差π,疊加后可以抵消.然而由于電場發生部分聚焦,透鏡中TE,TM光束表現出不同的傳輸特性,在像平面上TE,TM光的y方向場不再能相互抵消, TM光y方向場分布范圍廣,振幅小,在靠近光軸處可忽略.這個現象在Smith等人的實驗中應該同樣會出現.由于像平面上y方向場分布較明顯,這個現象在各向異性平板透鏡成像的實驗中應該引起注意.

4.結論

利用角譜理論研究了單軸各向異性超常材料平板透鏡的聚焦特性,得到光束在各個區域的矢量場分布.通過對平板透鏡中TE和TM光束有效折射率的定義,發現各向異性參數不同的超常材料平板透鏡能表現出不同的聚焦特性.與入射光束相比較,聚焦場的偏振態發生了改變.作為應用,參照Smith等人所制作的材料選取一種超常材料平板透鏡進行了具體分析,我們發現此透鏡對初始沿x方向偏振的光束同樣實現了部分聚焦:入射光束傳輸至平板透鏡時分裂成TE和TM兩個獨立傳輸光束,其中TE光束在透鏡中以會聚的方式傳輸并在像平面成像,而TM光束則在傳輸中不斷地發散,不能成像.對像平面上各個方向電場分布的考察發現,像平面y方向的電場不為零,它的最大振幅與x方向電場的最大振幅在同一個量級,這種偏振旋轉現象是由光束發生部分聚焦產生的,不能用傳統的標量理論得到.

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PACC:4225B,4230D

Focusing properties of the uniaxially anisotropic metamaterial slab lens＊

Liu Hong-Yao LüQiang Luo Hai-Lu Wen Shuang-Chun?

(Key Laboratory for Micro/Nano Optoelectronic Devices of Ministry of Education,
School of Computer and Communication,Hunan University,Changsha 410082,China)

6 April 2009;revised manuscript

23 May 2009)

We studied the focusing properties of an anisotropic metamaterial slab lens by means of the angular spectrum representation of the vectorial electromagnetic field.The analytical expressions for vectorial fields in all the propagation regions are obtained, and the quantitative relationship between the focusing characteristics of the vectorial electromagnetic field and the anisotropic parametersof the anisotropic metamaterial slab lens is disclosed.The polarization state of the focusing beam is found to be changed due to the effect of anisotropy.As an application of the vectorial theory,we have analyzed the focusing property of an anisotropic metamaterial slab for which the permeability along longitudinal axis is-1.It is demonstrated that this slab lens can redirect a beam initially polarized along a transverse axis to a partial focus and give a clear polarization rotation of the beam.

metamaterial,slab lens,partial focusing,polarization state

＊國家自然科學基金(批準號:10974049,10804029)和國家博士后科學基金(批準號:20080431018)資助的課題.

?E-mail:scwen@hnu.cn

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10974049 and 10804029)and National Science Foundation for Postdoctoral Scientists(Grant Nos.20080431018).

?E-mail:scwen@hnu.cn