以平行四邊形為周期的雙正交插值周期尺度函數的構造

劉榮輝，王 芳

(大慶師范學院 數學學院，黑龍江 大慶 163712；2.大慶市宏偉熱電廠 教育科，黑龍江 大慶163711)

我們知道，如果尺度函數具有基插值性質，則在實際應用中是非常方便的。因為此時對于給定的尺度，信號在相應尺度子空間上的投影系數恰為信號的均勻取樣，從而省去了預處理過程，大大節省了計算量。本文就給出了以平行六邊形為周期的雙正交插值周期尺度函數的構造。

1 預備知識

n1=e2-(e2,e1)e1,n2=e3-(e3,e2)e2,n3=e1-(e1,e3)e3

Λ={P|P=(P1,P2,P3)T,P1+P2+P3=0,P1,P2,P3∈Z}

對j≥0，令△j={P|P=(P1,P2,P3)T∈Λ,-2jN≤P1,-P2,-P3<2jN}

取τ1=(2,-1,-1)T，τ2=(-1,2,-1)T，E={τ1,τ2} 令

引理1：對j≥0，k∈△j,Γj,k(x)有如下的廣義Fourier級數展開形式:

引理2：對?k∈Λ我們有

我們設初始函數C(x)進一步滿足：

2 正文

命題1：對任意j≥0,,j∈△j函數φj,k(x)的Fourier級數表示為

證明： 對任意j≥0,k∈△j，由引理1、2和定義1我們有：

(1)

對任意j≥0，k∈△j，設aj,k=(Ej,φj,k(0))-1,其中Ej=4j3N2，我們定義:

(2)

命題2：對任意意j≥0函數Qj(x)具有插值性質：Qj(x-2-jp)=δp,0對任意的P∈△j。

證明：由上面所述定義式，對于任意j≥0,P∈△j有

(3)

對任意j≥0,k∈△j,定義：Qj,k(x)=Qj(x-2-jk)(3)

則由命題(2)和(1)式可得

命題3：對于任意意j≥0,k,p∈△j由(3)式定義的函數Qj,k(x)具有插值性質：

Qj,k(2-jp)=δk,p

由上面命題，進一步我們有：

證明：為證明{Qj,k(x);k∈△j}構成了Vj的一組基底，我們只需證明它是線性無關的。

(4)

(5)

下面，我們來定義Qj,k(x)(j≥0,k=△j)的對偶函數。

(6)

證明：只需證明上式即可。

另外，容易得到

命題6：對任意j≥0,k,l∈△j，,設φj,k(x),φj,l(x)分別式由(3)(6)兩式定義，則

(φj,k(x),φj,l(x))=δk,l?k,l∈△j

證明：由定義(3)(6)，對于任意的k,p∈△j，我們有

3 結論

命題6說明，對任意j≥0,k,l∈△j,分別由(3)(6)兩式定義的Qj,k(x),Qj,l(x)互為對偶函數，我們稱其為雙正交尺度函數，此函數具有周期性與插值性。由此，我們得到了以平行四邊形為周期的具有插值性質的雙正交周期尺度函數Qj,k(x),Qj,l(x)。

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