互耦效應對DOA估計的影響*

謝 鑫，程國標2，路翠華

(1.海軍航空工程學院，山東 煙臺 264001；2.解放軍91960部隊71分隊，廣東 汕頭 515073)

1 引 言

到達角(DOA)估計是陣列信號處理研究的主要問題之一，多年來，隨著對陣列信號處理問題研究的逐漸深入，越來越多的DOA估計算法被開發出來。目前,主要的DOA估計算法包括波束形成類算法、子空間類算法、解卷積算法以及其它算法[1],其中，波束形成類算法和子空間類算法最為常見。

常規波束形成法[2]目前仍廣泛應用于聲納、雷達等系統中，該算法由于受Rayleigh限的制約，分辨能力和估計精度均十分有限。Capon最小方差無失真響應(MVDR)波束形成算法(MVM)[3]能夠提供更高的分辨率，但仍未能突破Rayleigh限的制約?；趨f方差矩陣特征分解理論的子空間類算法將DOA估計的性能提到了新的高度，這類算法將協方差矩陣的特征向量分為相互正交的信號子空間和噪聲子空間，并利用其有關特性進行高分辨方位估計，突破了Rayleigh限的限制。這類算法的代表是Schmidt提出的MUSIC[4](Multiple Signal Classification)法以及Roy和Kailath提出的ESPRIT[5]法。

上述這些常見的DOA估計算法都是以陣列流形精確已知為前提的，而在實際中，由于陣元間互耦等因素的存在，往往使陣列流形出現不可忽略的偏差，而這類模型誤差會嚴重影響各種高分辨DOA算法的性能?；ヱ钚獙﹃嚵刑炀€性能的影響近年來也受到了越來越多的關注，出現了一些互耦補償算法[6-8]，本文對幾種主要DOA估計算法在存在互耦誤差時的性能進行比較分析，并利用Matlab進行數值仿真，為互耦補償研究提供更多依據。

2 信號模型

考慮一個由N個全向陣元組成的均勻線性陣列，陣列間距為d，如圖1所示。

圖1 均勻線性陣列

假設M個遠場窄帶信號(M

(1)

式中，si(t)為第i個信號的復包絡，λi為其中心波長，nk(t)為第k個陣元中的零均值高斯加性白噪聲。

則陣列的輸出信號矢量可表示為

X(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),…,xN(t)]T=

A(θ)S(t)+N(t)

(2)

其中：

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),a(θ3),…,a(θM)]

(3)

為N×M維陣列流形矩陣，a(θi)為對應的方向向量，且有：

(4)

S(t)=[s1(t),s2(t),s3(t)，…,sM(t)]T

(5)

為M個入射信號矢量。

N(t)=[n1(t),n2(t),n3(t),…,nN(t)]T

(6)

為噪聲矩陣，其中ni(t)為第i個陣元中的零均值高斯加性白噪聲，方差為σ2，且滿足：

E[N(t)NH(t)]=σ2I

(7)

E[N(t)NT(t)]=0

(8)

式中，I表示N×N維單位陣，上標H表示共軛轉置，上標T表示轉置。

考慮互耦時，可用一個互耦系數矩陣C來描述陣元間的互耦作用。根據互耦的特性，可認為兩個間距相等的陣元間的互耦是近似相等的；同時，由于互耦效應與陣元間距有關，距離越遠，它之間的互耦越弱，當間距達到幾個波長后，兩個陣元間的互耦已經可以忽略不計了。因此在本文中，只考慮相近的L個陣元間的相互作用，則C可表示為

C=toeplitz(c)

(9)

其中：

c=[c0,c1,c2,…,cL,0,…,0]，
0<|cL|<…<|c1|

(10)

式中，toeplitz(c)表示由矢量c形成對稱Toeplitz矩陣。

此時，陣列的實際導向矢量為a(θ,c)=Ca(θ)，則陣列接收的快拍數據可表示為

X(t)=CA(θ)S(t)+N(t)

(11)

陣列的協方差矩陣R定義為

R=E[X(t)XH(t)]=

(12)

本文中的仿真計算條件如下：利用圖1中的陣列模型，陣元數為9，2個等功率相干信號到達角分別為-30°和20°，信噪比為10 dB，互耦系數向量c=[1,0.6791+0.4013i,0.3566+0.2653i,0,…,0]T，快拍數為100。

3 對波束形成算法的影響

波束形成算法的基本原理是將陣列中各個陣元的接收數據進行加權求和，使陣列接收的方向增益聚焦在一個方向上，相當于形成一個波束，不同的權向量可以將形成的波束指向不同的方向，通過波束空間掃描，得到最大輸出功率的方向就是信號方向。

對于式(11)所示的陣列接收信號矢量，若各陣元的權矢量為

(13)

則陣列的輸出為

y(t)=wHX(t)

(14)

此時，陣列輸出的平均功率為

wHE{X(t)XH(t)}w=wHRw

(15)

當權向量w=a(θ)時，得到常規波束形成算法的空間譜表達式：

P(θ)=aH(θ)Ra(θ)

(16)

若采用最小均方誤差準則來選擇權向量，即滿足所需方向信號輸出為常數條件下，使陣列的輸出功率最小，則可得到最優權向量：

(17)

此時陣列的輸出功率為

(18)

以θ進行空間掃描，可得到最小方差無失真響應法(MVDR)的空間譜表達式：

(19)

圖2為常規波束形成算法在有無互耦情況下的DOA估計譜圖，從圖中可以看出，在設定的仿真條件中，無互耦情況下該算法能夠正確估計出兩個到達角方位；存在互耦時一個譜峰出現了偏差，另一個譜峰已經明顯減弱，算法的性能明顯受到互耦誤差影響。

圖2 CBF算法下DOA估計比較

圖3為Capon算法(MVM算法)的DOA估計譜圖，從圖中可以看出，Capon算法譜峰要比常規波束形成算法尖銳，分辨率要高于CBF算法；但在互耦存在的情況下，其性能同樣受到嚴重影響，估計出現偏差，譜峰明顯衰減。

圖3 Capon算法下DOA估計比較

從上面的分析和仿真可以看出，在互耦誤差的影響下，波束形成類算法的DOA估計性能受到嚴重影響，估計結果出現偏差，甚至可能丟失部分信號。

4 對子空間類算法的影響

4.1 對MUSIC算法的影響

子空間類算法的運算都是基于信號子空間和噪聲子空間的，通過對陣列接收數據的協方差矩陣進行特征值分解，可以獲取信號子空間和噪聲子空間。在互耦效應的影響下，接收數據的協方差矩陣如式(12)所示，對R進行特征值分解，可得到M個大特征值和N-M個小特征值，它們對應的特征向量分別為u1,…,uM,uM+1,…,uN，則US=[u1,u2,u3,…,uM]的各列可張成信號子空間，UN=[uM+1,uM+2,uM+3,…,uN]的各列可張成噪聲子空間，且它們滿足如下關系：

span(CA)=span(US)，span(US)⊥span(UN)

(20)

因此，可以得到：

(21)

顯然，此時信號子空間為span(CA)，而不再是span(A)，即span(A)不再與噪聲子空間span(UN)形成正交關系，則：

(22)

這一關系不再滿足。

此時，互耦誤差對于標準MUSIC算法(式(23))的影響是顯然的。Matlab仿真結果也驗證了上述分析。

(23)

圖4 標準MUSIC算法下DOA估計比較

如圖4所示，標準MUSIC在有互耦和無互耦的情況下表現差異明顯，互耦存在時，DOA估計譜峰出現了顯著衰減，譜峰位置出現較大偏差。

單場次洪水總量對比選取了1992—2016年系列中，實測流量最大年份1998年的最大實測洪水段，其實測最大流量為流量208 m3/s；汛期總量和年總量選取汛期徑流相對豐沛的2011年進行對比分析計算；其中推算流量，高水部分采用1992-2016年歷年單值化關系線推算，中水部分多年單值化關系線推算，低枯水部分采用單年率定關系線推算，對比結果見表5。

4.2 對ESPRIT算法的影響

ESPRIT算法主要利用了陣列的兩個子陣的陣列流形及兩個子陣接收數據的信號子空間的旋轉不變特性。

無互耦情況下，兩個子陣的陣列流形A1、A2滿足下式：

A2=A1Φ

(24)

接收數據的信號子空間US1、US2滿足下式：

US2=US1Ψ

(25)

最小二乘ESPRIT算法正是基于式(25)計算Ψ的最小二乘解，并對其進行特征值分解求解信號的到達角：

(26)

互耦存在時，兩個子陣的陣列流形等效為C1A1和C2A2，一般情況下C1≠C2，此時它們不再滿足旋轉不變關系Φ，同時信號子空間也不再滿足旋轉不變關系Ψ，式(25)受到互耦誤差的污染，因此，以式(25)為基礎的式(26)和ESPRIT算法必然受到干擾。

圖5為最小二乘ESPRIT算法在有互耦和無互耦情況下DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化曲線，圖中均方根誤差為100次蒙特卡洛仿真計算的平均值。從圖中可以看出，在不同信噪比條件下，互耦存在時估計的均方根誤差一般比無互耦時的均方根誤差高4°，信噪比低于-3 dB時，估計誤差都明顯增大(實際上也可理解為DOA估計成功概率的顯著降低)；大于3 dB時，有互耦干擾的均方根誤差趨于4.0°，這是由于仿真時所采用的互耦誤差系數為固定值。因此，在信噪比不斷增大時，DOA估計的均方根誤差也趨于一個固定值，而這一誤差值則是由互耦誤差引起的。

圖5 最小二乘ESPRIT算法DOA估計比較

4.3 對Root-MUSIC算法的影響

Root-MUSIC算法[9]是MUSIC算法的多項式求根形式。該算法需先定義多項式：

(27)

式中，ui為數據協方差矩陣中小特征值所對應的N-M個特征矢量，即噪聲子空間的特征向量，且：

p(z)=[1,z,z2,…,zN-1]T

(28)

可見，當

(29)

時，p(z)為信號的導向矢量，因此它與噪聲子空間是正交的，顯然，式(29)為式(27)的根。同時也可說明，式(27)有M個根位于單位圓上，找到這些位于單位圓上的根，就能得到信號的到達角信息。

根據上述特點，可將式(27)修改為

(30)

由于式(30)存在z*項，使得求根過程變得復雜，為解決這一問題，可對其按照下式進行修正：

(31)

式(31)即為求根MUSIC多項式，顯然，該式為2(N-1)次多項式，它有(N-1)對根，每對根分別關于單位圓對稱，對應于入射信號的根則位于單位圓上。在實際計算中，由于誤差的存在，多項式的根很可能不在單位圓上，這時，需要取單位圓附近的根作為估計值。

顯然，在考慮互耦誤差影響時，噪聲子空間與span(CA)正交，則式(29)不再是多項式的根，此時，同樣取單位圓附近的根作為估計值，估計誤差取決于估計值與真實值幅角之差。

圖6 多項式根的分布圖

圖6為多項式根的分布圖，“o”表示10 dB信噪比條件下互耦存在時多項式的根，作為參考，圖中還給出了單位圓和理想無噪聲情況下多項式的根。從圖中能夠看到，理想無噪聲情況下，多項式有兩個根(實際上是兩對重根)位于單位圓上，這里將它們記為RT1和RT2；在有噪聲且存在互耦時，多項式的根都不在單位圓上，但在RT1和RT2附近有一對根，這兩對根的幅角分別與RT1和RT2的幅角相近，它們包含著入射信號信息，同時也包含了誤差。

從多項式根的分布情況以及DOA估計與多項式根的關系已經可以看出互耦效應對Root-MUSIC算法的不利影響，圖7所示的仿真結果也驗證了這一點。

圖7 Root-MUSIC算法下DOA估計比較

圖7為Root-MUSIC算法在有互耦和無互耦情況下DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化曲線，圖中均方根誤差為100次蒙特卡洛仿真計算的平均值。從圖中可以看出，有互耦情況下DOA估計的均方根誤差一直處于比較高的值，這主要是由于在互耦誤差影響下對多項式的根估計錯誤，如圖6所示，由于RT2附近的兩個根距離單位圓太遠，容易導致識別錯誤，所以DOA估計均方根誤差較大。在低信噪比情況下無互耦時估計誤差迅速增大也是由于這個原因。

5 結 論

綜上所述，通過對均勻線性陣列模型下幾種主要DOA估計算法原理的分析，可得到互耦效應影響這些算法的作用機理，利用MATLAB進行的數值仿真也與理論分析一致。結果表明，互耦效應帶來的誤差增大了DOA估計算法的估計誤差，降低了估計成功概率，嚴重影響了算法的性能。理論分析和仿真結果指出了互耦效應影響DOA估計的作用點，顯示了算法受影響程度，為互耦補償算法研究提供了更多依據。

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