頻率選擇性衰落MIMO信道容量分析*

(空軍航空大學 航空理論系，長春 130022)

1 引 言

近年來，隨著蜂窩移動通信、因特網和多媒體業務的發展，世界范圍內對無線通信的容量需求正在迅速增長。但無線通信可利用的無線頻譜資源是有限的，如果頻譜的利用率沒有得到顯著提高，就不可能滿足人們對通信容量的需求。在單天線(SISO)鏈路系統中，采用先進的編碼(例如Turbo碼[1]和低密度奇偶校驗碼[2])可以使系統容量接近香農容量極限。多天線或多入多出(MIMO)系統在無需增加額外的信號帶寬和發射功率的前提下，通過增加發射端和接收端的天線數量，可以進一步顯著提高頻譜利用率，從而增加無線通信系統的容量[3～5]。

理論上已證明，多天線的信道容量隨天線個數的增加而線性增加，極大地提高了信道容量。該結論是在假定信號的帶寬足夠窄以及信道的頻率響應是準靜態平坦衰落下得到的。但在實際的無線通信系統中，隨著傳輸速率越來越高，信號所占用的帶寬越來越寬，因而實際的信道呈現出頻率選擇性衰落特性[6]。本文采用頻域和時域的方法對比研究了在頻率選擇性衰落下，發射端已知和未知信道狀態信息的MIMO信道容量，并給出了相關的仿真結果。研究結果表明：在相同發射功率和傳輸帶寬下，對于頻率選擇性衰落的MIMO系統可以不犧牲信號帶寬而顯著提高信道的容量，并且天線數量和輸入信噪比的大小對信道容量具有不同的影響。研究結果為如何提高頻率選擇性衰落環境下MIMO信道容量提供了依據。

2 頻率選擇性衰落MIMO信道模型

圖1 頻率選擇性衰落MIMO信道模型Fig.1 MIMO channel model under frequency selective fading

頻率選擇性衰落信道可以模型化為抽頭延遲線，圖1為頻率選擇性衰落環境下通用空時通信系統的模型。假定系統包含M個發射天線和N個接收天線。對于采樣時刻i，MIMO系統的輸入為xi=[x1,i,x2,i,…,xM,i]，輸出為yi=[y1,i,y2,i,…,yN,i]，頻率選擇性衰落信道的系統噪聲zi=[z1,i,z2,i,…,zN,i]為加性高斯白噪聲，并且和用戶的發送信息獨立。用戶發送信息通過的頻率選擇性衰落信道Ht可以表示為

(1)

式中，Nc+1是多徑信道數，hm,n,k是從發射天線m到接收天線n的第k個多徑信道系數。

假定系統在一個符號的Nb個采樣間隔內連續發射信息，信道抽頭系數初始化為零。定義1×NbM維的天線發送信息矢量x=[xNb,xNb-1,…,x1]，1×NbN維的天線接收矢量y=[yNb,yNb-1,…,y1]和1×NbN維噪聲矢量z=[zNb,zNb-1,…,z1]。它們的相關矩陣分別為Rx=E[xTx]、Ry=E[yTy]和Rz=E[zTz]。

天線的接收矢量可以表示為

y=xH+z

(2)

下面將討論發射端已知或未知信道信息的頻率選擇性衰落MIMO信道容量。

3 未知信道信息的MIMO信道容量

在發送端未知信道信息的情況下，根據信息論原理，寬帶MIMO信道的歸一化容量由下式給出：

(3)

式中，符號h(·)代表熵微分(表示信息熵)。

在給定發送信息x的情況下，接收信號y的條件熵為

h(y|x)=h(xH+z|x)=h(z)=(1/2)log2((2πe)NNb|Rz|)

(4)

根據式(4)，為了使信道容量達到最大，接收信息y的熵h(y)必須最大。當發送信息x為獨立同分布的聯合高斯分布時，接收信息y與x同分布，此時對于一個給定的接收信息相關矩陣Ry，h(y)取最大值。于是，接收信息y的熵為

假定所有天線的總發射功率為P，由于發送信息矢量x服從獨立同分布的聯合高斯分布，Rx可由下式給出：

(6)

因此發送端未知信道信息時，寬帶MIMO信道的歸一化容量可以進一步表示為

如果假定噪聲矢量z為獨立同分布的高斯噪聲，并且噪聲方差為σ2，則Rz可以表示為

Rz=σ2INNb

(8)

于是，信道容量可進一步改寫為

(9)

(10)

于是可得頻域子信道矩陣Hp(0≤p

(11)

發送端未知信道信息時，傅里葉變換法計算得到的寬帶MIMO信道容量為

(12)

4 已知信道信息的MIMO信道容量

以下討論在發送端已知信道信息(即發送端已知信道矩陣H和噪聲的自相關函數矩陣Rz)時的寬帶MIMO信道容量。根據信息論原理，信道容量為

(13)

給定發送信息x時，接收信息y的條件熵為

(14)

(15)

因此信道容量為

(16)

由于式(16)中指數函數是隨自變量遞增的函數，并且Rz與Rx獨立，容量求解問題轉化為在發送功率受限(Tr(Rx)=PNb)的條件下，尋找合適的Rx使得│HHRxH+Rz│最大。對噪聲相關矩陣Rz進行Cholesky分解Rz=LLH，于是式(16)可等效為

式中，C=HL-H。

式(17)可進一步轉化為

(18)

上式可等效為

式中，Rw=UHRxU。

考慮到發送功率受限Tr(Rx)=PNb，矩陣Rw的跡可以表示為

Tr(Rw)=Tr(UHRxU)=Tr(Rx)=PNb

(20)

式(20)表明，x與w具有相等的功率，它們之間僅有一個縮放比例的效果。因此，容量求解問題進一步簡化為在功率受限條件下Tr(Rw)=PNb，尋找矩陣Rw使得│SHRwS+I│最大，此問題可采用注水原理來求解。

當矩陣Rw為對角矩陣，且其對角線元素Rw(i,i)滿足：

(21)

及

(22)

可使│SHRwS+I│達到最大。式(22)中，v是常數，函數(x)+代表：

(23)

從式(22)中可看出，矩陣Rw可以將更多的發射功率分配給信道增益大(即信道矩陣奇異值更大)的子信道。因此，發射端已知信道狀態信息時，寬帶MIMO信道容量可以表示為

(24)

式中，Rx=URwUH，或x=wUH，E[wHw]=Rw。

發送端已知信道信息時，頻率選擇性衰落MIMO信道容量也可采用頻域方法計算[8]。對應于式(17)，第p條多徑信道的矩陣Cp(0≤p

Cp=Hp(LP)-H=UpSp(Vp)H

(25)

根據式(25)，發送端已知信道信息時，使用頻域方法計算得到的頻率選擇性衰落MIMO信道容量可以表示為

(26)

(27)

以及

(28)

式中，0≤p

5 仿真結果及分析

本文的仿真中總接收功率定義為所有發送天線到某一接收天線之間所有多徑傳送的信號功率總和，信噪比SNR定義為每根接收天線上的總接收功率與噪聲方差σ2的比值。隨著發送天線數的增加，為了保持發送SNR固定，所有發射天線發射的總功率仍舊保持不變。在未加說明的情況下，仿真環境所使用的信噪比SNR皆為20 dB，并且已知或未知信道信息都是指發射端?？紤]到室內環境下，信道的均方根時延擴展的典型范圍為40～200 ns，因此頻率選擇性衰落MIMO信道容量的仿真中選擇輸入信號的符號速率為2 MHz，可使室內環境下的信道經歷頻率選擇性衰落。

圖2為頻率選擇性衰落下，未知信道信息時，信道容量隨接收天線數變化的情況。曲線之一是發射天線數M等于接收天線數N的MIMO信道容量，而另一曲線是發射天線數為1的SIMO信道的容量。從圖中可以看出，頻率選擇性衰落環境下，MIMO信道容量隨發射/接收天線數線性增長，這也證明了寬帶MIMO系統在提高系統容量方面有著巨大的潛力。而SIMO信道容量隨接收天線數呈近似對數緩慢增長。因此，盡管增加接收天線數可以提高信道容量，但是這種增長是有限的，除非同時增加發射天線的數量才能使信道容量大幅度提高。

圖2 頻率選擇性衰落MIMO信道容量Fig.2 MIMO channel capacity under frequency selective fading

圖3比較了未知信道信息時，分別使用時域和頻域方法計算得到的寬帶MIMO信道容量。以上兩種方法中，均假定發射天線數等于接收天線數，并且Nb=Nf=16。兩種方法得到的結果非常接近，容量差異不超過1.5%。這種差異可以解釋為頻域計算方法考慮了頻率選擇性衰落信道的所有抽頭延遲線，而時域只考慮信道矩陣的最新的NcM行。

圖3 不同計算方法得到的容量比較Fig.3 Channel capacity comparison using different methods

圖4給出了頻率選擇性衰落時，MIMO信道容量隨接收天線數的變化情況。圖中比較了接收天線數等于發射天線數(N=M)和發射天線數固定等于4(M=4)兩種情況的MIMO信道容量，前者的容量隨接收天線的數線性增長，后者的容量則隨接收天線數近似對數增長(與SIMO類似)。從圖中還可看出發射端已知信道信息對MIMO信道容量的影響。當接收天線數大于或等于發射天線數時，發射端已知信道信息對信道容量的影響并不明顯。這是由于這種情況下信道矩陣的秩等于發射天線數，并且改變發射信號的相關矩陣只會小幅度地提高信道容量。然而當M>N時，信道矩陣的秩小于發射天線數，這時信道信息可以明顯提高信道容量的原因是發射天線可以進行選擇性發射，天線發射的能量僅僅集中在狀態好(信道矩陣的奇異值大)的子信道上。

圖4 信道容量隨接收天線數變化情況Fig.4 Channel capacity variety with number of receiving antennas

圖5 信道容量隨發射天線數變化情況Fig.5 Channel capacity variety with number of transmitting antennas

圖5給出了發射天線數的變化對寬帶MIMO信道容量的影響。從圖中可以看出，對于接收天線數固定(N=4)的情況，當M>4時，MIMO信道表現為發射分集，其容量隨發射天線數近似對數增長。并且,由于信道矩陣的秩小于發射天線數，發射端已知信道信息對信道容量的影響比較顯著。而當M<4時，N=4的容量大于M=N時的MIMO信道容量，這是由于前者的接收天線數多于后者，從而為信道提供了額外的接收分集。

圖6給出了當發射天線數等于接收天線數(M=N=4)時，頻率選擇性衰落MIMO信道的容量隨信噪比變化的情況。結果表明：低信噪比時，發射端已知信道信息對信道容量的影響比高信噪比時效果明顯。當SNR=0 dB時，信道容量提高約32.5%，而當SNR=20 dB時，提高約只有1.4%。這是由于在高SNR時，系統噪聲主要來源于符號間和信道間干擾，增加某一個子信道的信號能量將會大大影響其它子信道的性能，因此注水原理的作用將大大減小。然而在低SNR時，加性噪聲起主導作用，注水原理將更多發射能量分配給性能好(信道矩陣的奇異值大)的子信道，以獲得更高信道容量的同時而不顯著影響其它信道的性能。

圖6 信噪比對信道容量的影響(M=N=4)Fig.6 Effect of SNR on channel capacity transmitting antennas (M=N=4)

6 結 論

根據以上的分析和仿真，對于頻率選擇性衰落的MIMO信道容量可以得出以下結論：

(1)當發射天線數M等于接收天線數N時，MIMO信道容量隨M或N線性增長；

(2)當M>N且發射端已知信道信息時，MIMO系統表現為發射分集，MIMO信道容量隨(M-N)近似對數增長；

(3)當N>M時，MIMO系統表現為接收分集，MIMO信道容量隨(N-M)近似對數增長；

(4)發射端未知信道信息時，接收分集的性能優于發射分集；

(5)發射端已知信道信息時，發射分集的性能等效于接收分集；

(6)當發射端已知信道信息時，小信噪比輸入系統所增加的MIMO信道容量率高于大信噪比輸入系統。

根據以上對頻率選擇性衰落MIMO信道容量的分析可知：在不改變發射功率和傳輸帶寬時，頻率選擇性衰落MIMO系統同樣可以不犧牲信號帶寬而顯著提高信道的容量。該結論為未來如何提高頻率選擇性衰落環境下MIMO信道容量提供了依據。

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