三維空間中近距離多天線信道的容量分析

吳 睿，張祖凡

(1.成都工業學院 電子工程學院，四川 成都 611730；2.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

三維空間中近距離多天線信道的容量分析

吳 睿1，張祖凡2

(1.成都工業學院 電子工程學院，四川 成都 611730；2.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

針對多天線系統在近距離和遠距離2種場景下信道矩陣的差異，基于球面波模型進行信道容量分析，并通過使用球面波模型(spherical wave model,SWM)，研究了三維空間中近距離多天線直線傳播(line of sight,LOS)信道容量。相比現有基于信道測試和計算機仿真的研究方法，在三維空間中建模任意方向的線性天線陣列，給出球面波模型下的近距離LOS信道矩陣，在此基礎上推導了近距離LOS信道容量的閉式解。通過信道容量的閉式解和計算機仿真分析了影響近距離LOS信道容量的參數，揭示了近距離LOS信道容量的本質特征。理論和分析結果表明，在三發三收近距離LOS信道中，信道容量是“類余弦”的函數，即具有類似余弦函數的周期振蕩特性，其變化特征由波長、陣元間隔、收發通信距離和陣列方向完全決定，通過合理設計這些參數使近距離LOS信道容量達到最大。

信道容量；LOS信道；球面波模型(SWM)；近距離通信

0 引 言

新一代移動通信系統對低功耗、泛在接入、極高頻譜效率的迫切需求，使得近距離多天線通信場景所占比例越來越大。在遠距離多天線通信中，收發通信距離通常遠遠大于100倍波長，能近似用平面波模型建模直線傳播(line of sight，LOS)信號，相應的信道矩陣通常不滿秩，因而信道容量將急劇下降[1]。然而，在含有LOS信號的近距多天線通信中，收發通信距離與陣列尺寸是相比擬的，如果繼續使用平面波模型，那么信道容量將會被低估[2]，因此，球面波模型比平面波模型更適合在近距離通信中。

上述文獻[2]和文獻[3]都是基于信道測試和計算機仿真來研究近距離多天線LOS信道容量，未見深入的理論解析分析，所以，并沒有分析出近距離多天線LOS信道容量的本質特征。文獻[4-6]本質上研究的是近距離多天線LOS信道的最大容量，但沒有給出信道容量的閉式解。文獻[7]主要研究近距離多天線LOS信道的空間復用能力，文獻[8]研究的是信道容量的統計特性，它們都沒有分析哪些關鍵參數影響信道容量。

本文用球面波建模了三發三收的近距離多天線LOS信道，推導出信道容量的閉式解，描述了信道容量的本質特征，給出決定信道容量的關鍵參數。研究結果顯示，三發三收近距離LOS信道容量完全由波長、陣元間隔、收發通信距離和陣列方向所決定，并且信道容量隨著這些參數劇烈的波動。同時，推導出了使近距離三發三收LOS信道容量達到最大的準則，該準則可以直接運用到近距離通信場景中。

1 天線架構

三發三收近距離均勻線性天線陣列的布局如圖1所示。由于空間中任意3個點能決定1個平面，不失一般性，可以假設發射天線陣列與接收天線陣列中的第1個天線單元Rx1位于xoy平面，發射天線Tx1和接收天線Rx1所在直線Tx1—Rx1為y軸，原點位于Tx1。在圖1中，θt和θr分別表示發射陣列和接收陣列的方向角；φr表示接收天線的高度角；dt和dr分別表示發射天線陣列和接收天線陣列的陣元間隔；R表示Tx1與Rx1之間的距離即收發通信距離。

圖1 三發三收均勻線陣天線配置示意Fig.1 Setup of 3×3 transmit and receive uniform linear array antennas

2 近距離多天線LOS信道容量的閉式解

這里考慮球面波模型下LOS信道，LOS信道矩陣的元素可以表示為[1]

(1)

(1)式中：hn,m表示第m(m=1,2,3)個發射天線與第n(n=1,2,3)個接收天線之間的沖擊響應；λ表示波長；G表示發射和接收天線場輻射模式在LOS方向的乘積；dn,m表示第m個發射天線與第n個接收天線之間的距離。假設路徑損耗差能忽略[9-10]，從而三發三收多輸入多輸出(multiple-input-multiple-output，MIMO)系統的歸一化LOS信道矩陣為

(2)

根據圖1中的天線配置，并使用文獻[9]和文獻[10]的分析方法，距離dn,m為

(3)

(3)式是通過泰勒級數展開，并取其第一階項，讓分母近似等于2R而得到[9-10]；這對實際的無線系統來說，該近似所引入的誤差非常小[10]。

根據(2)-(3)式，矩陣HHH為

(4)

(4)式中：a，b，c和Γ分別為

(5)

進一步，(4)式中矩陣HHH的特征值為

(6)

當發射端未知信道狀態信息(channel state information,CSI)時，發射功率應該均等地分配在所有發射天線上，從而發射端未知CSI的信道容量為[11]

(7)

(7)式中：γ表示每個接收天線的平均信噪比(signal to noise ratio,SNR)。將(6)式代入(7)式中，在使用球面波模型下三發三收近距離LOS信道的容量為

(8)

(8)式中，Γ=(2πdtdrcosθtsinφrcosθr)/(Rλ)。從(8)式可知，近距離多天線LOS信道的容量是“類余弦”函數，即具有類似余弦函數的周期振蕩特性，其他振蕩變化特征完全由波長、陣元間隔、收發通信距離和陣列方向所決定，并且隨著這些參數而波動。

從(6)式中的特征值可知

(9)

(9)式成立，即，

(10)

(10)式成立時(k∈Z,Z表示整數集合)，特征值ξ1=ξ2=ξ3=3，相應(8)式中的信道容量達到最大值，即

Cmax=lb(1+3γ+3γ2+γ3)

(11)

可以將準則(10)式直接運用到近距離三發三收的通信場景中，使其信道容量達到最大。當Γ=2kπ時，特征值ξ2=9和ξ1=ξ3=0，相應的信道容量達到最小值，即

Cmin=lb(1+3γ)

(12)

從而，隨著參數Γ，球面波模型下三發三收的近距離LOS信道容量在最小值與最大值之間波動，并且通過合理的設計參數Γ，在近距離LOS信道中能達到最大的容量。

另一方面，根據文獻[4]的研究結果，平面波模型下的三發三收近距離LOS信道的容量始終為

C=lb(1+3γ)

(13)

對比(8)式和(13)式可知，平面模型下的信道容量與球面波模型下的信道容量的最小值相同，并且平面波模型不能反映近距離LOS信道容量的本質特征，會低估近距離LOS信道的容量。

3 數值與仿真結果

為了驗證上面理論分析結果的正確性，給出了計算機仿真結果。仿真分析是通過使用MATLAB軟件首先計算出球面波模型下的信道矩陣，然后對信道矩陣進行奇異值分解算出特征值，最后算出信道容量。

圖2給出了使用球面波模型下三發三收近距離LOS信道容量與高度角之間的關系，其中，方向角θt=θr=0°，收發通信距離R=5 m，信噪比為20 dB,收發陣列間隔dr=dt=0.18 m。從圖2中可以觀察到，理論分析結果和數值仿真分析十分吻合，并且球面波模型下的近距離LOS信道容量隨著高度角變化而變化。從圖2中還可以看出，在頻率為73 GHz，20 GHz和2 GHz時，最大的信道容量分別為19.27 bit/(s·Hz)，19.27 bit/(s·Hz)和11.62 bit/(s·Hz)，最小的信道容量為8.23 bit/(s·Hz)；因此，可以通過合理設計陣列的高度角，得到更高的近距離LOS信道容量。

圖2 不同頻率下三發三收近距離LOS信道容量與高度角的關系Fig.2 Capacity of 3×3 short-range LOS Channel for different elevation angle

根據近距離LOS信道容量閉式解(8)式可知，近距離LOS信道容量除了會隨著高度角波動外，還會隨著波長、陣元間隔、收發通信距離和方向角而劇烈的波動。再根據上面理論分析可知，可以通過設計這些參數讓(10)式成立，相應的近距離LOS信道容量能達到最大值。

圖3給出球面波模型下三發三收近距離LOS信道容量與參數Γ之間的關系，其中，信噪比分別為10 dB和20 dB。從圖3中可以觀察到，理論結果和仿真分析十分吻合，從而證明了理論分析的正確性；并且信道容量隨著參數Γ變化而變化。當信噪比為20 dB時，最大信道容量和最小信道容量分別為19.27 bit/(s·Hz)和8.23 bit/(s·Hz)；當信噪比為10 dB時，最大信道容量和最小信道容量分別為10.38 bit/(s·Hz)和4.95 bit/(s·Hz)。同時，信道容量在最大值和最小值之間進行周期性的波動。

4 總 結

本文使用球面波模型，研究了三維空間中近距離多天線LOS信道容量。通過推導的信道容量的閉式解，分析影響信道容量的關鍵參數，揭示了近距離多天線LOS信道容量的本質特征。研究結果顯示，近距離多天線LOS信道容量完全由波長、陣元間隔、收發通信距離和陣列方向決定，并且隨著這些參數劇烈的波動，可以通過合理的設計這些參數使近距離多天線LOS信道容量達到最大。

圖3 不同信噪比下三發三收近距離信道容量與參數Γ之間的關系Fig.3 Capacity of 3×3 short-range LOS Channel for different

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吳 睿(1981-)，女，四川樂山人，講師，碩士，主要研究領域為通信與信息系統，信號與信息處理，電子測量等。E-mail: 359621366@qq.com。

張祖凡(1972-)，男，湖北石首人，教授，博士，主要研究領域為無線通信理論與技術。E-mail: zhangzf@cqupt.edu.cn。

(編輯：劉 勇)

Analysis of the capacity for short-range multi-antenna channels in 3D space

WU Rui1, ZHANG Zufan2

(1. School of Electronic Engineering, Chengdu Technological University，Chengdu 611730，P.R. China; 2. School of Communication and Information Engineering, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, P.R. China)

Short-range multi-antenna line-of-sight (LOS) scenarios occurs more frequently than long-range multi-antenna LOS cases. However, plane-wave model is not suitable for short-range LOS cases. Unlike previous study based on channel sounding and simulation, we investigate the capacity for short-range multi-antenna LOS channels with the spherical-wave model (SWM) in three-dimensional (3D) space to obtain its close-form. The antenna array with arbitrary orientations in 3D space is modeled, and the channel matrix with the SWM is then derived. Based on this obtained channel matrix, the exact closed-form expression for the channel capacity is derived without channel state information (CSI) at the transmitter. By using the closed-form expression for the capacity and computational results, we analyze the factors governing the capacity behavior, and give the essential characteristics of the capacity for short-range LOS channels with the SWM. Both the analytical and computational results show that the capacity for short-range LOS channels with three transmitting and three receiving antennas reflects the cosine behavior, and the capacity is determined by the wavelength, the inter-element spacings, the transceiver distance and the orientations of the arrays. And the capacity can be maximized by specifically designing these parameters.

channel capacity; line-of-sight(LOS) channels; spherical-wave model(SWM), short-range communications

10.3979/j.issn.1673-825X.2016.06.012

2015-11-05

2016-06-02

吳 睿 359621366@qq.com

港澳臺科技合作專項學課題(2015DFT10170)

Foundation Item：The Science and Technology Cooperation Projects for Hong Kong, Macao and Taiwan areas(2015DFT10170)

TN915

A

1673-825X(2016)06-0822-05