相量法與傅里葉變換法的聯系與區別*

黨建亮 林愛英 朱連軒 吳麗麗 袁 超

河南農業大學 河南鄭州 450002

相量法與傅里葉變換法的聯系與區別*

黨建亮 林愛英 朱連軒 吳麗麗 袁 超

河南農業大學 河南鄭州 450002

論文主要分析了在“電路”與“信號與系統”課程中，相量法與傅里葉變換法兩者之間的聯系與區別。相量法和正弦穩態電路的分析、頻率響應及零狀態響應分析分別是各自課程中的重點及難點，對后續課程起著關鍵性的作用。文中通過實際例子詳細分析了相量法與傅里葉變換法在求解頻率響應方面的一致性，特別重點討論了在求解系統零狀態響應方面，學生容易誤解而許多教科書也沒有具體講解到的兩者之間的區別。

相量法；傅里葉變換；零狀態響應

相量法是電路課程中的重點及難點,現有教材導出相量概念時或者直接利用歐拉公式或者通過數學變換的概念引出相量法,建立正弦量與相量的一一對應關系,還有一些文獻引入新的變換建立了兩者之間的聯系。但在利用相量分析電路系統穩態響應方面都很少介紹與傅里葉變換的聯系,然而在信號與系統課程中,分析電路系統的頻率響應時,許多教材往往直接利用電路的相量法求解系統的頻率響應,這就給學生造成了理解的困難：是否相量法與傅里葉變換法具有等價性？但兩者各自的推導過程似乎毫無關聯,有的教材也只是在介紹拉氏變換章節時簡單地說明兩者在一般情況下是等價的,于是有的文獻討論了相量法與傅里葉變換的關系,研究了兩者之間的統一性。但這樣又容易給學生造成誤解,認為兩者是統一的,實際上相量法與傅里葉變換法僅在分析系統頻率響應時是一致的,而在求解零狀態響應時是有區別的。以下給予具體的說明。

一、相量法與傅里葉變換法適用性的討論

本文通過簡單的例子詳細討論了相量法與傅里葉變換法在實際系統分析中的適用性，尤其重點分析兩者在求解系統響應方面的區別，便于教師更好的講解和學生更好的理解掌握。

圖1 例題電路圖

1.求解系統頻率響應的一致性

(1)利用相量法求解系統頻率響應。由電路圖可知，輸出電容電壓相量與輸入電源電壓相量之比即為該系統頻率響應，利用電路分壓定律得：

(2)利用傅里葉變換法求解系統頻率響應

根據電路圖1列出電路方程式：

兩端進行傅里葉變換得

解得頻率響應為

由結果可知兩種方法求解頻率響應是一致的。

2.求解零狀態響應的不一致性：

(1)利用相量法求解系統的零狀態響應

故得

得相應的正弦穩態響應為

分析可知，穩態系統中，利用相量法只能求解得出系統正弦穩態響應，實際上就是零狀態響應中的穩態響應，而無法得到零狀態響應中的暫態響應，這正是學生在學習電路課程中容易忽略的知識點。

(2)利用頻域分析法求解系統的零狀態響應

對上式直接求解傅里葉逆變換比較麻煩，由傅里葉變換性質，知

對式（11）查找卷積積分表可得

分析可知，利用頻率響應法所得解第一項與用相量法所得穩態響應解是完全相同的，實際是零狀態解的特解分量，第二項不能由相量法求得，為零狀態響應中的暫態響應。這就表明兩者在求解系統零狀態響應時并不是完全一致的，這也正是學生在學習信號與系統課程中容易誤解的地方。

(3)利用拉普拉斯變換法求解系統的零狀態響應

對上式求拉氏逆變換，查表可得：

分析可知，前面所解結果與拉普拉斯變換法所得是一致的。

二、結束語

1.在求解系統的頻率響應方面，相量法與傅里葉變換法是統一的，而且在已知具體網絡系統時，可以直接使用電路的基本定理來進行計算，比傅里葉變換法更簡便。

2.在分析系統的零狀態響應方面兩者是不等價的,相量法只是將正弦穩態的輸出相量與輸入相量聯系起來,尤其需要重點指出的是該方法僅能確定系統零狀態響應中的穩態響應分量,而無法求出暫態響應,且只適用于正弦激勵情況。頻域分析法是可以求解系統的整個零狀態響應,且物理意義明顯,但頻域分析法存在一些不足,如傅里葉變換一般比較復雜且有時某些信號不存在傅里葉變換,無法利用頻域分析法。

3.拉普拉斯變換法克服了頻域分析法的不足，運算非常簡潔，最具有普遍適用性。

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The relationship and differences between phasor method and Fourier transform method

Dang Jianliang, Lin Aiying, Zhu Lianxuan, Wu Lili, Yuan Chao
Henan agricultural university, Zhengzhou, 450002, China

In this paper, the relationship and differences are mainly analyzed between phasor method and Fourier transform method in the"Circuit" and "Signals and Systems" courses. Phasor method, sine steady-state circuit analysis, frequency response and zero-state response analysis not only are focus and difficulties of their subjects respectively, but also play a key role in the follow-up courses. Based on the specific examples of teaching practice, the unity of phasor method and Fourier transform method in solving the frequency response is discussed, and the difference of them in analyzing zero-state response is researched in detail which many students misunderstood easily and not be explained concretely on many textbooks.

phasor method; Fourier transform; Zero-state response

2009-08-25

黨建亮，碩士，講師。

*本文系河南省教育廳自然科學研究指導計劃(編號：2008B510010)。