教學中如何培養學生數學邏輯推理能力

侯衛民

數學具有嚴謹邏輯性的特點,邏輯推理能力應該是學生必須具有的基本數學能力之一。數學中的邏輯推理能力是指正確地運用思維規律和形式對數學對象的屬性或數學問題進行分析綜合、推理證明的能力。那教學中如何培養學生數學邏輯推理能力呢?

一、重視基本概念和基本原理的教學

數學知識中的基本概念、基本原理和基本方法是數學教學中的核心內容?；靖拍?、基本原理一旦為學生所掌握,就成為進一步認識新對象,解決新問題的邏輯思維工具。如果沒有系統的科學概念和原理的掌握作為前提,要進行分析、判斷、推理等思維活動是困難的。

二、結合具體數學內容講授一些必要的邏輯知識

在數學教學中,結合具體數學內容講授一些必要的邏輯知識,是學生能運用它們來進行推理和證明。培養學生的推理能力,必須掌握邏輯的同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等基本規律。教師應該結合數學的具體教學幫助學生掌握這些基本規律,使他們明了不能偷換概念和論題。要使學生懂得論斷不能自相矛盾,在同一關系下對同一對象的互相矛盾的判斷至少有一個是錯誤的;論斷不得含糊其詞,模棱兩可,在同一關系下,對同一對象的判斷或者肯定或者否定,不能有第三種情況成立。在數學證明過程中,必須步步有根據,每得到一個結論必須有充足的理由。

三、有計劃、有步驟地進行邏輯推理的訓練

數學推理既具有推理的一般性,又具有其特殊性。其特殊性主要表現在兩方面。其一,數學推理的對象是數學表達式、圖形中的元素符號、邏輯符號等抽象事物,而不是日常生活經驗;其二,數學推理過程是連貫的,前一個推理的結論可能是下一個推理的前提,并且推理的依據必須從眾多的公理、定理、條件、已證結論中提取出來。數學推理的這些特性會給學生在推理論證的學習中帶來困難。有關心理實驗表明;初一學生已初步掌握了普通邏輯的基本規律和某些推理形式,但必須依賴于生活經驗的支撐。例如他們從“爸爸比媽媽高,媽媽比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的結論,但有些剛學習不等式的學生從“∠A>∠B, ∠B>∠C”的前提推得“∠C<∠A”的結論卻感到困難。由此可以看到,他們雖已初步掌握了普通邏輯基本規律和某些推理形式,但對于數學推理,如果不經過有計劃、有步驟的訓練和培養,學生是難以掌握這種新的嚴密的推理方法的。

1.在代數學習中,重視說理性練習。教師在教學中要注意把運算步驟和理論依據結合起來,是學生不僅知其然,而且知其所以然。同時可以進行適當的說理性訓練,這樣做可以使學生在說理的過程中養成尋找理由、言必有據的習慣。

例如,解方程(2x+1)-1=(5-x),并寫出解方程的步驟和每一步的依據。

解:去分母,2(2x+1)-6=3(5-x),(等式性質)

去括號,4x+2-6=3(5-x),(分配律)

移項,4x+3x=15+6-2,(等式性質)

合并同類項,7x=19,(分配律)

兩邊同除以x的系數,x= (等式性質)

在每一步運算中明確運算依據,這實際上是尋找三段論推理中的大前提。初一學生通過這類練習,就會對了解他們具有了感性認識和初步體驗。

再如,某汽車公司的汽車票價為單程票票價4元,周票票價為36元,張老師每星期一三五要乘汽車上班,搭朋友的車回家。問張老師應該買周票嗎?請說明理由。

評析:該題目的是希望學生能說明一個清晰的推理過程中的依據。按照常規算法,張老師一個星期乘8次,買單程票需32元,而周票需36元,因此她不應買周票。但從另一個角度考慮,她也可以買周票。其理由是如果她周末外出乘車至少8元以上,那么買單程票總花費就多于36元,所以買周票能省錢。

這種類型的訓練,可以從代數的運算過渡到幾何推理打下良好的基礎。

2.在平面幾何教學中有層次地進行推理技能的訓練。平面幾何教學的任務之一,就是要訓練和培養學生的推理技能,發展邏輯推理能力。對于推理論證技能的培養,一般可分幾個階段有層次地進行。

第一階段:通過直線、線段、角等基本概念的教學,使學生能根據直觀圖形,言必有據地作出判斷。

第二階段:通過相交線與平行線以及三角形有關概念的數學,使學生能根據條件推出結論,會說出每一步論證的理由和依據,能用數學符號寫出一個命題的條件和結論,初步掌握證明的步驟和書寫格式。

第三階段:在“全等三角形”學習之后,學生已積累了較多的概念、性質、定理,此時可以進行完整的推理論證的訓練。通過命題證明,要求學生根據題目中條件與待證結論進行分析探索,建立一條連接條件與結論的邏輯通道,從而逐漸掌握推理技能。

第四階段:在學生已初步掌握技能技巧的基礎上,通過較復雜問題的求證,幫助學生掌握尋找證明途徑的各種方法,以發展邏輯推理能力。

四、教學中重視探究過程的揭示

許多數學真知是人類漫長歷史智慧結晶,其中蘊含著豐富的數學思想和思維方法。這些數學思想和方法常凝結在基本概念和基礎理論之內,蘊含于解題過程之中,成為數學知識的一個重要組成部分。教師在講授這些概念和知識時,如果注意揭示其中的數學思想和數學思考方法,無疑會有助于學生正確的認知方式的形成,有利于推理能力的培養。

總之,中學生邏輯推理能力的培養很重要,是中學數學的核心能力之一。在數學教學過程中,教師應盡可能地將自己的思維活動過程清晰地呈現給學生,使他們在聽課的過程中能看到教師是怎樣地思考問題的。教師的這種示范作用對幫助學生形成正確的認知方式和提高推理能力將會起到很好的影響。