勾股新證
——岳麓書院藏秦簡《數》的相關研究

肖 燦 朱漢民

(湖南大學 岳麓書院,長沙 410082)

勾股新證
——岳麓書院藏秦簡《數》的相關研究

肖 燦 朱漢民

(湖南大學 岳麓書院,長沙 410082)

岳麓書院藏秦簡《數》里有一道“圓材薶地”算題,與《九章算術》“勾股”章第九題相同,這說明了《九章算術》“勾股”章的內容在先秦數學著作中就有淵源,它為我們了解先秦 (或至遲秦朝)時代這類算法的情況提供了時代確切的直接材料。另外還有第二種可能性,即在《數》成書時,解答此題或可能是利用了相似直角三角形對應邊成比例的性質。

秦簡 《數》 勾股

岳麓書院藏秦簡《數》中有一例算題“圓材薶地”非常重要,為我們了解先秦 (或至遲秦朝)時代這類算法的情況提供了確切的材料。原簡釋文是：

□有圓材薶 (埋)地,不智 (知)小大,斲之,入材一寸而得平一尺,問材周大幾可(何)。即曰,半平得五寸,令相乘也,以深【0304簡】一寸為法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材徑也【0457簡】。①原竹簡首字殘缺,2009年發表的文章中補為“[今 ]有……”,現將殘字仍記為“□”。參見：肖燦、朱漢民《岳麓書院藏秦簡〈數〉的主要內容及歷史價值》(《中國史研究》,2009年第 3期,第 47頁)和朱漢民、肖燦《從岳麓書院藏秦簡〈數〉看周秦之際的幾何學成就》(《中國史研究》,2009年第 3期,第 57頁)。

在已知的出土簡牘數學文獻中,沒有見到過類似的算題,而在傳世文獻《九章算術》里則有一例相同的算題,即《九章算術》“勾股”章第九題：

今有圓材埋在壁中,不知大小。以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺。問徑幾何。答曰,材徑二尺六寸。術曰,半鋸道自乘,如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

比較兩道算題,如果忽略題設情景的描述以及語言表達的差別,只從條件、數據、解題方法幾方面考察,則兩題完全一樣,可視為同一題;只是《九章算術》最終要求的是直徑,而《數》最終求的是周長,要通過先求直徑來達到目的?；诖?我們認為《數》所收錄的這道“圓材薶地”算題直接說明了《九章算術》里“勾股”章的內容在先秦數學著作中就有淵源,此題為我們研究勾股定理在先秦時期被應用的情況提供了新材料。

下面我們將要述及的內容是：一,對算題的形成年代的推測;二,分析算題簡文敘述的算法所運用的數學原理;三,基于對此算題的分析結果來討論勾股定理在先秦的應用情況以及此題與《九章算術》“勾股”章算題的關聯。

1 算題的形成年代

首先毫無疑問的是,“圓材薶地”算題的形成年代不遲于《數》的抄書年代。陳松長根據岳麓書院秦簡中的《質日》所記載的信息推斷這批簡的抄寫年代下限是秦始皇三十五年 (公元前 212年)[1],《數》的抄書年代自然也符合這一下限,也就是說“圓材薶地”算題的形成年代下限是公元前 212年。

接下來要討論這道算題的形成年代上限。我們推測,這道算題的形成年代已經不是“學在官府”的時代,而是“禮崩樂壞、學術下移”的春秋戰國時代 (公元前 722年至公元前221年)。做出這樣論斷的原因在于算題的表述形式。郭書春指出“‘學在官府’的時代,人們根據官方或權威部門的有關規定,以‘程’起首提出若干數學問題”,表述為“程曰……。今……,問……幾何”,待到“‘禮崩樂壞’,學術下移,民間對人們生產、生活中的某些活動的數量關系作了一些約定”,這類數學問題不再用“程”字,而演變為“有……今……問……幾何”,以及“今有……問……幾何”的表述形式。[2]考察《數》里的算題,也見到一部分以“程……”和“有……”起首提出問題的算題。如“圓材薶地”算題正是用“□有”開頭的,表述為“□有……,問……幾可 (何)”的形式,這說明此題可能出現于春秋戰國時代,形成年代上限就該在公元前 8世紀中葉。但是彭浩認為此說可疑,他指出,秦漢時期的著作中常見“程”字的這種用法,故不可以此作為斷代的依據。我們以為,秦漢時期的著作當然可以延用“程”的表述,但不用“程”字起首而用“今有”、“有”的情況最早應該出現在春秋戰國時代,因此“圓材薶地”算題可能的最早形成年代就是春秋戰國時代,當然也可能形成于年代上限與下限之間的某一時期。另外,在確定此題的形成年代時,還需考慮此題涉及的算法和數學原理最早出現在什么年代。

2 算題簡文敘述的解題方法的數學原理

考察算題簡文敘述的解題方法：“……即曰,半平得五寸,令相乘也,以深一寸為法,如法得一寸,有 (又)以深益之,即材徑也”,將它寫為算式：

可以看出,算題簡文敘述的只是算法,實際上我們并不能從這樣的算法斷言它是運用何種數學原理求解的。如果依照現在的數學知識,則無論運用勾股定理、相似三角形相應線段成比例原理,或是圓的相交弦定理,都能推導出上面的算法式。運用圓的相交弦定理求解的可能性可以排除,因為它在中國傳統數學中毫無蹤跡。因此,當時此題的解答方法只有兩種可能：一是運用勾股定理;一是運用相似直角三角形對應邊成比例的性質。

第一種方案可以這樣來理解問題的解答方法：由于《九章算術》“勾股”章第九題與秦簡《數》的這個問題的數值和解法都相同,那么考察前者的解法及其劉徽注是有益的。劉徽注說：“此術以鋸道一尺為勾,材徑為弦,鋸深一寸為股弦差之一半,鋸 (道)長是半也”,“亦以半增之,如上術,本當半之,今此皆同半差,不復半也”。劉徽是把此題作為已知勾與股弦差求股、弦的問題來對待的。在此題的注中劉徽沒有具體介紹如何求解。但此問題與前面的三個問題“引葭赴岸”、“立木系索”、“依木于垣”同型,而在注“引葭赴岸”、“立木系索”兩問題時,劉徽利用勾股定理來解決問題。劉徽對“圓材薶地”的注釋思路與其解釋“立木系索”相同,可以解釋為：以鋸道長度、直徑與 2倍鋸深之差、直徑分別為勾、股、弦,為便于理解,分別以它們的一半為勾 a、股 b、弦 c。令正方形 ABCD為弦冪 (c2),正方形 EBHJ為股冪 (b2),那么利用勾股定理,勾的平方 (a2)=弦的平方 (c2)-股的平方(b2)=正方形 ABCD-正方形 EBHJ=曲尺形 AEJHCD(矩冪),它可以化為以股弦差 (cb)為寬 (DF),以股弦并 (b+c)為長 (AG+CD)的長方形 (圖 1)。因此,勾的平方 (a2)=股弦差 (c-b)×股弦并 (b+c),由此可知,勾的平方除以股弦差就得到股弦并,即 b+c=a2/(c-b),再加上鋸深 (c-b),就是半徑的 2倍 (2c)即直徑。

圖1 劉徽的解題方法

劉徽對這個問題的解法所作的注用到勾股定理和出入相補原理。

在傳世文獻中,勾股定理最早見《周髀算經》。書中記載西周初年數學家商高在回答周公的問題時說:“故折矩,以為勾廣三,股修四,徑隅五?！视碇灾翁煜抡?此數之所生也”([3],10—11頁)。商高不僅提到勾三、股四、弦五的勾股定理之特例,而且還提到大禹治水就運用了勾股術。書中又記載另一個數學家陳子給出了一個方法,由太陽的高度、太陽在地面的正下方位置到觀測者的距離來計算太陽到觀測者的距離:“若求邪至日者,以日下為勾,日高為股。勾、股各自乘,并而開方除之,得邪至日”([3],20頁)。這段話說明“陳子不是湊數而是確實知道普遍的勾股定理并且知道開平方法,即 c”[4]。陳子活動的年代,科學史家根據天象記錄,擬定為公元前 7至公元前 5世紀之間,最遲不晚于公元前 4世紀[5—7]。由于出入相補原理是最直觀、簡單的原理,它在中國古代數學推導幾何算法中是一個行之有效的基本方法,這個方法在春秋戰國時代已經運用,因此前人推論中國人在先秦時期就利用這一原理推導和認識了普遍的勾股定理[4]。

這一觀點和秦簡《數》“圓材薶地”問題正好可以互相發明。先秦已認識勾股定理和出入相補原理,說明先秦能提出并解決“圓材薶地”問題決非偶然,當時存在處理這類問題的理論和方法;劉徽利用勾股定理和出入相補原理來解釋這一問題的算法,其具體細節可能有出入,但體現了一種淵源有自的數學傳統。秦簡《數》記錄這一問題,不僅說明《九章算術》的這個問題有著更早的來源,而且它的時間下限為中國人在先秦就認識了勾股定理 (更不用說出入相補原理)的觀點提供了更明確和直接的支持。

另外,對于“圓材薶地”算題的解答,我們還考慮過第二種可能性,即當時人們有可能利用相似直角三角形對應邊成比例的性質解題。如圖 2所示,因為 Rt△ABC與 Rt△CBE及 Rt△ACE相似,如果利用相似直角三角形對應邊成比例的性質,也很容易得出“圓材薶地”算題簡文敘述的算法式。

我們之所以這樣推測,是因為西周初年商高至少已認識到有一個公共角的相似直角三角形對應邊成比例的性質,而春秋戰國時期則認識了直角三角形對應邊成比例的一般性質 ([8],505—506頁)?！吨荀滤憬洝酚涊d：“商高曰,平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠。環矩以為圓,合矩以為方”([3],17頁)。商高說的“偃矩以望高”,按錢寶琮先生的意見可以解釋如下：矩尺 ABC,待測高度 EF,視線 AF,交點 D(如圖 3)。那么 EF=BD ×AE÷AB,這是由 Rt△ABD相似于 Rt△AEF,依據比例關系得出的。其實《九章算術》第 9章的第 17題到第 24題也都是測量問題,也完全可以運用相似直角三角形相應線段成比例的原理解答。如若再考察世界數學史,不難發現,在歐幾里得 (Euclid)《幾何原本》(Elem ents)第 6篇里,就是利用第 5篇的比例理論來討論相似形的?？梢?利用比例來認識相似形,是很自然的思維發展過程。先秦數學中對比例原理的運用已經達到了很高的水平,當時人們有可能把比例觀念運用到某些相似幾何圖形如直角三角形上,通過兩個直角三角形在一定條件下相應線段之間存在比例關系的原理來解決問題 ([8],115—120、501—506頁)。再有,《周髀算經》里商高說的“環矩以為圓”可能就是圓的內切直角三角形的概念,也就說明當時人們已經知道了直徑所對的圓周角為直角的性質[9]。既然“相似直角三角形對應邊成比例”的性質和“直徑所對的圓周角為直角”的性質都可能是已知的,那么圖 2所示的解答方法也就有可能被運用,或者說不能完全排除這種可能。當然,由于上述圖 2中的直角三角形相似,要基于一些在中國傳統數學中難以找到根據的幾何原理 (如同弧所對的圓周角相等,或直角三角形兩銳角之和為一直角),所以,我們認為第二種推測只是一種可能性很小的復原方案。

圖2 用相似三角形解題

圖3 矩尺測高

3 由算題引出的關于勾股、旁要、《九章算術》的推論

其實我們推測的兩種解題思路之間是有聯系的。在中國古代數學中,人們認識相似直角三角形對應邊成比例的性質和勾股定理的時間都很早。錢寶琮[10]和劉鈍[11]都認為“從旁要取”來測量的《九章算術》“勾股”章的最后八個問題,可能是古代的旁要,這些問題用到的相似直角三角形對應邊成比例的性質,是中國古代“旁要”術的實質。關于“旁要”,韓祥林有過論證：“‘旁要’就是利用直角三角形中所容正方形或矩形 (腰)兩邊 (旁)的兩個小勾股形對應邊成比例,來進行間接測量”,“旁要、重差、夕桀都是我國古代的測量術,其實質皆為相似勾股形”[12]。也就是說“旁要”術利用了相似直角三角形對應邊成比例這一性質?！稊怠返摹皥A材薶地”算題雖然不是“勾股容方”的典型“旁要”問題,但如按上述第二種方案,它卻有可能運用了與“旁要”密切相關的相似直角三角形對應邊成比例的性質,那么此算題是不是“旁要”的變化運用實例呢?

《數》的“圓材薶地”算題出現于先秦時期,它又出現在《九章算術》的“勾股”章,而“九章”源于“九數”,其中勾股源于旁要,那么《九章算術》的“勾股”章所收錄的算題,會不會包含一些原先是運用“旁要”解答的算題?如果“圓材薶地”算題原屬于旁要,那么漢編《九章》把它納入“勾股”也是可能的。

以上關于“旁要”的說法多是猜測,應該說《數》的“圓材薶地”算題最可能是勾股問題。由于在張家山漢簡《算數書》里,沒有發現“勾股”類算題,而《算數書》的成書時代在《九章算術》之前,所以有學者認為《九章算術》里“勾股”章的形成時間比較晚,是在《算數書》出現之后才逐步完成的?，F在《數》的“圓材薶地”算題說明了勾股問題已出現在先秦時期的數學著作里,算題也較復雜,需要熟練地將勾股定理變化運用。但是在《數》里我們只見到這一個算題屬于勾股問題,所以也不能說《數》里已形成“勾股”章。至于《九章算術》里“勾股”章的第九題,也不一定是摘錄改編自《數》的“圓材薶地”算題,可能只是有相同的源頭。迄今,我們雖已發現《數》的許多算題與《九章算術》的算題相同或近似,但仍不能說《數》對《九章算術》產生了直接影響。關于《九章算術》的成書問題,郭書春已提出一些證據說明《九章算術》的主要內容成于先秦[13,14]。鄒大海則更詳細、更充分地論述了《九章算術》的主要內容和方法形成于先秦[8,15,16]。在漢編《九章算術》之前,一定存在很多數學著作,張家山漢簡《算數書》只是其中的一種,它對《九章算術》沒有直接的影響[17,18]。秦簡《數》支持這一意見。類似地,正因為在漢《九章算術》之前一定存在很多數學著作,不能僅憑《數》與《九章算術》有一些相同的算題就斷言兩者有直接的關聯,這個問題很復雜,還需進一步研究。

致 謝本文寫作得到中國科學院自然科學史研究所郭書春教授、鄒大海教授,湖北省荊州博物館彭浩教授的指導。

1 陳松長.岳麓書院藏秦簡內容綜述[J].文物,2009,(3)：75—78.

2 郭書春.試論《算數書》的理論貢獻與編纂[A].法國漢學[C].第 6輯.北京：中華書局,2002.505—537.

3 錢寶琮校點.算經十書·周髀算經[A].李儼錢寶琮科學史全集[Z].第 4卷.沈陽：遼寧教育出版社,1998.

4 鄒大海.從先秦文獻和《算數書》看出入相補原理的早期應用[J].中國文化研究,2004,(冬之卷)：52—60.

5 章鴻釗.周髀算經上之勾股普遍定理：“陳子定理”[J].中國數學雜志,1951,1(1)：13—15.

6 梁宗巨.世界數學史簡編[M].沈陽：遼寧人民出版社,1981.331—332.

7 席澤宗,程貞一.陳子模型和早期對于太陽的測量[A].古新星新表與科學史探索[C].西安：陜西師范大學出版社,2002.426—435.

8 鄒大海.中國數學的興起與先秦數學[M].石家莊：河北科學技術出版社,2001.

9 李儼.中國數學大綱[A].李儼錢寶琮科學史全集[C].第 3卷.沈陽：遼寧省教育出版社,1998.22.

10 錢寶琮.中國數學史[M].北京：科學出版社,1981.44—45.

11 劉鈍.大哉言數[M].沈陽：遼寧教育出版社,1995.404.

12 韓祥林.“旁要、夕桀、重差”釋義[J].曲阜師范大學學報 (自然科學版),2001,27(1)：106—108.

13 郭書春.古代世界數學泰斗劉徽[M].濟南：山東科學技術出版社,1992.98—105.

14 郭書春.張蒼與《九章算術》[A].劉鈍,韓琦等.科史薪傳——慶祝杜石然先生從事科學史研究 40周年學術論文集[C].沈陽：遼寧教育出版社,1997.112—121.

15 鄒大海.出土《算數書》初探[J].自然科學史研究,2001,20(3)：193—205.

16 鄒大海.睡虎地秦簡與先秦數學[J].考古,2005,(6)：57—65.

17 鄒大海.從《算數書》與《九章算術》的關系看算法式數學文獻在上古時代的流傳[J].贛南師范學院學報,2004,(6)：7—10.

18 鄒大海.出土簡牘與中國早期數學史[J].人文與社會,2008,2(2)：71—98.

Abstract This article analyzes a problem in Qin bamboo manuscripts on mathematics,Shu,collected by the Yuelu Academy of Hunan University in Changsha.The problem is about how to calculate the diameter of a buried log.It is interesting that the same problem can be found inthe N ine Chapters on M athematical Procedureswhich is the most important of all ancient Chinese mathematical texts.After analysis,this problem is believed to be documentary evidence showing that the ancient Chinese were aware of a particular case of the Pythagorean Theorem.And the article speculates the mid-8th century BC to be the earliest date of this Pythagorean Theorem problem.But it still have doubts about the problem. It is also possibly associated with another mathematical principle,that corresponding sides of two similar right triangles are proportional.

Key words Qin bamboo Manuscripts on Mathematics,Shu,the Pythagorean theorem

A Pythagorean Theorem Problem in Qin BambooManuscripts on Mathematics,Shu,Collected by Yuelu Academy

X IAO Can,ZHU Hanmin
(Yuelu Academy,Hunan University,Changsha410082,China)

N092∶O112

A

1000-0224(2010)03-0313-06

2009-03-17;

2010-04-26

肖燦,1976年生,湖南湘潭人,湖南大學岳麓書院博士生,講師,研究方向：中國思想文化史;朱漢

民,1954年生,湖南邵陽人,湖南大學岳麓書院教授、博士生導師,主要研究方向：中國思想文化史。

國家社會科學基金項目《岳麓書院藏秦簡的整理與研究》(批準號：09BZS001)