K-行正交矩陣的幾點性質

賈書偉

(西華大學數學與計算機學院,四川成都610039)

正交矩陣作為一種特殊的矩陣,在整個矩陣理論體系中具有十分重要的作用,它的廣泛應用推動了特殊類矩陣理論的深入研究.文獻[1]討論了正交矩陣的性質,文獻[2]給出了次正交矩陣的概念,并研究了次正交矩陣的性質,文獻[3]將次正交矩陣的概念加以推廣,給出了亞次正交矩陣的概念,文獻[4]和[5]給出了廣義次對稱(反次對稱)矩陣和廣義次正交矩陣的概念,并討論了它們的性質及它們之間的關系,文獻[6]研究了K-擬次正交矩陣的性質,文獻[7]給出了右轉置矩陣、左轉置矩陣和全轉置矩陣與正交矩陣的充分必要條件及一些相關結果.近年來,一些矩陣論工作者對矩陣引入了行轉置矩陣概念[8],并研究它的一些性質[9],進而又有矩陣論工作者討論了矩陣的行正定性[10]問題,但還未發現有矩陣論工作者討論行正交性問題.因此,在此基礎上,本文引進行(列)對稱矩陣、行正交矩陣以及行對合矩陣的概念,通過研究,得出了一些有用結果.

為方便討論,規定A-1、A＊、AT、|A|分別為矩陣A的逆矩陣、伴隨矩陣、轉置矩陣和行列式,R表示實數域集合,Rm×n表示m×n實矩陣,E表示n階單位矩陣,Jn=J表示次對角線上元素全為1,其余元素全為0的n階方陣,“A?B”表示由A可以推出B.

1 定義和引理

定義1[8]設A=(aij)∈Rm×n,則矩陣A的行轉置矩陣與列轉置矩陣,并記為AR與AC.

若AR=A(AC=A),則A稱為行(列)對稱矩陣;若AR=-A(AC=-A),則A稱為行(列)反對稱矩陣;若AR=AC,則A稱為行列對稱矩陣.

由定義不難得到：J-1=JT=J,JR=Jc=J2=E.

引理1[9]設A,B∈Rm×n,則有下列結論：

⑴AR=JmA,AC=AJn;

⑵(AR)R=A,(AC)C=A;

⑶(kA)R=kAR,(kA)C=kAC(k∈R);

⑷(AR)T=(AT)C,(AC)T=(AT)R

⑸(A±B)R=AR±BR,(A±B)C=Ac±Bc;

⑹設B∈Rn×k,則(AB)R=ARB,(AB)C=ABC.

引理2[11]A=(aij)∈Rn×n,且A為可逆矩陣,則A＊=|A|A-1.

引理3 設A∈Rn×n,且A可逆,則(A-1)R=(AC)-1,(A-1)C=(AR)-1.

證明 因為A∈Rn×n且可逆,所以(A-1A)R=(A-1)RA=ER=J,于是A-1R=JA-1=(AJ)-1=(AC)-1.同理可證(A-1)C=(AR)-1.

定義2 設A∈Rn×n,若ARA=AAR=KJ(其中0≠K∈R),則A稱為K-行正交矩陣.

特別地,若K=1,則A稱為行正交矩陣;若K=-1,則A稱為行反正交矩陣.

定義3 對于任意實矩陣A,若(AR)2=KJ,則稱A為K-行對合矩陣.當K=1時,稱A為行對合矩陣;當K=-1時,稱A為行反對合矩陣.

2 主要結果

定理1 如果A∈Rn×n為K-行正交矩陣(0≠K∈R),那么A、AR、AC都是可逆矩陣.

證明 當A為K-行正交矩陣時,則有ARA=AAR=KJ,(0≠K∈R),等式兩端同取行列式得：|JAA|=|AJA|=|KJ|?|J||A|2=Kn|J|,又因J為可逆矩陣,從而|A|2=Kn≠0,所以|A|≠0,故A為可逆矩陣;因J為可逆矩陣,故|J|≠0,所以|AR|=|JA|=|J||A|=|AJ|=|AC|,即|AR|=|AC|=|J||A|≠0,故AR,AC也是可逆矩陣.

定理2 如果A為K-行正交矩陣,那么J與A、AR、AC、A＊、A-1、AT可交換.

證明 因A是行正交矩陣,從而ARA=AAR=KJ,結合引理1得JAA=AJA=KJ,又因為A可逆矩陣,等式兩端右乘A-1得：JA=AJ,所以AR=AC;(即A是行列對稱矩陣);JAR=JJA=A,ARJ=JAJ=AJJ=A,即JAR=ARJ;同理：J與AC可交換;JA＊=J|A|A-1=|A|(AJ)-1=|A|(AC)-1,A＊J=|A|A-1J=|A|(JA)-1=|A|(AR)-1=|A|(AC)-1,所以,(A＊J=JA＊;JA)-1=(AJ)-1=(AC)-1,A-1J=(JA)-1=(AR)-1,又因AR=AC,所以JA-1=A-1J;JAT=(AJ)T=(AC)T,ATJ=(JA)T=(AR)T,又因AR=AC,所以JAT=ATJ.

定理3 如果A∈Rn×n為K-行正交矩陣(0≠K∈R),那么

⑴(AR)T=(AT)R,(AC)T=(AT)C;

⑵(AR)-1=(A-1)R,(AC)-1=(A-1)C.

證明 由定理2知AR=AC,再由引理1得：(AT)R=(AC)T=(AR)T,所以(AR)T=(AT)R,類似的,可以證明(AC)T=(AT)C;

⑶由AR=AC和引理3可知：(A-1)R=(AC)-1=(AR)-1,即(AR)-1=(A-1)R類似的方法可以證明：(AC)-1=(A-1)C.

定理4 若A是行對稱且K-行對合矩陣,則A是K-行正交矩陣.

證明 因為A是行對稱且K-行對合矩陣,有AR=A,(AR)2=KJ,所以,AAR=ARA=(AR)2=KJ,則A是K-行正交矩陣.

推論1①若A是行對稱且行對合矩陣,則A是行正交矩陣;

②若A是行對稱且行反對合矩陣,則A是行反正交矩陣.

定理5 若A是行對稱且K-行正交矩陣,則A是K-行對合矩陣.

證明 因為A是行對稱且K-行正交矩陣,有AR=A,AAR=ARA=KJ,所以,(AR)2=ARA=KJ,則A是K-行對合矩陣.

推論2①若A是行對稱且行正交矩陣,則A是行對合矩陣;

②若A是行對稱且行反正交矩陣,則A是行反對合矩陣.

定理6 若A是K-行對合且K-行正交矩陣,則A是行對稱矩陣.

證明 因為A是K-行對合且K-行正交矩陣,有(AR)2=KJ,AAR=ARA=KJ,所以,AAR=ARAR,從而AR=A,則A是行對稱矩陣.

推論3①若A是行對合對稱且行正交矩陣,則A是行對稱矩陣;

②若A是行反對合且行反正交矩陣,則A是行對稱矩陣.

[1] 劉志明.關于正交矩陣性質的討論[J].重慶師范學院學報：自然科學版,2000,17(s)：162-164.

[2] 劉麗萍.次正交矩陣及其性質[J].山西財經大學學報,2000,22(s)：205-206.

[3] 陳琳.亞次正交矩陣及性質[J].周口師范學院學報,2004,21(5)：28-30.

[4] 郭偉.廣義次對稱矩陣及廣義次正交矩陣[J].西南師范大學學報：自然科學版,2000,25(1)：18-22.

[5] 戴立輝,王澤文,劉龍章.正交矩陣的若干性質[J].華東地質學院學報,2002,25(13)：267-267.

[6] 劉玉,蔡烏芳.K-次正交矩陣及其性質[J].南通大學學報：自然科學版,2009,8(1)：72-75.

[7] 許永平,石小平.正交矩陣的充要條件與O正交矩陣的性質[J].南京林業大學學報：自然科學版,2005,29(2)：54-56.

[8] 袁暉坪.行(列)對稱矩陣的Schur分解和正規陣分解[J].山東大學學報：理科版,2007,42(10)：123-126.

[9] 袁暉坪.行(列)對稱矩陣的奇異值分解[J].中北大學學報：自然科學版,2009,30(2)：100-104.

[10] 何承源,淑恒.實矩陣的行正定性[J].西華大學學報：自然科學版,2010,29(5)：49-50.

[11] 黃正達,李方等.高等代數(上冊)[M].杭州：浙江大學出版社,2008.