多孔結構孔隙特征的分形研究

劉 陽,賈俊超,王 磊

(1.中國礦業大學力學與建筑工程學院,江蘇徐州221008;2.鄂爾多斯永煤礦業投資有限公司,內蒙古鄂爾多斯017000)

1 孔隙體積分形研究

1.1 海綿體體積分形原理

對于混凝土多孔介質的靜態孔隙結構,多采用Menger海綿體模型進行分析,如圖1。具體構造過程為：對于一個邊長為R的立方體,將邊長R分成m等份,從得到的m3個小立方體中隨機挖去n個孔隙單元,按照這個規則重復操作k次,則得到的多孔介質體中最小的立方體單元的邊長為rk=R/mk,剩余立方體的個數為(m3-n)k,利用盒計數法計算出海綿體的體積分形維數為：

根據體積分形原理,海綿體的固體體積Vs與最小立方體單元的長度rk呈冪次關系,對二者進行雙對數變換后的關系式為：

那么,得出海綿體的固體體積VS關于分形維數DV的表達式為：

假設海綿體的孔隙率為φ,則得出φ關于體積分形維數DV、邊長一次等分數m以及重復挖孔次數k的表達式：

式(2)為孔隙率的分形表達式,該公式用到的孔隙率φk為重復挖孔k次所得到的全部孔隙的累積體積與海綿體的表觀體積之比。

圖1 Menger海綿體分形模型

依據圖1海綿體的構造過程,m=3,在不同迭代次數下,作出孔隙率φk與體積分形維數DV的關系,如圖2所示。

圖2 孔隙率與孔隙分形的關系

從圖2和式2可以看出：孔隙率φR是關于體積分維DV的減函數,多孔結構的體積分形維數越大,孔隙率越低;迭代次數對孔隙率的影響也很大,迭代次數越高,多孔體的最小孔徑越小,孔隙率隨體積分形的變化越不明顯。

1.2 基于壓汞實驗的體積分形研究

將海綿體分形模型與混凝土試塊壓汞實驗的測試機理對比分析,發現二者存在很大程度的相似性,其中rk對應一定汞壓下的孔隙直徑;R對應測試試塊的最小邊長;φk對應一定汞壓下所能測得的全部孔隙對應的孔隙率。為了用混凝土的壓汞實驗過程驗證海綿體的孔隙分形理論公式推導的準確性,下面在海綿體的分形理論基礎上推導了混凝土基于壓汞實驗的體積分形的計算公式。

海綿體的固體體積VS用體積分形維數DV表示為：

對式(3)兩邊分別取對數,得到以下關系式：

由式(4)知,混凝土試塊的固體體積Vs和一定汞壓下的最小孔徑rk的雙對數曲線呈線性關系,斜率為3-DV;y軸上的截距為DV?lnR;DV代表多孔結構體的體積分形維數。

2 孔隙表面分形研究

2.1 孔隙比表面積的簡易算法

依托Menger海綿體分形模型,研究多孔結構體的比表面積的分形維數,必須滿足以下兩個基本假定：

①孔結構的孔隙表面為光滑表面;

②孔隙單元體之間沒有公用面。

利用Menger海綿體挖孔規則重復k次操作,得到多孔結構體中最小的立方體單元的邊長為rk=R/mk,挖掉的孔隙立方體單元的個數為n,按照上面兩條基本假定,可以得出多孔結構體的總的表面積為：

作孔隙體比表面積Ω和孔徑rk的雙對數曲線,二者呈線性關系,說明孔隙體積比表面積滿足分形特征?？紫扼w比表面積的分形計算公式為：

由式(7)得知：孔隙體積比表面積Ω是關于DV與rk的函數;多孔結構體的比表面積滿足分形特征。由式(2)可以表示為：φk=f(DV,m,k),說明孔隙率僅與體積分維DV一個標度不變量有關。聯合式(7)可知：孔隙比表面積Ω僅與孔隙率φk有關。

2.2 基于表面分維的孔隙比表面積算法

本文利用Menger模型推導了多孔結構體比表面積的計算公式(6),限于上述兩個基本假定,式(7)導出的孔隙比表面積Ω僅與孔隙率φk有關,而真實的孔隙比表面積除了與孔隙率有關外,還與表面的彎曲粗糙等復雜程度有關,為了更準確的表征多孔體的比表面積,本文對多孔體的孔隙表面分形展開進一步研究。

下面考慮孔隙的表面分形效應,采用增加型分形構造法計算孔隙的比表面積。在一個自相似系統中,經k階迭代后,第k階的孔隙表面積與測量尺寸的關系可由下式給出：

式中：ε為測量尺度,無量綱;a為常數;DA2為表面分形維數。

構造第k階的孔隙的表面積的算式為：

式中：ε為孔隙表面分形的測量尺度,與測量體積分形的測量尺度R/mk相互獨立;Sgk為第k階光滑孔隙表面的面積。

由于孔隙比表面積的測量比較復雜,而且都不夠準確,直接利用表面分形原理計算DA2比較麻煩。我們根據DA2=DA1+1的關系,間接求解表面分維數。對多孔體試塊剖切,然后電鏡掃描斷面孔隙情況,用一個變化的測量尺度ε孔隙的圓周,計算孔隙周長的一維分形維數DA1,然后代入DA2=DA1+1,就得到了孔隙的表面分形維數。

沿用前面海綿體分形模型的孔隙構造方法,可知第k階迭代后生成小立方體孔隙表面個數為：

由式(8)和(9)經過k次迭代后,孔隙的總的表面積的表達式為：

式中Sb為孔隙內表面積,其值遠大于外表面積6R2。為了更準確的表征孔隙的粗糙度,下面計算了多孔體的孔隙比表面積。

由式(10)看出：孔隙比表面積是體積分維DV和表面分維DA2兩個獨立變量的函數,不僅表征了孔隙率和孔徑分布情況,還能表征孔隙表面的褶曲粗糙程度。

3 結論

⑴多孔結構的體積分形能夠通過壓汞實驗獲得。經過理論推導發現,多孔結構的體積分維是其孔隙率的唯一的標度不變量,因此可以用體積分形來表征多孔結構體的孔隙率的大小。

⑵孔隙率φ是關于體積分維DV的減函數,多孔結構的體積分形維數越大,孔隙率越低;壓汞實驗后期,隨著壓汞儀的壓力不斷提高,滲透性試件的最小孔徑越來越小,孔隙率隨體積分形的變化越不明顯;

⑶描述多孔結構體的幾何特征,除了孔隙率和孔徑大小外,還要了解孔隙的表面粗糙度。本文基于Menger海綿體模型推導了多孔結構比表面積的計算公式(6)和(10),前者是光滑表面的孔隙比表面積的算法,后者考慮了孔隙表面的彎曲粗糙等復雜程度的影響。

⑷本文給出了孔隙體的幾何分形的有關算法,能夠清楚地認識多孔結構的復雜結構特征,對于今后開展多孔結構成分的絮凝過程、多孔結構滲流的研究有重要的指導意義。

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