量子粒子群算法優化鋼結構截面

譚德坤

(南昌工程學院計算機系,江西南昌 330099)

0 前言

近年來,鋼結構在各行各業取得了廣泛的應用,它是現代建筑工程中較普通的結構形式之一。鋼結構除了在綜合經濟指標上具有競爭力之外,還符合社會可持續發展關于材料再利用及環保的要求,它是一種綠色結構[1]。在合理使用鋼結構的工程中,應力求設計出先進、合理,盡量降低鋼材消耗,并能保證可靠性要求的結構。傳統的剛結構基本構件截面設計中,由于涉及到的未知量太多,截面設計時往往采用試算法,首先根據已有工程經驗進行初選,然后再進行各項驗算,驗算不合適時,則調整截面尺寸,繼續重新驗算,直到滿足設計要求為止。由于計算復雜,初選截面尺寸大多不一定合適,因而需要進行多次調整才能得到比較滿意的截面[2-3]。該過程常采用手算,計算量大,計算過程中費時費力,而且容易出錯,對工程技術人員而言,是一項比較辛苦而繁瑣的工作。隨著計算機的日益普及和優化算法的快速發展,通過電腦編程對構件進行快速、準確的優化計算,從而減輕工程技術人員的勞動強度,已經成為工程結構設計領域中的新趨勢。

目前,已有不少學者對鋼結構截面的優化設計進行了研究,如熊義泳等給出了一系列鋼結構基本構件截面設計的簡化算法[2,4-5],上述文獻中所提簡化算法的核心都是根據工程設計要求初選截面參數,從而提高所選截面的準確性,減少試算次數,設計出較為合理的優選截面。文獻[6-8]也探討了不同鋼構件截面的快速優化方法,文獻[6]通過簡化假定,給出了截面特性的簡化計算表達式,但計算假定與工程實際有出入;文獻[7]采用準則優化方法,以用鋼量為目標函數,通過方程求導直接給出設計公式;文獻[8]首先通過作圖法求得初選截面參數,然后通過少量試算獲得理想截面。但是上述研究的著眼點都是為了減少手算次數,是一種基于手算過程的快速算法。鋼結構截面優化設計問題具有非線性、離散性、不可微、非凸性等特點[9],而進化算法是一種具有全局尋優能力的智能尋優方法,它為解決該類問題提供了一種全新的思路。

粒子群算法(PSO)[10]是Eberhart和Kennedy于1995年提出的一種集群智能優化算法。在深入研究 PSO算法單個粒子收斂行為的基礎上,文獻[11]從量子力學的角度出發提出了量子粒子群優化算法(QPSO)。QPSO算法的特點是計算簡單、容易實現、控制參數少,它比標準PSO算法具有更強的全局搜索能力。

本文就是利用量子粒子群算法來進行鋼構件截面選擇時的優化計算,該方法計算精度高,收斂速度快,是一種有效的鋼結構截面優化計算方法。

1 量子粒子群優化算法

1.1 約束優化模型描述

非線性約束優化設計模型可以描述為[12]:

設計變量:X=[x1,x2,…,xn]T。

目標:min f(X)。

約束:ai≤xi≤bi(i=1,2,…,n);

hj(X)=0(j=1,2,…,p);

gk(X)≤0(k=1,2,…,l),

式中,ai、bi為第i個設計變量xi的上、下限;n為設計變量的個數;p為等式約束的個數;l為不等式約束的個數。

1.2 量子粒子群算法

量子粒子群算法是在PSO算法的基礎上,結合了量子力學中粒子在一維δ勢阱中的運動規律而提出的新的全局優化算法。在量子世界中,粒子運動軌跡不受限制,只隨時間演化,它可以在整個可行解空間中進行搜索,因而QPSO算法的全局搜索性能遠遠優于標準PSO算法。與PSO算法不同,在QPSO算法中,粒子按照下列公式更新位置[11,13]:

式(1)表示通過蒙特卡羅隨機模擬方式得到粒子的位置方程,β稱為收縮-擴張因子,它是 QPSO的一個重要參數,第T次迭代時可取β=0.5(MaxIter-T)/MaxIter,MaxIter是總的迭代次數;u為(0,1)范圍內變化的隨機數;pid和mbest分別由如下兩式求得。

為了保證算法的收斂性,每一個粒子必須收斂于各自的p點,p=(p1,p2,…,pd),第i個粒子 p點的第d維坐標為:

式中,φ是(0,1)之間的隨機數;pid是介于pbest和gbest之間的隨機位置。

式中,mbest是所有粒子當前最優位置的中心點;M為種群規模。

從上述方程可以看出:QPSO與PSO明顯的區別是前者引入了粒子位置的隨機指數分布,它使得粒子在每一個迭代步的搜索空間是整個可行解空間,增強了搜索全局最優解的能力。同時又引入了mbest的信息,它使得QPSO的收斂性能大大提高,原因是個體間的協調性更強,單個粒子不能獨自收斂,必須等待其他粒子。

1.3 算法描述

從前述分析可以看出QPSO算法是一種全局優化算法,其具體步驟如下:

(Ⅰ)設定初始參數,產生初始種群。

(Ⅱ)計算粒子的當前適應度值,并與前一次迭代的值進行比較,如果當前適應度值比前一次的小,則更新粒子的當前位置,即如果f(xi(t+1))＜f(pi(t)),則pi(t+1)=xi(t+1)。

(Ⅲ)計算平均最優位置mbest。

(Ⅳ)計算群體的當前全局最優位置,并與前一次迭代的全局最優位置比較,若當前全局最優位置較好,則更新種群的全局最優位置。

(Ⅴ)對粒子的每一維,根據式(2)計算隨機點位置pi,并根據式(1)計算粒子的新位置。如果某一粒子飛出搜索空間(即違反約束條件),則令該粒子的位置大小等于其邊界值,并令其速度乘以-1,以使該粒子向相反的方向搜索。

(Ⅵ)檢驗是否符合結束條件:若達到迭代停止條件(當前迭代次數達到最大迭代次數或者最優解達到最小誤差要求),則算法結束,返回當前最優個體作為解輸出;否則,轉步驟(Ⅱ)。

2 鋼結構基本構件優化計算實例

本文使用QPSO算法對兩個典型的鋼結構截面優化問題進行了求解。數值實驗在Matlab平臺下進行,種群規模 N=20,取最大迭代次數為T=50。并將本文算法的結果與傳統的試算法及標準 PSO算法的結果進行了比較。

算例1 軸心受壓柱截面優化計算問題

如圖1所示,一軸心受壓柱,采用焊接箱型截面,鋼材為 Q235,柱截面無削弱,柱的上下端均為鉸接,柱高6 m,軸心壓力設計值為N=6 000 kN(包括柱身自重)[14]。試設計該截面。

設截面參數為:腹板厚度為x1,高度為 x2,翼緣板寬度為 x3,厚度為 x4。設軸心壓力為 N,設計強度值為f,x方向的計算長度為lox,y方向的計算長度為 loy,容許長細比為[λ],則該截面優化計算的數學模型為:

計算變量:x1,x2,x3,x4。

目標函數:minA=2x1x2+2x3x4。

約束條件:

圖1 算例1示意圖

(Ⅲ)剛度要求:[λ]=max{λx,λy}≤150。

(Ⅳ)工程構造要求:x1≥4,且 x1、x4取 2的倍數,x2、x3取 10的倍數。

從以上可以看出:對于鋼構件的截面優化設計問題,其數學模型的建立是根據設計規范[15]和實際工程的具體要求轉化為一系列的約束條件,以一組不等式的形式表達出來。

量子粒子群算法對該截面優化計算問題進行求解,即求解不同的參數 x1,x2,x3,x4,在滿足約束條件的情況下,使面積A最小。在本例中,lox=600 cm,loy=600 cm,fy為鋼材屈服點的標準值,對Q235鋼,fy=235 N/mm2,穩定系數φ由Perry公式[16]求得,長細比λx,λy由文獻[16]中提供的公式進行計算。本文計算結果與 PSO計算結果及文獻[14]中的手工試算結果進行了比較,結果如表1所示。

表1 算例1的計算結果比較

從表1的結果可以看出:手工試算結果最差,這主要是憑設計者的個人經驗,經驗豐富與否對結果影響很大。PSO計算結果其次,原因是其搜索過程中易陷入局部最優,所得結果常常是局部最優解,未搜尋到全局最優解。而QPSO引入了量子特性,可以在整個可行解空間中進行搜索,具有較強的全局尋優能力,所得計算結果均優于文獻[14]手工試算結果及 PSO計算結果,在滿足工程要求的前提下,它的經濟性比前者節省3.5%,比后者節省1.08%。

算例2 實腹式單向壓彎構件截面優化計算問題

一個 Q235鋼焊接工字形截面壓彎構件,兩端鉸接,翼緣板為剪切邊,截面無削弱。承受軸向壓力設計值N=880 kN,跨中集中橫向荷載設計值F=180 kN。構件長l=10 m,橫向荷載作用處有一側向支撐[14]。試設計該截面尺寸。

設截面參數為翼緣寬度為b(x1),厚度為t(x2),腹板高度為h0(x3),厚度為tw(x4)。設軸心壓力為N,設計強度值為 f,x方向的計算長度為 lox,y方向的計算長度為 loy,容許長細比為[λ]。翼緣板為剪切邊的焊接工字形截面構件對強軸x軸屈曲時屬b類截面,對y軸屬c類截面。根據文獻[15]的設計要求,則建立該截面優化設計問題的數學模型如下:

計算變量:x1,x2,x3,x4。

目標函數:min A=2x1x2+x3x4。

約束條件:

(Ⅰ)彎矩作用平面內的整體穩定要求(見文獻[15]中5.2.2-1條):

(Ⅱ)彎矩作用平面外的整體穩定性要求(見文獻[15]中5.2.2-3條):

(Ⅲ)翼緣板局部穩定性要求(見文獻[15]中5.4.1條):

(Ⅳ)腹板局部穩定性要求(見文獻[15]中5.4.2條):

當0≤a0≤1.6時,

當1.6＜a0≤2時,

(Ⅴ)剛度要求:[λ]=max{λx,λy}≤150。

(Ⅵ)工程構造要求:x4≥4,且 x2、x4取 2的倍數,x1、x3取 10的倍數,它們均為正數。

用QPSO算法對該截面優化計算問題進行了計算求解,并與PSO算法結果及文獻[14]的手工計算結果進行了比較,比較結果見表2。

從表2中可以看出:在滿足工程約束要求的前提下,QPSO算法得到了較為理想的截面優化計算結果,其截面面積最小,它的經濟性比文獻[14]計算結果節省 20.3%,比標準粒子群算法的優化結果節省6.6%,優化效果很明顯。

表2 算例2的計算結果

從上述兩個優化算例的計算結果均可以看出:本文算法是實用、有效的,性能優良。

3 結論

本文將具有群體智能的優化算法——PSO算法引入結構工程領域,利用它進行鋼結構基本構件的優化設計,針對標準PSO算法易早熟收斂的缺陷,用量子特性對PSO算法進行了改進,提出了基于量子特性的QPSO算法。為了驗證本文方法的正確性,用兩個典型的鋼結構基本構件截面優化設計算例對其進行了驗證,從計算結果可以看出本文優化效果較優,可用于工程實際。

致謝:本文在撰寫過程中,南昌工程學院土木系熊義泳教授對專業術語的解釋、作圖規范等各方面提供了大力幫助,并提供了有關的國家標準。作者在此表示衷心感謝!

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