具p-Laplacian算子與積分邊界條件的脈沖微分方程的正解

李培巒 ,袁合才

(1.河南科技大學數學與統計學院,河南洛陽 471003;2.華北水利水電學院數信學院,河南鄭州 450045)

0 前言

微分方程加上脈沖條件便成為脈沖微分方程,脈沖微分方程描述方程在特定時刻經歷瞬間狀態改變,反映微分方程在某個時刻的突變,能夠比較精確和逼真地描述客觀世界。最近十幾年,脈沖微分方程理論在物理學現象、醫學技術、人口動態、生物科技和經濟數學模型中變得越來越重要[1-2]。

帶有積分邊界條件的微分方程(邊值問題)理論出現在應用數學和物理的不同領域。例如,熱傳導、化學工程、地下的水流量、熱彈性、等離子物理學等很多問題都可以轉化為帶有積分邊界條件的微分方程邊值問題。有關帶有積分邊界條件邊值問題的重要性和相關理論,可參閱文獻[3-4]。近年來帶積分邊界條件的邊值問題正解的存在性和多解性引起了廣泛的關注,但直到目前對于脈沖微分方程的積分邊界條件的邊值問題,特別是帶p-Laplacian算子的脈沖微分方程積分邊界條件的邊值問題討論的文章很少。至今為止只在文獻[5-8]中看到對脈沖微分方程的積分邊界條件的邊值問題的研究,而對于帶p-Lap lacian算子的脈沖微分方程的積分邊界條件的邊值問題結果更少。在文獻[7]中,作者利用不動點指數理論討論了下面的一類二階的帶p-Laplacian算子與積分邊值條件的脈沖微分方程的邊值問題:

本文討論如下具p-Laplacian算子與積分邊界條件的脈沖微分方程邊值問題:

本文利用Leray-Schauder不動點定理得到了邊值問題(1)的至少一個正解的存在性,本文所用的工具與文獻[7]是截然不同的,非線性項的形式也更廣泛,邊值條件和所得結果也不同。

為了討論邊值問題(1),首先做如下假設:

(A 1) f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞))。

(A 2) g∈L1[0,1]非負,且σ∈(0,1),其中σ=∫g(t)dt。

(A 3) w(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[0,1]的任何閉的子區間上w(t)?0。

(A 4) Ik∈C([0,+∞),[0,+∞)),u()=u(tk+h),u()=u(tk-h)為u(t)在t=tk的右極限和左極限,k=1,…,n。

令E={u:[0,1]→[0,+∞)在t≠tk處連續,在點tk左連續,u(),u()存在且u()=u(tk), k=1,…,n};P={u∈E:u是[0,1]上的非負非降的凹函數,且u′(1)=0}。

x∈E∩C2([0,1]/{t1,…,tn},[0,+∞))稱為邊值問題(1)的正解,如果它滿足邊值問題(1),且x(t)≥0,?t∈[0,1]。

1 主要引理

引理1[9](Leray-Schauder)E是一個Banach空間,A:E→E是一個全連續算子。如果集合{x:x∈E,x=λAx,0＜λ＜1}是有界的,那么算子A至少在 E中的閉球T上有一個不動點,其中,

在定義P后再做如下假設:

(A 5) 存在常數ck,使得≤ck,k=1,…,n,?u∈P。

引理2 假設(A2)和假設(A4)滿足h(t)∈C[0,1],且h(t)≥0,則u(t)是如下邊值問題:

的解當且僅當u(t)是如下積分方程:

的解,且u(t)≥0。

證明 對式(2)中的第1個方程從t到1積分得:

再對上面的微分方程從0到 t積分有:

因而:

由式(4)和式(5)可得:

反過來,若u(t)是積分方程(3)的解,求導可得:

由式(3)還可得:

再對式(6)求導可得:

因此,u(t)滿足邊值問題(2)的所有條件,故是問題(2)的解。

如果h(t)≥0,由式(3),假設(A2)和假設(A4)易得u(t)≥0。因而完成引理的證明。

定義算子A:

?y∈P,由假設(A1)和假設(A3),引理2及算子A的定義可知:

則Ay∈P。故A是一個從P到P的算子。

據引理2可知欲得邊值問題(1)正解,僅需討論算子A的不動點。

其次,證明A:P→P一致有界。對d＞0,定義閉球Bd={u∈P∶≤d}。由(A5)和A的定義,?u∈Bd,有:

最后證明{Au∶u∈Bd}等度連續。令t,t′∈[0,1],t＜t′;Bd={u∈P∶≤d}是P的閉凸子集,則當t→t′時,由假設(A1)、(A3)、(A4)易知(Au)(t′)-(Au)(t)→0。故算子族{Au:u∈Bd}等度連續。則由Ascoli-Arzela定理知,A:P→P全連續。

2 主要結果

本文的主要結果是應用引理1(Leray-Schauder不動點定理)得到的。

證明 令N(A)={u∈P:u=λAu,?0＜λ＜1}。下證集合N(A)有界。

據假設(A1)、(A3)、(A5)可知N(A)有界。應用引理1可知:算子A至少有一個不動點u(∈P),即邊值問題(1)至少有一個正解u(∈P)。

3 結論

[1] Bainov D D,Simeonov P S.Im pulsive Differential Equations:Periodic Solutions and Applications[M].Harlow:Longman Science and Technical,1993.

[2] Lakshmikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of Impu lsive Differential Equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[3] Corduneanu C.Integral Equations and Applications[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[4] Agarwal R P,Regan D O.Infinite Interval Problems for Differential,Difference and Integral Equations[M].Dordrecht: Kluwer Academ ic Publishers,2001.

[5] Tian Y,Ji D,Ge W G.Existence and Nonexistence Resu lts of Impulsive First-order Prob lem with Integral Boundary Condition[J].Nonlinear Anal,2009,71:1250-1262.

[6] Zhang X M,Feng M Q,GeW G.Existence of Solutions of Boundary Value Problems with Integral Boundary Conditions for Second-order Im pu lsive Integro-differential Equations in Banach Spaces[J].JComput ApplMath,2010,233:1915-1926.

[7] Feng M Q,Du B,Ge W G.Impulsive Boundary Value Problem s with Integral Boundary Conditions and One-dimensional-Lap lacian[J].Nonlinear Anal,2009,70:3119-3126.

[8] Zhang X M,Yang X,Ge W G.Positive Solutions of nth-order Impu lsive Boundary Value Problems with Integral Boundary Conditions in Banach Spaces[J].Nonlinear Anal,2009,71(12):5930-5945.

[9] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南:山東科學技術出版社,1983.