船舶在隨機橫浪中的全局穩定性

胡開業，丁勇，王宏偉，李積德

(哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

傾覆是造成船舶嚴重事故的重要原因之一，歷來受到造船界的極大關注.作為研究船舶傾覆的一種觀點，從非線性動力系統穩定性的角度來研究船舶在波浪中的傾覆機理，已經引起了船舶科學工作者的廣泛重視［1-4］.根據非線性動力學理論，除了局部分岔外，全局分岔也是導致系統穩定性喪失的途徑之一［5］.

迄今為止，Melnikov方法是研究確定性動力系統全局穩定性的一種相當行之有效的方法，它通過構造系統的Melnikov函數，求解該函數的一階零點來確定系統失穩時系統參數的閾值.Melnikov方法簡單易行，而且還有可能解析求解，因此得到了廣泛的應用.目前采用Melnikov方法對船舶在波浪中的全局分岔及穩定性的研究，多集中在研究外激勵是規則波作用下的情況，如McCue等［3］、袁遠等［4］、王迎光等［6］的研究工作，他們利用Melnikov方法對船舶在規則橫浪作用下的全局穩定性進行了細致地研究，求解出了規則波中導致船舶出現混沌運動的外激勵閾值.船舶在隨機波浪中的運動穩定性的研究由于外激勵的隨機性使得分析和處理變得復雜，現有的研究多將外激勵簡化為白噪聲［7-8］，采用概率密度函數研究船舶在白噪聲激勵下的隨機橫搖運動，然而實際的海浪則是具有有限的譜寬和給定的譜密度函數［9］，即為一有色噪聲，顯然白噪聲模型與實際情況并不相符.

該文采用隨機Melinikov方法對船舶在隨機橫浪中的全局穩定性進行了研究.研究了船舶在窄帶隨機噪聲激勵下的隨機橫搖運動，采用Melinikov均方準則確定系統混沌運動的臨界參數條件，并用安全池法驗證了噪聲強度超過臨界值時的船舶運動特性.

1 船舶在隨機橫浪作用下的橫搖運動模型

假設橫搖運動與其它運動方式不耦合，則船舶在隨機橫浪作用下的單自由度橫搖運動微分方程可寫為

式中:I44為船舶橫搖慣性矩;A44為附加慣性矩;B44為船舶橫搖線性阻尼系數;B44q為船舶橫搖非線性阻尼系數;Δ為排水量;W(τ)為隨機橫浪激勵引起的力矩為船舶的靜穩性臂，采用曲線擬合法可得

對于隨機橫浪外激勵項W(τ)，目前有一些學者采用白噪聲模型的簡化方法，這種模型雖然在計算和分析處理時較為方便，但由于白噪聲模型具有無限譜寬，而實際海況下隨機波浪激勵是一窄帶隨機過程，顯然白噪聲模型并不能很好的模擬船舶在隨機橫浪中所受到的實際外激勵，雖然白噪聲可通過濾波器過濾后變為一有色噪聲，但增加濾波器后卻大大增加了這一隨機非線性系統的分析和求解的難度.該文通過計算分析發現，采用一種有界隨機噪聲模型可以模擬船舶在隨機橫浪中所受的隨機外激勵，無需增加濾波器即可直接分析船舶在該有界噪聲下的隨機運動特性.采用有界隨機噪聲法不僅可以較好的模擬出船舶在隨機波浪中所受的隨機外激勵，對該隨機系統的穩定性分析也變得較容易，下面介紹該有界噪聲模型.

該有界噪聲是一個具有隨機頻率與相位的協和函數［10］，其幅值為常數，表示為

式中:Ω表示中心頻率，σ表示頻率的隨機擾動強度，B(τ)是標準Wiener過程，Γ是在［0，2π)上均勻分布的隨機相位.

ξ(τ)的譜密度為

船舶在隨機橫浪中所受的隨機外激勵W(τ)主要由于隨機波浪作用于船體產生的，對于隨機波浪一般采用波能譜的形式進行描述，目前已有多種形式的波能譜表達式［9］，如紐曼譜、P-M譜、ITTC單參數及雙參數譜、JONSWAP譜等，不同的波能譜公式均為對某一特定海域海浪能量分布的近似，其結果是有一定差別的，因而不同波能譜公式均有一定的適用范圍，但不同形式的波能譜均屬窄帶譜，通過調整參數，均可被該有界噪聲模型近似模擬.以P-M譜為例，通過計算可以發現，式(4)所描述的有界噪聲模型的譜密度即可近似模擬P-M譜，圖1是σ= 0.64，Ω=0.57時有界噪聲譜密度曲線與有義波高為5 m時的P-M譜的譜密度比較圖，從該圖可以看出，在隨機波浪所在的主要頻率區間，隨機噪聲譜與波能譜曲線吻合良好，雖然在波浪頻率較小時，隨機噪聲譜密度值較波能譜值偏差較大，但由于該頻率段在實際波浪中出現的概率較小，因此將船舶在隨機波浪中所受到的隨機波浪外激勵W(τ)考慮為式(3)所描述的有界噪聲模型在實際應用中還是具有較高精度的.

圖1 有界噪聲譜與P-M譜Fig.1 Bounded noise spectrum and P-M spectrum

將式(1)中隨機橫浪外激勵項W(τ)改寫為有界噪聲ξ(τ)的形式，則式(1)改為

式中:d為噪聲強度，當ψ=0時，則方程(5)成為規則波作用下船舶橫搖運動非線性微分方程.將式(5)無因次處理后，得

式中:x=φ，t=ω0τ，ω0

2 隨機Melnikov均方準則

Melnikov方法是基于攝動分析給出受到小擾動的可積系統出現橫截同宿(異宿)軌道的解析條件，作為預測系統出現混沌運動的必要條件.由龐加萊理論［5］知，如果Melnikov函數有簡單零點，則系統穩定流形與不穩定流形橫截相交，一旦相交就有無數次相交，吸引子的相空間發生形變，不停地伸縮與折疊，從而產生Smale馬蹄意義下的混沌.對于隨機系統，需要從概率或統計意義上討論隨機Melnikov過程是否具有簡單零點，因而有隨機Melnikov均方準則［10］.

對于噪聲擾動下的單自由度哈密頓系統，其運動方程為

式中:H=P2/2+U(q)，ξ(t)是隨機外激勵.設相應的哈密頓系統有一個被同宿軌道(q0(t)，p0(t))連接的雙曲鞍點.則式(7)的Melnikov過程為

式中:Q=q0(t)，P=p0(t).鑒于E［ξ(t)］=0，隨機Melnikov過程的均值為

顯然，當c(Q，P)＞0時，隨機Melnikov過程在均值意義上不可能有簡單零點，從而系統(7)在均值意義上不可能出現混沌.隨機Melnikov的均方值為

式中:

式(12)中的積分:

是一個卷積分，其中:

可看成一個脈沖響應函數.因此

式中:H(ω)是h(t)的Fourier變換，即頻率響應函數，Sξ(ω)為ξ(t)的譜密度.隨機Melnikov過程在均方意義上有簡單零點的條件，即系統出現混沌的準則為

下面利用該準則來分析船舶在隨機橫浪中的全局穩定性，將式(6)改寫成形如式(7)的2個一階微分方程的形式:

方程(17)是一個可積Hamilton系統，對于無擾動的系統ε=0，有

解上述微分方程，可得

式中:“+”代表異宿軌線的正軸部分，“－”代表異宿軌線的負軸部分，這條軌線是區分船舶靜水中安全與傾覆的界限.

式(17)的隨機Melnikov函數為

由式(11)得

由式(14)、(19)可得

將式(4)、(23)代入式(15)，即可計算出

3 算列分析

以一Patti-B型船為例［11］，計算該船在隨機橫浪中的全局穩定性，該船船型參數見表1.

表1 Patti-B型船船型參數Table 1 List of parameters for Patti-B

根據表1的參數，計算可得方程(6)的系數為εδ1=0.003 7，εδ2=0.067 2，α=3.135 5.由式(22)、(24)可確定出σ2d和σ2z，代人到式(16)隨機Melnikov均方準則，即可計算出該型船均方意義上的簡單零點條件為d1=0.005 6.即該船在有界噪聲激勵幅值小于0.005 6時運動穩定，而有界噪聲激勵幅值大于0.005 6時該船可能會出現不穩定的混沌運動，影響船舶的安全性.

由于Melnikov函數具有簡單零點只是隨機非線性系統出現混沌運動的必要條件而不是充分條件，為驗證該方法的正確性，分別選取有界噪聲幅值小于混沌臨界值和大于混沌臨界值的激勵，計算系統的安全池［12］來分析其隨機運動特性.圖2是當有界噪聲激勵幅值d1=0.005時的安全池，從圖2可以看出，當有界噪聲激勵幅值小于臨界值時，系統具有完整的安全池，說明此時的船舶運動是安全的，而當有界噪聲激勵幅值d1=0.007超過臨界值時，系統的安全池出現破損(見圖3)，說明此時船舶的運動是不安全的.

假設某船具有較大的阻尼系數，其εδ1=0.006，通過式(16)的計算可得其均方意義上的簡單零點條件為d1=0.006 1，對比Patti-B型船的計算數據可以看出，增大船舶阻尼可以增加船舶航行的安全域.

圖2 安全池(d1=0.005)Fig.2 Safe basin for d1=0.005

圖3 安全池(d1=0.007)Fig.3 Safe basin for d1=0.007

4 結論

該文從非線性隨機動力系統分岔的角度來探索船舶在隨機波浪中的奇異傾覆機理，通過隨機Melnikov對有界噪聲激勵下船舶隨機橫搖運動的全局穩定性進行了分析，得到了導致船舶運動穩性喪失的外激勵閾值，該文的研究表明:

1)可以采用有界噪聲模型近似模擬船舶在隨機橫浪中實際所受到的外激勵;

2)船舶在隨機橫浪中航行時，在隨機激勵幅值超過某一臨界值時，即會產生不穩定的橫搖運動而導致船舶傾覆，隨機激勵幅值的大小反映了船舶所在海域的惡劣程度，因此船舶應盡量避免在惡劣海況下行駛;

3)增加船舶的阻尼可以提高船舶航行的安全域.

該文的研究可為船舶在隨機海浪中的安全營運提供參考.

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