非線性半參數回歸模型中參數的經驗歐氏似然置信域*

方連娣

（銅陵學院文學與藝術傳媒系，安徽銅陵 244000）

考慮非線性半參數回歸模型:

其中f（.，.）為已知可測函數，g（.）是定義在［0，1］上的未知函數，（xi，ti）是在Rd×R上取值的可觀測隨機點列，εi是i.i.d.隨機誤差，其均值為零，方差σ2＜∞，β為待估計的p維參數向量.在模型（1）中，當f（x，β）=xτβ時，該模型即為部分線性回歸模型;當g（t）=0時，該模型即為非線性回歸模型;當f（x，β）=xτβ且g（t）=0時，該模型即為線性回歸模型.因此，模型（1）是一類非常廣泛的統計模型.

經驗似然是由Owen［1，2］提出的一種非參數統計方法，在構造置信域方面有很多突出的優點，Qin與Lawless［3］將該方法引入到半參數模型，并提出可用歐氏距離代替距離.羅旭［4］對半參數模型構造經驗歐氏似然函數，并討論了得到的參數估計的大樣本性質.由此，利用經驗歐氏似然方法構造了模型（1）中未知參數的經驗歐氏似然比統計量，在一定條件下，證明了所提出的統計量具有漸近χ2分布，并利用所得結果，構造了參數的漸近置信域.

1 主要結果

C7 對于t∈［0，1］，g（t）和hj（t，β）滿足一階 Lipschitz條件，1≤j≤p.

注:條件C1，C7是研究非參數所需的基本條件，C2，C6是研究非線性回歸模型的正則條件.

定理1 假設條件C1－C7成立，如果β為參數真值，則:

2 定理的證明

為證明定理，先給出下面兩個引理:

引理1 在定理1的條件下，當β是參數真值時，有:

對所有k=1，2，…，p均成立.

證明 類似于文獻［5］，由條件C1和C5及密度核估計的一致相合性可證式（4）成立，在利用Bernstein不等式可證式（5）和式（6）成立.

證明 利用定理條件和引理1，類似于文獻［5］即證.

定理1的證明 由引理2知:

由式（7）和式（8）知定理1成立.

［1］OWEN A B.Empirical likelihood ratio confidence intervials for a single function［J］.Riometrika，1988，75:237-249

［2］OWNG A B.Empirical likelihood confidence regions［J］.Ann Statist，1990，18（1）:90-120

［3］QIN J，LAWLESS J F.Empirical likelihood and general estimating equations［J］.Ann Statist，1994，22:300-325

［4］羅旭.半參數模型的經驗歐氏似然估計的大樣本性質［J］.應用概率統計，1994，10（4）:344-352

［5］馮三營.非線性半參數回歸模型中參數的經驗似然置信域［J］.數學物理學報，2009，29A（5）:1338-1349