一個關于函數不等式約束優化問題的算法

遲曉燕

（重慶師范大學數學學院，重慶 401331）

1 問題引入

2 問題近似

首先對函數不等式約束，應用與Jennings和Teo（1990）［1］相同的約束轉換.對每一個j=1，2，…，m，定義:

因為φj關于x和ω是連續可微的，max{φj（x，ω），0}是ω的連續函數，?x∈Rn，所以函數約束等價于:

方便起見，令問題（P）也定義為f（x）關于式（2）的極小化問題.令F為問題（P）可行域，定義:

進而，令int（F）定義為F的內部，即

接下來給出如下假設:

1）int（F）≠?;2）對問題（P）的最優解x*，存在一個參數向量∈int（F），使得α+（1－α）x*∈int（F），?α∈［0，1］.

一般來講，對每個j=1，…，m，Gj（x）在x處是光滑的，因此，標準優化方法來解這類等式約束是有一定困難的.下面采用光滑方法，用gi，ε（x，ω）來取代max{φj（x，ω），0}.

這種光滑化方法在以前的文章中已被采用過.對每個j=1，…，m，定義:

對任意j=1，…，m，gj，ε（x，ω）關于x是連續可微的.令:

易知:Fε?F，?ε ＞0.

現在定義一個近似問題（Pε，γ）.?γ ＞0，X∈θ，最小化費用函數:

以下結果保證了（Pε，γ）關于（P）的解的可行性.

定理 1 ?γ（ε）＞0［2］，使得對所有 γ ＞γ（ε），對問題（Pε，γ）的任何解也是問題（P）的可行點.

對所有x∈θ，固定xε∈Fε，由Gj，ε定義知，Gj，ε=0;j=1，…，m.因為 θ為緊的且f為連續的，存在一個∈θ，使得fˉ）≤f（x），?x∈θ.易知兩邊同時增加罰條件［3］，由xε定義和式（9）可得:

整理得:

令z=f（xε）－f（ˉ），則式（11）變形為

Jennings和 Teo已經給出了證明:?ε，?τ（ε），使得對所有 0 ＜ τ ＜ τ（ε），如果Gj，ε（x）＜ τ，則x∈F.因

3 算法

基于前面兩個結論，給出解決問題（P）的算法.

4 數值計算

以簡單的邊界形式給出普通等式約束［5］，0≤x1≤100，0.1 ＜x2≤100，0≤x3≤100.

應用以上算法，給出如下結果（表1）:

表1 計算結果

［1］JENNINGS L S，TEO K L.A computational algorithm for functional inequality constrained optimization problem［J］.Automatica，1990，126（2）:371-375

［2］BERTSKAS D P.Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods［M］.New York:Academic Press，1982

［3］BURKE J V.An exact penalization viewpoint of constrained optimization［J］.SIAM J.Control and Optimization，1991.29:968-998

［4］曾波，龍茜.無約束最大子序列求和改進算法［J］.重慶工商大學學:自然科學版，2007，24（6）:600-602

［5］LUENBURGER D G.Linear and Nonlinear Programming［M］.New York:Addison-Wesley，1984