互耦效應對四元方陣天線陣列信道容量的影響

李岳衡 趙 靜

(1. 河海大學計算機與信息學院,江蘇 南京 210098; 2. 東南大學移動通信國家重點實驗室,江蘇 南京 210096)

1. 引 言

多輸入多輸出(MIMO)技術具有極高的頻譜利用率，能在不增加帶寬的情況下成倍地提高通信系統的容量，且信道可靠性亦大為增強，是新一代無線通信系統采用的核心技術之一。Foschini等人通過系統的論述和仿真，推導出了MIMO系統的信道容量公式[1-2]，指出在陣列互不相關的情況下，信道容量隨收發端天線陣元最小個數增加而線性增大?；谀壳皬V泛研究的線性排列的天線陣列結構在來波平均到達角較大時信道容量會急劇下降的事實[3]，文獻[4][5]則論證了在不同的散射環境下一種結構呈均勻分布的圓陣具有更好的分集性能，但是隨著移動終端的日益小型化，天線陣列間間距隨之減小，此時天線陣列間本身的互耦效應已不可忽略，并進而對陣列的接收性能等產生一定的影響[6-9]。受以上研究成果的啟發，提出并分析一種具空間對稱結構的四元方陣在不同平均入射角環境下、尤其考慮陣元間存在互耦效應時的MIMO信道容量，且與傳統四元線性陣作容量性能方面的比較。之所以考慮四元方陣，一方面是為了利用空間對稱陣列的特性以消除來波角過大導致的信道容量波動(在下面的研究中將會看到此方面的明顯優勢)，另一方面也是充分利用Foschini等人的研究成果以在獲得較大信道容量的同時降低系統復雜度，從而開拓MIMO系統信道容量優化領域最優陣列分布的相關研究。

2. 互耦效應的數學描述

如圖1所示，兩個相互平行的半波偶極子間距為d，兩陣元A1、A2長度為2l；定義饋電點間的連接線為X軸，陣元A2的徑向為Y軸，點P與坐標零點相距為y。

陣元A1在A2上P點存在兩個相互垂直的電場分量E1和E2，且可以表示為[10]

(1)

圖1 平行偶極子陣元構造圖及電場分布

如圖1所示，在點P處沿Y軸方向的電場分布 E=E2

(2)

偶極子A2上的電流分布為

I2=Imsin[k(l-|y|)]

(3)

由互耦阻抗的定義[10]可得

z12=z21

(4)

sin[k(l-|y|)]dy

sin[k(l-|y|)]dy

(5)

文獻[11]對式(5)進一步簡化得平行偶極子互耦阻抗

z12=R+jX

(6)

偶極子的自阻抗為

z11=z22

=30×[0.577+ln(8πl/λ)-ci(8πl/λ)+

j·si(8πl/λ)]

(7)

四元陣列天線的互耦效應可以等效為如圖2所示的耦合網絡。由式(7)可知z11=z22=z33=z44；這里再假設zL1=zL2=zL3=zL4，由文獻[12]得耦合網絡傳輸系數矩陣

Cr=(zL1+z11)(ZL+Z)-1

(8)

式中：

圖2 陣列天線等效耦合網絡

3. 空域相關性與MIMO信道容量

如圖3右側所示的俯視圖，陣元A1、A2、A3和A4構成一正方形陣，各陣元與坐標零點的連接線長度都為R，且各連接線與z軸夾角分別為φ1、φ2、φ3和φ4(圖中僅標出了φ2)。正方形陣邊長為d，平面入射波的平均到達角為θ0，且來波角譜的概率密度為p(θ)。為方便后文比較，圖3左側亦同時繪出四元線性陣的陣元分布模型及入射波示意圖。

圖3 陣元分布模型及多徑入射波示意圖

3.1 不計互耦接收信號分析

根據圖3中正方形陣列分布，以坐標零點為相位考察點可得不計互耦條件下四元均勻方陣的接收信號向量為

fnc(θ) =(fnc1(θ)…fnc4(θ))T

(9)

式中，h1(θ)，…，h4(θ)為陣元A1、A2、A3和A4不計互耦時在俯仰面內的方向圖，這里假設天線單元是全向的，即h1(θ)=h2(θ)=h3(θ)=h4(θ)=1。ξ是方位角，由于只考慮俯仰面內的平面波，所以ξ=90°,因此，陣元An的接收信號分量可表示為

(10)

定義任意兩陣元m、n接收信號之間的相關系數為[13]

(11)

由式(10)可得不計及互耦效應時，陣元An的平均接收功率為

(12)

將式(10)和(12)代入式(11)可得不計互耦時，任意兩陣元m與n接收信號間的相關系數為

(13)

(14)

3.2 計及互耦接收信號分析

由式(8)和式(9)可得計及互耦后四元方陣接收信號向量為

fc(θ)=Cr·fnc(θ)

(15)

由公式(6)可知，天線陣元之間的互阻抗只與其間距d有關，考慮到正方形天線陣的空間對稱性，可定義耦合系數矩陣為

(16)

故由式(15)得陣元A1在計及互耦后接收信號標量為

(17)

(18)

由式(17)得計及互耦后陣元A1的平均接收功率為

=|a|2+2|b|2+|c|2+2Re[ab*ρnc(1,2)+

ac*ρnc(1,3)+ab*ρnc(1,4)+bc*ρnc(2,3)+

|b|2ρnc(2,4)+cb*ρnc(3,4)]

(19)

同理可得：

|b|2ρnc(1,3)+bc*ρnc(1,4)+ab*ρnc(2,3)+

ac*ρnc(2,4)+bc*ρnc(3,4)]

(20)

ca*ρnc(1,3)+cb*ρnc(1,4)+ba*ρnc(2,3)+

|b|2ρnc(2,4)+ab*ρnc(3,4)]

(21)

|b|2ρnc(1,3)+ba*ρnc(1,4)+cb*ρnc(2,3)+

ca*ρnc(2,4)+ba*ρnc(3,4)]

(22)

此時接收信號的相關系數為

(23)

3.3 信道容量分析

根據文獻[14]中提及的克羅內克(Kronecker)模型可得MIMO系統信道傳輸系數矩陣為

(24)

式中，ρT和ρR分別為發射和接收端陣列相關系數矩陣。為簡便起見，只考慮接收端陣列相關的情形，故假設發射陣列是互不相關的，即ρT是一單位矩陣，HW是高斯隨機矩陣，其元素服從N(0,1)的獨立同高斯分布。因此，由式(24)可得當不計和計及互耦效應時，MIMO系統信道傳輸系數矩陣為

(25)

最終，MIMO系統信道容量計算公式如下[1]

(26)

式中：I表示單位矩陣；γ表示各接收陣元的平均信噪比；Nt表示發射陣列數。由公式(26)可見，計及互耦效應下的MIMO信道容量C不僅與廣義信道矩陣H有關，陣元上的平均接收功率對其亦有很大影響，因此，應綜合考慮這兩個因素。

4. 數值計算

根據式(19)至式(22)可以計算出計及互耦效應時任意兩陣元間在不同來波角譜下的平均接收功率差異，圖4給出了來波角譜為均勻分布[13]

(27)

時陣元A1、A2間平均接收功率差異。由圖4可知，當平均到達角θ0=30°和60°時，平均接收功率差異隨間距d的增加將圍繞平衡點上下波動，且波動幅度越來越小。這是由于隨著d的增大，互耦所造成的方向圖的畸變越來越小，平均接收功率越趨向于平衡的緣故；當θ0=90°時，由式(13)、(14)得

2ρnc(3,4){Re[cb*]-Re[bc*]}

=0

(28)

此時平均接收功率差異為零，因此，陣元A1、A2的平均接收功率平衡。

進一步比較四元方陣與四元線性陣的信道容量性能。如圖3所示，B1、B2、B3和B4構成一四元線性陣，陣元間距也為d，來波分布與四元方陣一樣，對于四元線性陣的性能分析本文不再贅述，其細節可參閱文獻[3]。圖5給出了這兩種陣列結構在來波角譜為均勻分布下的信道容量比較。由仿真結果可知，當平均到達角較小(如θ0=30°)時，四元線性陣明顯優于四元方陣；不過隨著平均到達角的增大，線性陣信道容量下降很快。而四元方陣由于其特有的空域對稱性，信道容量波動并不明顯，具有很好的穩定性(參見圖5)。當平均到達角θ0增大到60°時，兩種陣列結構信道容量基本相當，再增大平均到達角θ0時，四元方陣將明顯優于四元線性陣。

圖4 陣元A1和A2平均接收功率差異

圖5 兩種陣列在來波均勻分布下的容量比較

5. 結 論

首先依據天線電磁學的基本理論及耦合網絡等效模型，結合四元方陣空域對稱結構，引入天線等效方向圖的概念，分析了互耦效應對陣元方向圖的影響，由此論證四元方陣陣元間的互補性，同時亦推導出互耦影響下陣列空域相關系數和平均接收功率的數學表達式，據此系統地分析了互耦效應對四元方陣MIMO系統信道容量的影響，并與目前普遍研究的線性陣列作信道容量方面的優劣比較。理論分析及仿真結果皆顯示：存在互耦效應影響下，四元方陣較四元線性陣列結構具有更加穩定的系統信道容量?？紤]到移動用戶的實際多角度散射環境，采用具空域對稱結構的四元方陣天線陣列，顯然在實際通信環境下更具信道容量方面的魯棒性。

[1] FOSCHINI G J, GANS M J. On limits of wireless communication in a fading environment when using multiple antennas[J]. Wireless Personal Commun., 1998, 6(3): 311-335.

[2] SHIU D S, FOSCHINI G J, GANS M J. Fading correlation and its effect on the capacity of multielement antenna systems[J]. IEEE Trans., Commun., 2000, 48(3): 502-513.

[3] 李 忻,聶在平. 天線互耦對MIMO無線信道性能的影響[J]. 電波科學學報, 2005, 20(4): 546-551.

LI Xin, NIE Zaiping. Effect of mutual coupling on the performance of MIMO wireless channels[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2005, 20(4): 546-551. (in Chinese)

[4] TSAI J A, WOERNER B D. The fading correlation function of a circular antenna array in mobile radio environment[C]∥ IEEE Global Telecommun., Conf., San Antonio, Texas, USA. 2001: 3232-3236.

[5] ZHOU J, XIAO D R, SASAKI S, et al. Analysis of circular antenna arrays with MRC in nakagami fading channels by approximate approaches[C]//IEEE Inter., Symp., on Microwave, Antenna, Propag., and EMC Tech., for Wireless Commun., Beijing, China, 2005: 99-103.

[6] GUPTA I J, KSIENSKI A K. Effect of mutual coupling on the performance of adaptive arrays[J]. IEEE Trans., Antennas Propag., 1983, Ap-31(5): 785-791.

[7] JANASWAMY R. Effect of element mutual coupling on the capacity of fixed length linear arrays[J]. IEEE Antennas and Wireless Propag. Lett., 2002, 1(2): 157-160.

[8] 伍裕江,聶在平. 一種新的互耦補償方法及其在DOA估計中的應用[J]. 電波科學學報, 2007, 22(4): 541-544.

WU Yujiang, NIE Zaiping. A new mutual coupling compensation method and its application to DOA estimation[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2007, 22(4): 541-544. (in Chinese)

[9] 郭 強,周希朗,張偉炯,等. 天線匹配對萊斯信道下緊湊MIMO系統性能的影響[J]. 電波科學學報, 2009, 24(6): 1009-1013.

GUO Qiang, ZHOU Xilang, ZHANG Weijiong, et al. Effect of antenna matching on compact MIMO system performance in Rician fading channels[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 24(6): 1009-1013. (in Chinese)

[10]ELLIOTT R S. Antenna theory and design[M]. New York: Wiley, 2003: 325-336.

[11]KRAUS J D, MARHEFKA R J. Antenna: For all applications, 3rd edtion[M]. New York: The Mcgraw-Hill Companies, 2006: 348-365.

[12]SAVANTESSON T, RANHEIM A. Mutual coupling effects on the capacity of multielement antenna systems[C]∥ IEEE Inter., Conf., on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Salt Lake City, USA, 2001: 2485-2488.

[13] WALDSCHMIDT C, HAGEN J V, WIESBECK W. Influence and modeling of mutual coupling in MIMO and diversity systems[C]// IEEE Antennas and Propag. Soci. Inte. Symp., 2002: 190-193.

[14] YU K, BENGTSSON M, OTTERSTEN B, et al. Modeling of wide-band MIMO radio channels based on NLOS indoor measurements[J]. IEEE Trans. on Veh. Tech., 2004, 53(3): 655-665.