基于五維混沌系統的數字圖像加密算法

王曉飛，王光義

(杭州電子科技大學電子信息學院，浙江杭州310018)

0 引言

隨著以計算機和網絡通信技術為代表的信息技術的不斷發展和飛速普及，信息安全已經成為阻礙經濟持續穩定發展和威脅國家安全的一個重要問題，對信息進行加密是用來保證信息安全的一種必要手段［1，2］。近年來的研究表明，利用混沌信號可以構造出優良的加密系統。但是以往的混沌加密技術大都基于低維混沌系統，而低維混沌加密系統存在參數和變量少，密鑰空間小，抗破譯能力差，安全性不高的缺點。進幾年，不斷有研究學者提出來新的五維混沌系統，基于五維混沌系統的圖像加密算法，目前還比較少，文獻3中提出來一種行列置亂和象素加密的五維超混沌系統加密算法。而本文采用全局置亂和分塊象素加密的方法，具有更高的算法復雜度，實驗表明該算法具有良好的加密效果，密鑰空間大，抗攻擊力強，加密圖像象素值分布隨機，具有較高的安全性。

1 五維混沌系統

文獻4提出了五維混沌系統:

當 k1= －1，當 k2= －2 時系統的 Lyapunov指數分別為 λ1=1.276 95，λ2=0，λ3= －0.984 16，λ4=－2.596 86，λ5=－19.697 8，式1有一個正的Lyapunov指數，因此該五維系統是一個混沌系統。

2 加密算法設計

假設原始圖像大小為M×N，設計如下加密算法，由置亂和替代兩個階段完成。

2.1 置亂算法設計

(1)產生混沌序列。給定五維混映射的初值，迭代時間步長，采用四階五階Runge-Kutta算法解式1得到5個長度為M×N的混沌序列X(i)。

(2)從上述五維混沌序列中選取其中的一維混沌序列X(i)，將X(i)按照從大到小的順序排列成有序列E(i)，由于混沌序列的無周期性，可知X(i)中的任一元素Xi與E(i)中唯一的元素Ei對應，可以用另一索引矩陣H(i)記錄Ei在X(i)序列中的位置i，如圖1所示。

圖1 索引矩陣生成示意圖

(3)將原始二維明文圖像轉化成一維?？砂凑盏湫偷亩S行程編碼排列方式將原始明文二維圖像轉化成為一維數組N1。

(4)對照索引矩陣H(i)和下式將N1中的元素映射到一維矩陣N2中，完成對一維數組N1的置亂。

(5)按照步驟2的逆過程，將N2由一維轉化成二維，生成新的置亂后的圖像I。

2.2 替代算法設計

(1)在另外4個長度為M×N的混沌序列分別取出長度為(M×N)/4的Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列，其中 i=1，2，3，…，(M ×N)/4。取 Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列中的每個元素進行變換如:

式中，f()表示向0取整，abs()表示求絕對值，mod()表示求余數，新生成的矩陣Y(i)即為加密序列。

可以取出序列中每個元素小數點后的3位數字組成整數。將該整數與256的余數覆蓋原來序列中該位置的數據如:

至此上述四個序列中的元素值都介于［0，255］之間。

(2)按照置亂算法中步驟2的逆過程，將得到的新的Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列轉化成二維的矩陣 Y，Z，U，V。

(3)將置亂后的圖像 I平均劃分成4塊I1，I2，I3，I4，如圖2所示:

圖2 置亂后圖像I的分割方法

(4)將I1，I2，I3，I4中的元素值與Y，Z，U，V中相同位置元素進行異或運算，對象素值進行替代加密如:

式中，I'(x，y)表示加密后的密文象素值，I(x，y)表示置亂后第一塊區域象素值，⊕表示異或運算。

(5)將進行異或得到的圖像重新拼接成完整的密文圖像，至此完成加密的全過程。

圖像的解密算法是加密算法的逆過程，在確定系統初值和積分步長后，按照加密算法的逆過程即可解密，在此不再詳述。

3 算法仿真實驗

利用Matlab7.0平臺，圖像大小為256×256，灰度級L=256的Lena圖像進行實驗(M=256，N=256)，取五維混沌系統的初值分別為 x0=0.835 462，y0=1.752 356，z0=0.643 875，u0=0.957 612，v0=0.417 893，積分步長為0.001，采用四階五階Runge-Kutta算法解微分式1，按照加密步驟進行加密，結果如圖3所示。

圖3 加解密前后對比

由圖3(c)、(e)可知，加密后的圖像完全看不出原始明文圖像的輪廓，而正確解密的圖像與明文圖像沒有差別，由此可知圖像的加解密效果良好。由圖3(b)、(d)加密前明文圖像的象素值分布數目不均勻，而加密后密文的象素值均勻分布在［0，255］范圍內，所以明文的統計特性擴散到了密文的均勻分布中，大大降低了明文象素值之間的相關性，能夠良好的抵抗統計分析。

4 密鑰敏感性測試

本文提出的解密方案對初始參數的敏感性，以及這些參數可以用來作為密鑰的假設，都得到了驗證，如圖4所示:

圖4(a)是將解密方案中的五維混沌系統初值x0=0.835 462改為x0=0.835 462 000 001，而其余參數均保持不變的情況下得到的解密圖像，圖4(b)是其對應的灰度直方圖。

圖4 密鑰敏感性測試

5 結束語

本文提出來一種新的基于五維混沌系統序列的圖像加密算法，該算法中的圖像全局置亂和分塊加密均基于五維混沌系統。仿真實驗和分析表明，該算法密鑰空間大，抗攻擊力強，密文圖像象素值分布隨機，可以有效的抵御統計分析攻擊，具有較高的安全性。

［1］ Cheng Howard，Li Xiaobo.Patial encryption of compressed images and vides［J］.IEEE Transcations on Signal Processing，2000，48(8):2 439 －2 551.

［2］ Dang P P，Chan P M.Image encryption for secure Internet multimedia applications［J］.IEEE Transcations on Consumer E-lectronics，2000，46(3):395 －403.

［3］ 王玉惠，陳哨東.基于五維超混沌系統的全球信息柵格圖像加密算法［J］.吉林大學學報，2010，29(1):51－56.

［4］ 韓峰，唐駕時.一個五維受控混沌系統的動力學行為［J］.動力學與控制學報，2010，8(3):205－209.

［5］ 李鵬，田東平.基于超混沌序列的數字圖像加密算法［J］.微電子學與計算機，2008，25(3):4－7.