偏心有限長大間隙環流的動特性研究

孫啟國

(北方工業大學 機電工程學院，北京 100144)

轉子動力學特性的研究一直是力學學科的研究熱點之一［1，2]。Antunes 等［3，4]基于整體流動模型和 Hirs壁面摩擦系數方程，用解析方法研究了大間隙環流中偏心轉子的靜特性和動特性。作者基于整體流動模型和更為合理的Moody壁面摩擦系數方程，建立的大間隙環流中轉子運動的力學模型，采用數值方法分析了大間隙環流中同心和偏心轉子的靜特性和動特性［5－7]。然而，以上研究均做了“無限長”大間隙環流的假設，即忽略了沿軸向變量變化的影響。這種假設僅適合于無軸向流動的大間隙環流。因此，后來作者計入了大間隙環流軸向壓差等因素的影響，研究了同心有限長大間隙環流的動特性系數［8]。本文基于作者建立的大間隙環流中轉子運動的力學模型，用攝動法推導了有限長偏心大間隙環流流場非線性控制方程的零階攝動方程，該方程是一個非常復雜的三維偏微分方程組，其求解難度較大。本文提出了一種簡化方法，該方法基于同心有限長大間隙環流的動特性系數［8]來計算三維偏心有限長大間隙環流的動特性系數。最后應用該方法對偏心有限長大間隙環流的動特性進行了分析。

1 理論分析

基于紊流整體流動模型和Moody壁面摩擦系數方程，作者建立了大間隙環流中轉子運動的力學模型，從而得到大間隙環流流場3D非線性微分方程組［5]:

式中:θ和z是周向和軸向坐標;r是轉子半徑;ω是轉子轉速;ρ是流體密度;μ是流體動力粘度;p是流體壓力;u是流體速度;h是流體膜局部厚度;t是時間;下標θ，z，r和s表示周向、軸向、轉子和靜子變量;fr和fs是轉子和靜子Moody壁面摩擦系數，

式中:c1，c2和 c3是 Moody實驗常數，c1=0.001 375，c2=1×104，c3=5×105;e是壁面粗糙度。

圖1為有限長大間隙環流中偏心渦動轉子的結構和運動示意圖，其中O1為靜子中心，O為轉子軸心，O2為轉子擾動中心，r0為轉子擾動半徑，動態時O繞O2做小擾動。

圖1 有限長大間隙環流中偏心渦動轉子Fig.1 Eccentric whirling rotor in a finite-length large gap annular flow

令ε*為轉子軸心O在擾動中心O2附近攝動的攝動變量，將h=h0+ε*h1，代入式(1)～式(3)中，得到零階攝動方程:

式中:z和θ是方向坐標;下標“z”和“θ”表示z和θ方向變量;該偏微分方程組出現了周向偏導數項和，給求解帶來了一定困難，對于復雜的一階攝動方程更是難以求解。對于同心有限長大間隙環流，其零階攝動方程經式(4)－(6)可簡化為常微分方程組，求解零階攝動方程組和一階攝動方程組，可以求得同心有限長大間隙環流的動特性系數，請參見文［8] 。

針對以上方程組求解的困難，本文提出了一種簡化的數值計算方法求解偏心有限長大間隙環流的動特性系數，其基本思路為:設在x方向擾動位移為x，流體激振力可用下式表示:

將大間隙環流圓周平分N份，如圖2所示，流體激振力可用N段合力表示:

圖2 有限長偏心大間隙環流轉變為N個間隙為hi的有限長同心大間隙環流Fig.2 N finite-length concentric large gap annular flows that the gap equals hi got from a eccentric one

式中:C是待定常數，K(Φi)和k(Φi)為Φi位置上同心大間隙環流(同心大環流間隙為hi)的主剛度和耦合剛度。當N→∞時，

在同心時K(Φi)和k(Φi)不隨Φi變化，其值等于Kxx和 Kxy，代入式(9)得 C=1/π，所以，

同理，得到:

采用同樣的方法，得到另外八個系數:

2 數值計算

2.1 與已有結果的比較

基于以上基本思路，采用采用Simpson數值積分方法計算了偏心有限長環壓密封動特性系數并與Kanki［9]的實驗結果和 Andres［10]的數值結果進行了比較，如圖3所示。其主要計算參數為:er/(2h0)=es/(2h0)=0.0，l=D=0.2 m，ΔP=9.8 × 105Pa，C/r=0.005，ω=2 000 r/min。由圖3可見本文的計算結果與Andres的數值計算結果在多數計算點上吻合較好。例如當偏心率為0.5時，剛度系數 Kxx，Kyy，Kxy，Kyx的相對誤差分別為42%，27%，16%，7%;阻尼系數 Dxx，Dyy，Dxy，Dyx的相對誤差分別為 6%，3.7%，9.6%，0%;慣性系數 Mxx，Myy，Mxy，Myx的相對誤差分別為2.6%，0.3%，1.4%，8.7%與 Kanki的實驗結果在許多測點上也有較好的一致性。例如當偏心率為0.45 時，剛度系數 Kxx，Kyy，Kxy，Kyx的相對誤差分別為73%，12%，6.7%，24.9%;阻尼系數 Dxx，Dyy，Dxy，Dyx的相對誤差分別為28%，14%，18%，16%;慣性系數Mxx，Myy的相對誤差分別為33%，36%。

圖3 本文計算結果與已有數值計算結果和實驗結果的比較Fig.3 Present results comparing with the existing numerical and experimental results

2.2 實例分析

本文以某浸在水中的離心泵轉子作為實例研究對象，分析偏心有限長大間隙環流的動特性。主要計算數據為:流體密度 ρ=1.0×103kg·m－3，轉子半徑r=0.1 m，環流間隙 h0=1.01 ×10－2m，入口損失系數ξ=0.1，轉速 ω =6.0 ×103r/min，轉子表面相對粗糙度er/(2h0)=1.0 × 10－3，靜子表面相對粗糙度es/(2h0)=1.0×10－3，流體粘度 μ =1.3 ×10－3N·s/m2，入口壓力 pi=3.0 ×106Pa，出口壓力 p0=0.0 Pa，環流長度l=5.8 ×10－2m，進口相對旋轉速度 uθi/(rω)=0.2。

計算中先采用文［8] 的計算方法，求得同心有限長大間隙環流的動特性系數，然后采用上述簡化的數值計算方法求得偏心有限長大間隙環流的動特性系數。

圖4給出了一組不同偏心率下偏心有限長大間隙環流動特性系數的變化曲線?？梢娖拇箝g隙和同心大間隙環流的動特性系數［8]有許多相同與不同點，偏心大間隙環流動特性系數與靜偏心有關，系數矩陣的主項不再相等，耦合項也不再反向對稱，特性系數主項隨著偏心率的增加而呈不同程度的指數增加。例如在偏心率ε從0.0變化到0.9時主剛度由－6.95×104N/m增加到1.93×106N/m，主阻尼項和主質量項也分別增加了約100%和300%。說明偏心有限長大間隙環流動特性系數在大偏心下會增大。

圖4 不同偏心率下有限長偏心大間隙環流的動特性系數Fig.4 Dynamic coefficients of a finite-length large gap annular flow under different eccentricity ratio

3 結論

(1)本文提出了基于同心有限長大間隙環流的動特性系數計算偏心大間隙環流的動特性系數的數值計算方法。該方法具有簡單方便等優點。本文的計算結果與已有數值計算結果比較表明，在多數計算點上兩者吻合較好;與已有實驗結果比較表明，在許多測點上兩者也有較好的一致性。

(2)有限長大間隙環流動特性系數不具備主項相等，耦合項大小相等、符號相反的特點，特性系數主項隨著偏心率的增加而呈不同程度的指數增加。在大偏心情況下有限長大間隙環流中轉子動特性系數會增大。

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