基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋內波模擬研究

李娟，顧行發，余濤，孫源，郭丁，徐京萍，董文

（1.中國科學院遙感應用研究所 遙感科學國家重點實驗室，北京100101；2.國家航天局 航天遙感論證中心, 北京100101）

基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋內波模擬研究

李娟1,2，顧行發1,2，余濤1,2，孫源1,2，郭丁1,2，徐京萍1,2，董文1,2

（1.中國科學院遙感應用研究所 遙感科學國家重點實驗室，北京100101；2.國家航天局 航天遙感論證中心, 北京100101）

主要是利用非線性發展方程豐富的解析解，基于含有散射項和微擾項的Korteweg-de Vries方程對臺灣東北部東海海域內波的傳播特性進行研究，并著重分析海洋內波在SAR圖像上的信號特征，進而討論耗散項和微擾項對海洋內波所引起的表層流速變化的影響。

海洋內波；Korteweg-de Vries方程；解析解

Abstract: Utilizing the abundant analytical soliton solutions of nonlinear evolution equation, the propagation characteristics of the internal waves in the northeast of Taiwan in the East China Sea have been investigated based on the Korteweg-de Vries equation including the dissipative and perturbed terms.In a two-layer ocean system, the variation of signature characteristics for the internal wave on SAR image have been discussed.The effects of dissipative and perturbed terms on internal waves and horizontal velocity of the ocean surface current has been presented.

Keywords: ocean internal wave; Korteweg-de Vries equation; analytical solutions

在穩定層化的海洋與大氣地球流體中，流體由于受到擾動可激發內波，故內波一般都發生在流體內部。密度穩定層化不僅是內波存在的必要條件，而且其強度對內波的頻率和速度均有影響，一般強度越小，頻率越低，傳播速度越小。據研究資料表明，盡管海洋內波產生于海洋內部分層界面，但與表面波相比它具有更大的破壞力，對海洋運輸、潛艇、石油鉆井機和水下通訊均有很大影響。

在過去的幾十年間，世界各國的科學家利用各種不同的方法對海洋內波特性進行了較廣泛的研究，并取得豐碩成果，包括海洋內波的激發、傳播和消衰。1992年在Long Island 附近海域進行了美-俄聯合內波實驗（Joint U.S.-Russia Internal Wave Experiment，JUSREX），獲取了豐富的同步機載和星載衛星數據[1]。1979年Maxworthy通過實驗室水槽實驗，對Lee波激發機制進行了驗證[2]。通過在Korteweg–de Vries（KdV）方程中增加地形效應、旋轉分量、徑向傳播等效應，Liu等人對Sulu海與New York灣的海洋內波的傳播特征進行了研究[3-4]。利用數百幅海洋內波遙感圖像，Liu和Zhao等人繪制出中國南海北部海洋內波的空間分布圖，發現這些海洋內波大都是由呂宋海峽激發并向西傳播[5-6]。

目前，大多是采用實測資料分析、實驗室實驗、數值模擬和遙感圖像分析等方法對海洋內部進行研究，而在此方面取得的豐碩解析成果卻沒有引起人們的重視，特別是在海洋內波的數值模擬研究中，基本是采用數值解和基于海洋內波的 SAR成像過程開展研究，即流體動力學調制、波致流場對表面微尺度波的調制、雷達波與表面微尺波的相互作用[7-9]。KdV方程作為孤子理論中的一個重要的模型，通過有效的研究方法，如逆散射方法、Painlevé 分析、AKNS 方法、B?cklund 變換、Darboux 變換、Hirota 方法、齊次平衡法、Tanh 函數展開法和Jacobi橢圓函數展開法等，關于該方程的解析研究已取得豐碩成果[10-11]。

本文將研究帶有耗散項與微擾項的廣義變系數KdV模型，其形式如下：

式中：u(x, t)表示非線性波的振幅，是變量x和t的解析函數，f(t)≠0，g(t)≠0，l(t)和 h(t)為實的解析函數，分別對應于非線性項、色散項、耗散項和微擾項。該模型在淺水波、動脈機制、不可壓縮玻色氣體和玻色愛因斯坦凝聚中均有著廣泛應用。如文獻[10]所示，方程（1）在滿足一定的約束條件下是可積的，即在Painlevé約束條件

下具有自-B?cklund變換、雙線性變換、多孤子解和Lax對等性質，其中c1和c2是兩個任意的實常數且滿足+≠0。利用豐富解析解，本文將基于方程（1）對海洋內波進行模擬研究，并著重分析海洋內波在 SAR圖像上的信號特征和由內波所引起的海洋表層流速變化。

1 變系數KdV方程

需要注意的是，約束條件（2）中的 c2是否為零，對模型（1）的解及 Lax對具有較大影響。當f(t)=α，g(t)= β，l(t)=κ和h(t)=0時，方程（1）則退化為：

方程（3）可用于描述分層水體結構中海洋內波的傳播，其中 α=3κ(h1-h2)/2h1h2，β=κh1h2/6 和κ={gΔρh1h2/[ρ0(h1+h2)]}1/2分別是非線性項、色射項和線性波速的系數，g是重力加速度，ρ0是海水的平均密度，Δρ是上下分層的密度差。在h1＜h2時，方程（3）具有下降型孤子，而在 h1＞h2則為上升型孤子。

在約束條件（2）下，關于方程（1）的眾多可積性質已被廣泛研究，包括多孤子型解。如文獻[10]所示，在c2=0和c1=1/δ時，變系數KdV模型（1）的單孤子型解為：

式中：12η2e-∫h(t)dt/δ和1/η分別代表孤波的振幅和波寬，δ為不為零的常數，孤波的速度是不斷變化的，而波形在傳播中卻保持不變。由（2）式可知，方程（3）同樣滿足 Painlevé約束條件，因此具有多孤子解。

2 海洋內波仿真模擬

盡管微波只能穿透海面以下幾厘米的海水深度，而且海洋內波一般都發生在深度為幾十米的海洋內部，但由其引起的海洋內部流場及表層流速的變化可在海洋表面可形成輻聚和輻散現象，而變化的流場又對海洋表面微尺度波產生調制，進而SAR通過雷達波與表面微尺度波的相互作用進行觀測，并能探測淺海海底地形等?；诤Ｑ髢炔ǖ?SAR成像機理：流體動力學調制、波致流場對表面微尺度波的調制、雷達波與表面微尺波的相互作用[12-15]，下面將給出基于方程（3）的海洋內波SAR成像模擬算法。

在密度穩定層化的海洋中，方程（3）的上升型海洋內波所引起的海洋表面波的水平流速為：

式中：下標i=1,2表示內波數，而j=1,2則分別對應層化流體上層和下層的水平流速。從（5）式可以看出，上層的表面波流速與內波的傳播方向相反，而下層流速則與內波傳播方向相同。同理，可以得到由下降型海洋內波引起的海洋表面波的水平流速，并且具有和（5）式同樣的性質。對于入射角在200-700范圍內的典型的SAR而言，海面的雷達后向散射以Bragg散射為主，因此Δσ0和的關系可表示為：

上式即為海洋內波進行SAR成像模擬的公式。

2.1 分層海域內波SAR仿真模擬

對于方程（3），在臺灣省東北部東海海域，假定海水的層化結構參數為：海洋平均密度常數?ρ/ρ=10-3，最初的海水深度 h=160 m，混合層深h1=60 m, 最初的底層深h2=100 m，最終的底層深為40 m[5].如圖1（a）所示，在初始海區，下降型海洋內波隨時間的發展可保持波形和速度的不變，圖1（b）則給出該海洋內波在SAR圖像上的信號特征，即明暗相間的條紋。作為對比，在最終的海域則可以看到上升型海洋內波的傳播過程（見圖2），同樣可保持振幅、波形和速度不變，而其在SAR圖像上的信號特征則是暗亮相間的條紋。

圖1 （a）下降型海洋內波（參數為η=4 m, h1=60 m和h2=120 m）（b）下降型海洋內波在SAR圖像上的信號特征（參數為γ=0.5, μ=0.025 s-1和φ=600）Fig.1 (a)The depression internal wave profile with η=4 m, h1=60 m and h2=120 m, (b) the signature characteristic of the depression internal wave in SAR image with γ=0.5, μ=0.025 s-1and φ=600

圖2 上升型海洋內波和其在SAR圖像上的信號特征（其中參數除h1=60 m和h2=40 m外其它全部和圖1的參數一致）Fig.2 The elevation internal wave profile and signature characteristic of this wave in SAR image with the same parameters as in figure 1 except that h1=60 m and h2=40 m

2.2 非行波海洋內波仿真模擬

當方程（1）中的系數全為常數時，可得到波形與速度都不發生變化的海洋內波如圖1和 2所示。當解中的參數與系數函數不都取常數時，可得到波形或速度變化的非行波解。

2.2.1 耗散項 l(t)ux對海洋內波波形的影響 當η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=3/8sin(t/8)和h(t)=0時，方程（1）具有非行波解，即非行波海洋內波。圖3（a）展示了耗散項l(t)ux對上升型海洋內波速度的影響，從中可以看出，此時的速度是隨著內波的傳播而不斷變化。關于非行波的海洋內波 SAR成像機制研究尚未成熟，故無法較精確地描述其在SAR圖像上的信號特征。借鑒行波海洋內波的研究理論，本文只對由非行波海洋內波引起的海洋表層流速的變化進行模擬。如圖3（b）所示，海洋內波的振幅一直保持不變，而速度則隨時間發生周期性變化，由于只是上升型內波所引起的表層流速變化的模擬，故圖3（b）上的信號特征則是明暗相間的條紋，與在SAR圖像上的特征相反。圖4則描述了耗散項對下降型海洋內波傳播特征的影響，傳播速度隨時間變化，引起的表層流速的變化為暗亮相間的條紋。

圖3 上升型非行波海洋內波和所引起的海洋表層流速變化的模擬Fig.3 The elevation non-traveling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current

圖4 下降型非行波海洋內波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中除δ=-6外其它參數與圖3中的一致Fig.4 Depression internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 3 except that δ=-6

2.2.2 微擾項 h(t)u對海洋內波波形的影響 當h(t)≠0時，微擾項將影響海洋內波的振幅。圖5（a）和 6（a）分別給出微擾項h( t) u對上升型和下降型內波振幅的影響，即內波的振幅隨時間不斷發生周期性變化。圖5（b）和 6（b）同樣描述了由上升型和下降型內波所引起的海洋表層流速的變化特征，即分別為亮暗相間和暗亮相間條紋。從圖5和 6可以看出，在振幅最大時，條紋最亮，而振幅最小時條紋最暗。

圖5 上升型非行波海洋內波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中參數為η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0和h(t)=sin(t/8)/8Fig.5 Elevation non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0 and h(t)=sin(t/8)/8

圖6 下降型非行波海洋內波和所引起的海洋表層流速的模擬，其中除δ=-6外其它參數與圖5中的一致Figure 6 Depression non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 5 except that δ=-6

3 總 結

本文主要是基于含有耗散項和微擾項的變系數 KdV方程對海洋內波的傳播特征進行了模擬研究。當方程（1）中的系數全為常數時，基于解析孤子解對臺灣東北部東海海域的上升型和下降型海洋內波及其在SAR圖像上的信號特征進行模擬，同時討論了耗散項和微擾項對海洋內波波形和速度及所引起的海洋表層流速變化的影響?？梢钥闯瞿M的海洋內波在 SAR圖像上的特征同已有衛星數據比較一致，但由于實測數據和海洋環境參數，故只能對海洋內波進行定性分析而無法量化討論。希望本文的研究能夠對 SAR圖像的分析提供一定的參考，為進一步的海洋內波定量模擬奠定基礎。

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Simulation investigation on the internal wave via the analytical solution of Korteweg-de Vries equation

LI Juan1,2, GU Xing-fa1,2, YU Tao1,2, SUN Yuan1,2, GUO Ding1,2, XU Jing-ping1,2, DONG Wen1,2

(1.State Key Laboratory of Remote Sensing Science, Jointly Sponsored by the Institute of Remote Sensing Applications of Chinese of Sciences Academy and Beijing Normal University, Beijing 100101, China，2.Demonstration Centre，Spaceborne Remote Sensing National Space Administration, Beijing 100101, China)

P731.24

A

1001-6932(2011)01-0023-06

2010-02-04；收修改稿日期：2010-05-22

中國科學院遙感應用研究所、北京師范大學遙感科學國家重點實驗室開放基金資助項目（編號：O8Y01563KZ）；中國科學院知識創新工程重要方向項目∶ 航天遙感圖像仿真模擬關鍵技術研究（kzcx2-yw-303）；中國博士后科學基金（編號：2008-0440555）。

李娟(1978-),女,山東,博士后,助理研究員,主要從事海洋內波傳播特性研究。電子郵箱：jlirsa@gmail.com。