PCHD系統的參數鎮定

陳 寧，戴佳陽，郭宇騫，桂衛華，熊絲琦

（中南大學信息科學與工程學院，410083 長沙）

PCHD系統的參數鎮定

陳 寧，戴佳陽，郭宇騫，桂衛華，熊絲琦

（中南大學信息科學與工程學院，410083 長沙）

采用無源性的控制方法研究了端口受控耗散哈密頓(PCHD)系統的參數鎮定問題.對于含未知參數的PCHD系統，根據無源特性設計控制器使閉環系統的平衡點隨參數漂移時，仍能保持穩定.所設計的控制器的結構與原系統結構相同，這樣不僅使得閉環系統保持耗散結構而且使得閉環能量分布隨參數的漂移而變化，且總在平衡點處達到極小，從而建立PCHD系統參數穩定性.以勵磁系統為例，分析了該系統參數變化對平衡點的影響，設計了使勵磁系統參數穩定的控制器，仿真例子證明了設計的有效性.

參數穩定性;Hamiltonian結構;參數鎮定;無源性控制

參數穩定性的定義是由M.Ikeda等［1］首次提出.在研究含擾動參數的 Lotka-Volterra模型時，發現參數變化時會影響系統平衡點的穩定性，所以提出傳統分析非線性系統穩定性的方法中僅考慮平衡點的穩定性是不符合實際的，進而提出了參數穩定性的概念.研究穩定性的傳統分析方法是假設系統的平衡點在全部參數變化范圍內始終不變，在這樣的假設基礎之上進行平衡點穩定性的研究.實際上，在大部分非線性系統中，參數的不確定性會對系統的結構產生影響，導致系統平衡點的漂移或消失［2－4］，甚至有可能會使得系統不穩定.所以忽略參數漂移的對系統影響的假設是與實際不相符的，在考慮平衡點穩定性的同時有必要考慮參數變化對平衡點存在性的影響.以勵磁系統為例，勵磁系統是一個具有非線性性質和不確定參數的實際工程系統.在勵磁系統中，不確定參數的變化導致系統平衡狀態發生改變的現象給系統的分析和控制系統的設計帶來了許多困難.因此，考慮勵磁系統中參數的影響是很有必要的.

近年來，有許多學者研究參數穩定性并取得了一系列的成果.Y.Ohta等［5］研究了具有參數不確定特性的非線性系統的參數2次穩定性問題;A.I.Zecevic 等［6］研究了一類具有全局 Lipschitz條件的非線性系統的參數鎮定問題，通過改良的非線性矩陣不等式方法求得了系統在參數漂移時的參數穩定區域，并與分析增益調度方法做了比較;T.Wada 等［7－8］研究了單輸入/單輸出的不確定參數和定常參考輸入的Lurie系統，分析了Lurie系統在含參數擾動輸出情況下，擾動參數在其鄰域內變化時對平衡點位置和穩定性的影響，并將參數穩定性的概念擴展到上述Lurie非線性控制系統中，提出了參數絕對穩定性的定義.同時還研究了多變量的Lurie系統的參數絕對穩定性問題，求得了保持平衡點全局漸近穩定的非線性矩陣不等式(LMI)條件并且確保了系統平衡點的存在性;G.Silva等［9］提出了一類具有奇異擾動系統的參數絕對穩定性問題.以上方法主要采用Lyapunov函數來研究參數穩定性，關于非線性系統的參數穩定性的研究還遠遠不夠深入.

相比Lyapunov函數方法，基于無源性控制(PBC)在非線性系統研究中得到了越來越多的關注［10－13］.基于無源性控制的優點是，對于具有耗散結構的系統的能量分布將隨著未知參數的漂移而自動的改變，只要求解控制器使得閉環系統滿足耗散結構，且能量函數總在未知參數對應的平衡點處取得極小值，這樣就實現了參數不確定系統的參數鎮定問題，相比Lyapunov方法不用求解復雜的LMI方程.由于Hamiltonian系統能方便地刻畫出非線性系統的結構，可以通過一些方法使得Hamiltonian系統具有耗散結構，然后通過無源性控制求解系統的控制器.因此，它是研究參數穩定性的比較適合工具之一.Hamiltonian系統的控制方法被廣泛應用到實際工程的控制設計中，尤其是力學系統、電力系統及電機調速方面.如基于耗散Hamiltonian方法電力系統自適應控制［14］等等.

本文研究含參數的PCHD系統的參數鎮定問題，即設計控制器使PCHD系統的平衡點隨參數漂移時，仍能保持穩定.首先基于系統無源特性設計了狀態反饋控制器，實現PCHD系統參數鎮定.然后，以勵磁系統為例，分析了參數變化對勵磁系統平衡點的影響，采用與原系統相同結構的狀態反饋控制器對閉環系統能量進行整合，使得閉環系統的能量函數在未知參數對應的平衡點處取得極小值，從而實現勵磁系統參數鎮定.最后，數值仿真結果說明了設計的控制器是有效性的.

1 問題描述

考慮如下含參數的PCHD系統為

式中:J(x，θ)為反對稱矩陣;R(x，θ)為正定或半正定矩陣.其中:x∈R是狀態向量;θ∈Rl是任意參數;u是輸入;y是輸出;H(x，θ)為Hamiltonian函數.

由于PCHD系統(1)是耗散系統，滿足能量平衡方程

根據無源性的定義［15］，可以知道如果系統(1)的Hamiltonian函數H(x，θ)非負，則系統(1)是無源的.

中不包含其他非平凡解，則x*(θ)是系統(1)的漸近穩定平衡點.

假設對于一個標稱參數值θ=θ*∈Rl時，系統(1)存在一個穩定的平衡狀態x*∈R.若存在參數θ*的一個鄰域Ω(θ*)?Rl，使

1)對任意的θ∈Ω(θ*)，存在一個平衡點xe(θ)∈R;

2)對任意的θ∈Ω(θ*)，平衡點xe(θ)是穩定的;

則稱系統(1)關于參數 θ是參數穩定的，且xe(θ*)=x*.如果對于任意的鄰域 Ω(θ*)，存在θ∈Ω(θ*)使系統(1)不存在平衡點，或者系統(1)存在平衡點xe(θ)但它是不穩定的，則稱系統(1)是參數不穩定的.

由上述參數穩定性定義可知，對于含參數的PCHD系統(1)，只要使得在參數漂移的時候H(x，θ)隨著平衡點的漂移能對平衡點保持正定，且系統(1)存在唯一的平衡點，則系統(1)參數穩定.

本文的目標是針對系統(1)，設計狀態反饋控制器u=a(x，θ)，使得由該控制器和系統(1)構成的閉環系統參數穩定.

當控制器u=a(x，θ)需要滿足一定的結構約束條件，才能夠將系統(1)的Hamiltonian函數H(x，θ)整合為閉環系統(2)Hamiltonian函數Ha(x，θ).

2 基于無源性的PCHD系統參數鎮定

本文在一定條件下通過狀態反饋u=a(x，θ)可以得到閉環系統(2)，從狀態反饋的觀點看，可以通過滿足

的狀態反饋u=a(x，θ)得到閉環系統(2).引理1［10］對于含參數的PCHD系統

如果存在函數C(x，θ)和矩陣gc使得

那么由控制器

和系統(3)構成的閉環系統可以等價為

證明 通過將控制器(5)代入系統(3)中，可得到

由上述分析可以得到如下定理.

定理1 對于含參數的PCHD系統(3)，如果函數C(x，θ)和矩陣gc滿足條件(4)，且如果此時閉環系統(6)在θ的一個鄰域θ∈Ω(θ*)內是耗散的，且在θ∈Ω(θ*)時閉環系統修正能量函數Ha(x，θ)對于θ∈Ω(θ*)的平衡點=xe(θ)是正定的，即.從而閉環系統(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)是關于參數θ是參數穩定的，系統(3)可以被控制器(5)參數鎮定.

證明 對于整合后的系統能量函數Ha(x，θ)，如果在鄰域θ∈Ω(θ*)內a(x，θ)≤0，由閉環系統(6)的耗散性和Hamiltonian函數Ha(x，θ)的正定性知系統(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)的平衡點是穩定的平衡點.所以顯然閉環系統(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)是關于參數θ是參數穩定的.

由上述討論可知，如果可以通過設計控制器使得系統的結構矩陣在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)內保持耗散，當參數θ在鄰域變化時，雖然系統(6)的平衡點是變化的，但是此時系統是耗散的，只要選取合適的能量函數 H(x，θ)，函數 C(x，θ)和矩陣gc使得修正后的能量函數 Ha(x，θ)沿閉環系統(6)的軌跡的導數a(x，θ)≤0，就可以使得系統(6)在θ∈Ω(θ*)內關于參數θ參數穩定.

3 勵磁系統的參數鎮定

以勵磁系統為例

可以看到此時系統的平衡點會隨著參數a的變化而變化，因為a ＞0，c＞0，d ＞0，e＞0，求解方程組(9)得

由上述分析可知，在u=0時，開環系統(8)對于a∈(0，∞)是參數不穩定的.

考慮系統(8)其他參數確定，分析系統(8)在u變化時的閉環系統平衡點情況，把u看作參數，令=0，由系統(8)得

采用本文討論的方法設計系統的控制器，取系統(8)的Hamiltonian函數為

系統(8)可以描述成

所以控制器為

可以使得系統(8)的閉環系統為

要證明此時系統(11)的參數穩定性，只要證明在參數a鄰域內的平衡點的唯一性.假設()是閉環系統的解，滿足()=0，那么

4 仿真結果

圖1 參數a取不同值時對應的δ響應

圖2 參數a取不同值時對應的－ω0響應

圖3 參數a取不同值時對應的E響應

圖1分別給出當參數a分別為2 066.8和2 273.4時對應的δ響應.由δ響應不同，可以看到，在參數a發生漂移時，平衡點的位置會隨著漂移.

5 結論

1)對于含未知參數的PCHD系統，設計了基于無源特性的狀態反饋方法求解系統參數鎮定器，使得閉環系統保持耗散結構.

2)所設計的控制器使閉環系統修正后的能量函數隨參數的漂移而變化，且總在期望的平衡狀態處達到極小，使系統參數穩定.

3)以勵磁系統為例，分析了系統隨參數的變化，勵磁系統的平衡點發生漂移的現象.設計了參數鎮定器，使閉環勵磁系統參數穩定.

［1］IKEDA M，OHTA Y，SILJAK D D.Parametric Stability［M］.Boston，Birkhauser:New Trends in System Theory，1991.

［2］KWATNY H G，PASRIJA A K，BAHAR L Y.Static bifurcations in electric power networks:loss of steadystate stability and voltage collapse［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1986，33:981 －991.

［3］ZECEVIC A I，MILJKOVIC D M.The effects of generation redispatch on Hopf bifurcations in electric power systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2002，49(8):1180 －1186.

［4］SUNDARAPANDIAN V.New results on the parametric stability of nonlinear systems［J］.Mathematical and Computer Modelling，2006，43(1/2):9－15.

［5］OHTA Y，SILJAK D D.Parametric quadratic stabilizability of uncertain nonlinear systems［J］.System Control Letters，1994，22(6):437 －444.

［6］ZECEVIC A I，SILJAK D D.Stabilization of nonlinear systems with moving equilibria［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48(6):1036 －1040.

［7］WADA T，IKEDA M，OHTA Y，et al.Parametric absolute stability of Lur'e systems［J］.IEEE Trans.Automatic Control，1998，43(11):1649 －1653.

［8］WADA T，IKEDA M，OHTA Y，et al.Parametric absolute stability of multivariable Lur'e systems［J］.Automatica，2000，36(9):1365 －1372.

［9］SILVA G，DZUL F A.Parametric absolute stability of a class of singularly perturbed systems［C］//Proceeding of the 37th IEEE conference on Decision and Control.Washington，DC:IEEE，1998.

［10］ORTEGA R，Van Der SCHAFT A J，MASCHKE B，et al.Interconnection and damping assignment passivitybased control on port-controlled hamiltonian systems［J］.Automatica，2002，38(4):585－596.

［11］MASCHKE B，ORTEGA R，Van Der SCHAFT A J.Energy-shaping Lyapunov functions for forced Hamiltonian systems with dissipation［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45(8):1498 －1502.

［12］FUJIMOTO K，SUGIE T.Canonical transformation and stabilization of generalized Hamiltonian systems［J］.Systems＆ Control Letters，2001，42(3):217－227.

［13］ORTEGA R，GALAZ M，ASTOLFI A，et al.Transient stabilization of multi-machine power systems with nontrivial transfer conductances［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50(1):60 －75.

［14］XI Zairong.Adaptive stabilization of generalized Hamiltonian systems with dissipation and its application to power systems［J］.International Journal of Systems Science，2002，33(10):839－846.

［15］Van Der SCHAFTA J.L2－gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control［M］.Berlin:Springer-Verlag，1999.

Parametric stabilization of port-controlled Hamiltonian systems with dissipation

CHEN Ning，DAI Jia-yang，GUO Yu-qian，GUI Wei-hua，XIONG Si-qi

(School of Information Science and Engineering，Central South University，410083 Changsha，China)

This paper investigates parametric stabilization of port-controlled Hamiltonian systems with dissipation(PCHD).A controller is designed to make the PCHD system parametric stable as the parameters drift based on its passivity.The form of the controller is related to PCHD system.Thus，the closed-loop system maintains dissipative form and the energy function achieves its minimal value at the equilibrium point determined by the unknown parameter.An excitation system is taken as an example，and the effect of equilibrium point of the system is analyzed as the parameter varies.A controller is designed to make the excitation system parametric stable.Simulation results are given to show the effectiveness of the proposed method.

parametric stability;Hamiltonian form;parametric stabilization;passivity-based control

TM301

A

0367－6234(2012)11－0112－06

2012－02－13.

國家自然科學基金資助項目(61074001);中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(2010QZZD016).

陳 寧(1970—)女，教授，博士生導師.

陳 寧，ningchen@csu.edu.cn.

(編輯 張 紅)