全滑移下球形粗糙表面的彈塑性接觸模型

李隆球，王 林，張廣玉，宋文平

（1.哈爾濱工業大學材料科學與工程博士后流動站，150001 哈爾濱;2.哈爾濱工業大學機電工程學院，150001 哈爾濱）

全滑移下球形粗糙表面的彈塑性接觸模型

李隆球1，2，王 林2，張廣玉2，宋文平2

（1.哈爾濱工業大學材料科學與工程博士后流動站，150001 哈爾濱;2.哈爾濱工業大學機電工程學院，150001 哈爾濱）

為研究硬盤磁頭和盤面的碰撞接觸問題，提出了一種全滑移接觸條件下，球形粗糙表面與理想剛性平面的彈塑性接觸模型.通過數學建模與MATLAB仿真，分析了球形粗糙表面彈塑性接觸狀態下接觸載荷、實際接觸面積和法向接觸分離、塑性指數之間的函數關系，并在不同塑性指數條件下，與理想光滑表面模型、CEB(Chang-Etsion-Bogy)模型及全粘著條件下的CKE(Cohen-Kligerman-Etsion)模型進行對比.結果表明:本模型在計算接觸面積與接觸載荷上比CEB模型及CKE模型更加準確.

粗糙峰;彈塑性接觸;球形粗糙表面接觸;接觸力學

作為研究摩擦磨損的基礎，接觸問題一直以來是摩擦學研究的重要課題之一，研究物體的接觸狀態包括接觸面積及載荷等對研究粗糙表面的摩擦及磨損有重要的理論意義及工程實際指導意義.當兩粗糙表面互相接觸時，接觸首先會發生在離散化的粗糙峰上，隨著載荷的加大，粗糙峰的接觸數量不斷增多，當大部分粗糙峰被壓平后，接觸會逐步轉到基體上［1］.目前，國內外眾多學者對粗糙表面的接觸進行了一系列研究，其研究的內容和方法包括:1)單粗糙峰與剛性面的彈塑性接觸問題及其形貌的影響;2)粗糙峰的分布原則，如指數分布，J.Greenwood等［2］提出的高斯分布等;3)結合單一粗糙峰的研究結果及分布對工程實際粗糙表面進行分析，而對實際粗糙面的研究包括對兩基體均為剛性粗糙面，一基體剛性粗糙面與另一基體彈性粗糙面以及兩基體都為彈性粗糙面的研究.

全滑移(slip)是一種接觸條件，是指理想的、無摩擦的、光滑表面接觸，全滑移接觸下相互接觸的兩個接觸點在切向上不相互影響，而不是指接觸的兩個物體存在切向相對運動.全粘著(stick)是對應于全滑移的另一種理想化接觸條件，在全粘著接觸條件下，相互接觸的兩個接觸點之間在切向是沒有相對位移的.在單一粗糙峰與剛性面的接觸方面，經典的Hertz接觸理論首先給出了全滑移下彈性接觸時加載力與位移及接觸半徑的關系，E.J.Abbott等［3］建立了單一粗糙峰接觸的全塑性接觸模型，而對于彈塑性接觸，目前尚未有完整的數值解，但很多研究學者利用有限元等方法得出了不同的經驗公式，如 L.Kogut等［4］基于有限元法建立了全滑移條件下無量綱接觸力、接觸面積和法向位移的關系;R.Jackson等［5］也建立了類似的經驗公式并進行了試驗驗證.

對于名義粗糙表面的彈塑性接觸研究，文獻［2］提出了接觸力學領域第1個彈塑性接觸模型(簡稱GW模型).該模型假設粗糙表面滿足如下條件:①接觸表面材料屬于各項同性材料;②所有粗糙峰頂部大小相同，近似球形，且半徑相同;③所有粗糙峰滿足高斯分布原則;④ 粗糙峰之間互不干擾，且基體不會發生變形.W.Chang等［6］的研究發展了GW模型，并對GW模型進行了改進，提出了一個新的粗糙表面接觸模型(即CEB模型).CEB模型中，粗糙峰的彈性變形和塑性變形之間存在一個臨界點，在該臨界點兩邊分別是純彈性變形和純塑性變形，兩者并無過渡，因此，該模型中粗糙峰的變形存在一個跳躍點，并不完全符合實際接觸工況.

球形粗糙表面是指在半徑一定的球體表面上分布有不同半徑的粗糙峰，而粗糙峰在高度上，滿足特定的分布準則，因此，球形粗糙表面與名義粗糙表面有著本質的區別.對于球形粗糙表面的接觸研究，G.A.Greenwood 等［7］首先建立了球形粗糙表面與剛體平面的接觸模型，該模型是除了球體本身產生變形外，粗糙峰也會產生變形.不難看出，當兩接觸表面的載荷較大時，粗糙峰的影響很小甚至可以忽略不計，因此，此時可近似用Hertz理論進行求解，相反，當載荷較小時，需同時考慮粗糙峰和基體變形.但該模型存在一定的局限性，即球形表面的基體無塑性變形產生，僅產生彈性變形.工程實際中，對于球形粗糙表面的接觸，球形基體本身和接觸表面粗糙峰本身都會產生彈性、彈塑性及全塑性變形，或者是以上3種變形的組合，因此，球形粗糙表面的接觸研究顯得相當復雜.在綜合考慮了彈性接觸階段的Hertz理論，和彈塑性階段 V.Brizmer等［8－9］的接觸力、接觸面積和接觸分離距離等經驗公式后，D.Cohen等［10］給出了球形粗糙表面的彈塑性接觸理論模型——CKE模型，該模型假設粗糙峰及球體本身皆可發生彈性及彈塑性變形.通過理論推導和數值求解，分別得出了無量綱接觸面積、接觸力與塑性指數、無量綱表面距離等參數的經驗公式.但該模型仍然存在一定的局限性，因為該模型假設剛性面與彈性球的接觸條件為完全黏著，且粗糙峰只會產生純塑性變形.因此，為彌補以上模型的不足，L.Li等［11］假設球形表面粗糙峰不僅會發生彈性和彈塑性變形，也會發生全塑性變形，并提出了一個全黏著條件下，綜合考慮以上3種變形及各種可能組合的球形粗糙表面彈塑性接觸模型，該模型采用文獻［5］提出的單一粗糙峰全塑性接觸理論.但該模型只是完全黏著條件下的接觸，并不能應用于本文所要研究的全滑移接觸條件下的球形粗糙表面的彈塑性接觸，此外，文獻［11］的模型在計算單一粗糙峰的全塑性接觸力和面積時，限定材料的性質范圍為100≤E/Y≤1 000，無量綱化法向作用位移范圍為100≤ω/ωc≤400，并不能包含所有材料和作用力的粗糙峰接觸，與文獻［3］的全塑性接觸理論相比，也有一定的局限性.

國內學者在粗糙表面接觸問題上也有較多的研究成果，如趙永武等［12］采用函數插值法模擬單一粗糙峰彈塑性接觸時的接觸力、接觸面積與接觸位移的關系，并得到粗糙表面的彈塑性接觸模型;楊楠等［13］采用有限元法模擬了多粗糙峰的彈塑性接觸;佟瑞庭等［14］采用有限元法分析了二維粗糙峰涂層表面的彈塑性接觸等.但這些接觸研究都假定粗糙表面的基體為平表面，與本文研究的球形粗糙表面的球形基體并不相同.

本文基于Hertz彈性接觸理論、彈塑性接觸經驗公式及純塑性接觸理論，結合文獻［2］提出的粗糙表面粗糙峰的高斯分布原則，建立一個全滑移條件下的球形粗糙表面彈塑性接觸數學模型，該模型中球形粗糙峰及球基體本身都會發生彈性、彈塑性及全塑性變形，并得出接觸力、接觸面積與塑性指數、無量綱表面距離的函數關系，通過與CEB、CKE模型的比較，證實了該模型的科學性和準確性.

1 球形粗糙面與理想剛性平面的接觸分析概述

文獻［7］提出兩個粗糙表面的接觸可以用一個等效粗糙表面與一個光滑的剛性表面接觸來代替，其中，粗糙峰在剛性面或在彈性球上對最終結論沒有任何影響.因此，本文為簡化計算過程，將粗糙峰等效在剛性面上，本身不產生任何變形，而球形表面則為理想光滑彈性體，如圖1所示.

圖1 光滑彈性球與粗糙剛性表面接觸分析示意圖

本文假設所有粗糙峰在高度上滿足高斯分布，因此，概率密度函數可以表示為

將其按照表面高度的均方差值σ進行歸一化，得到

式中:σ為粗糙表面高度的均方差值;σs為粗糙峰高度的均方差值.

同時σs和σ之間存在以下相互關系

式中:β為表面粗糙度參數β=ηρσ;z為粗糙峰的高度;η為粗糙峰的面密度.

粗糙峰平均高度和球體模型間的距離d和h之間存在關系為

參與實際接觸的粗糙峰N為

式中:An為名義接觸面積.

單個粗糙峰的法向位移量可表示為

2 單一粗糙峰與剛性平面的接觸分析

為研究光滑彈性球與粗糙剛性平面的接觸行為，首先需得出單一粗糙峰與剛性平面的接觸變化規律，并結合其在高度上的分布規律最終建立球形粗糙表面的彈塑性接觸模型.由上述分析可知，單一粗糙峰與剛性平面接觸時，會產生彈性、彈塑性及全塑性變形或以上3種變形的組合，因此，本文將對單一粗糙峰的上述3種接觸狀態分別展開進行研究.

2.1 單一粗糙峰與剛性平面的彈性接觸

當接觸變形ω足夠小時，粗糙峰發生彈性變形.由Hertz接觸理論可知，平均接觸壓力和實際接觸面積與接觸變形ω的關系被無量綱化后可分別表示為

式中:Pc、ωc、Ac分別為單一彈性球與剛性平面接觸初始屈服點出現時的臨界載荷值、臨界法向變形及臨界接觸面積，并滿足

2.2 單一粗糙峰與剛性平面的彈塑性接觸

由分析可知，當加載的法向變形大于臨界法向變形ωc時，彈性球與剛性平面間會發生彈塑性接觸，彈性粗糙峰發生彈塑性變形，直到全塑性變形的產生.在彈塑性變形階段，研究表明，目前尚未有任何精確解，現有的研究一般是利用有限元法得出的經驗公式進行求解，在完全滑移條件下，本文將采用文獻［4］提出的經驗公式，其中接觸面積和接觸載荷與法向變形的關系可表示為

2.3 單一粗糙峰與剛性平面的全塑性接觸

文獻［4］通過有限元分析計算指出，在持續載荷作用下，當法向變形超過110倍的臨界法向變形時，彈性粗糙峰將處于全塑性變形狀態，因此根據文獻［3］給出的理論，當彈性球與剛性平面處于全塑性接觸的時候，接觸力及接觸面積和法向位移之間關系式為

式中:H為硬度值.

3 球形粗糙面與理想剛性面的接觸模型

根據文獻［2］的假設，粗糙峰之間沒有相互作用，因此每個粗糙峰的法向接觸力、接觸面積只與其自身的變形量有關，文獻［6］推導出實際的法向接觸力、接觸面積的公式為

而對于粗糙球與剛性平面的接觸，文獻［10］給出了模型

將式(1)代入到式(3)，得到只發生彈性變形的粗糙峰產生的總接觸力為

將式(4)通過在垂直和水平方向上歸一化可以得到

對于粗糙表面，文獻［2］引入了一個新的無量綱參數——塑性指數ψ，文獻［10］給出了關于屈服強度的表達式為

由式(2)和(6)可以得到

同理，對于處于彈性、彈塑性及全塑性接觸的粗糙峰所能承受的載荷可表示為

其中式(8)中第1項表示處于彈性接觸的粗糙峰，第2和第3項為彈塑性接觸的粗糙峰，第4項為全塑性變形的粗糙峰.

4 模型求解與討論

4.1 模型計算方法及主要參數確定

為求解式(8)中接觸力與分離距離之間的函數關系，需采用迭代法進行計算.具體計算過程為:在某一給定初始預載荷下，兩接觸表面將產生一定的預變形，其中，靠近球頂部的部分粗糙峰被壓平，于是可得出初始的名義接觸面積A和初始接觸半徑a，并得出分離距離h，由此，可計算新的接觸力和新的名義接觸面積，以此類推，直到前后接觸載荷達到預設的收斂準則(誤差 ＜5%).具體求解流程如圖2所示.

圖2 粗糙表面接觸分析求解流程圖

球形粗糙表面接觸主要形貌參數及材料性能參數如表1所示，根據研究，R/ρ的取值與計算結果無關［15］，為便于計算本文取R/ρ=20.

表1 球形粗糙接觸模型表面形貌及材料性能參數

4.2 幾種模型計算結果的比較與討論

圖3所顯示的是3種不同塑性指數ψ=0.5、2.0及16.0條件下，有效接觸面積與名義接觸面積的比率A0/An關于無量綱載荷P/P的函數，其中:Pcs為理想光滑球基體在塑性變形產生時的臨界接觸載荷;A0為有效接觸面積.CEB、CKE模型及理想光滑球接觸模型也同時在圖中繪出方便比較.理想光滑表面名義接觸面積A可以通過如下得出

從圖中可以看出，對于較小載荷條件下，粗糙表面實際接觸面積遠小于名義接觸面積(即相應理想光滑表面接觸時)，這是因為粗糙表面中部分粗糙峰處于彈塑性或全塑性接觸，局部接觸壓力較大，因此，對于相同的接觸載荷，實際有效接觸面積比名義接觸面積小.這與文獻［2］提出的理論是完全相符的.在較低的塑性指數條件下，如ψ =0.5、2.0，本文模型與CKE模型符合很好，因為兩個模型都考慮到粗糙峰不僅有彈性接觸，還會有彈塑性接觸，而由文獻［2］的預測，在此時，大部分粗糙峰處于彈塑性接觸.而CEB模型因為未考慮粗糙峰的彈塑性接觸階段，認為粗糙峰一旦達到初始屈服點就會進入全塑性變形，而對于全塑性狀態下，相同的接觸載荷只會產生較小的接觸面積，因此，CEB模型中部分粗糙峰已經處于全塑性狀態，平均接觸壓力已達到極限值——硬度值，故相同載荷下CEB模型所預測的接觸面積要比本文模型要小.而當塑性指數ψ=16.0時，由文獻［2］的理論，基本上所有的粗糙峰都處于全塑性接觸狀態，而全塑性狀態下的粗糙峰在相同載荷下都會有相同的接觸面積，式(8)中第4項占據絕大部分，故與CEB模型的結果比較類似或者相同，而CKE模型因為沒有考慮粗糙峰的全塑性變形，認為平均接觸壓力可以無限增大，因此，在相同載荷下，相反會得到較小的接觸面積，可見不考慮粗糙峰的全塑性變形是不全面的.

此外也能從圖3中看出，隨著塑性指數的增加，有效接觸面積等于名義接觸面積值時的無量綱臨界載荷也在增加，即在塑性指數ψ=0.5時的臨界載荷大約為5，而對于塑性指數ψ=16.0時的臨界載荷增大到將近80.這是因為，對于大塑性指數條件下，粗糙峰的分布比較分散，其高斯分布均方差較大，要克服所有粗糙峰的影響需將所有粗糙峰壓平，因而所需要的載荷相對較大.

圖4所顯示的是3種不同塑性指數ψ=0.5、2.0及16.0條件下無量綱接觸面積與無量綱載荷的函數關系，其中，Acs、Pcs分別為理想光滑球基體在初始塑性變形產生時接觸面積及接觸載荷.從圖中可以看出，當所加載荷較小時，所有粗糙球模型與理想光滑表面模型都存在很大的分歧，這主要由于載荷很小時，粗糙峰對接觸有很重要影響導致實際有效接觸面積比名義接觸面積要小.當載荷加大到一定程度時，粗糙表面模型與理想光滑表面模型重合，這是因為在較大載荷下，粗糙峰的影響可以忽略不計，粗糙表面可以等效為理想光滑表面，這與文獻［2］的理論是基本一致的.從圖4(a)、(b)中可以看出，對于 ψ =0.5、2.0下，根據文獻［2］的理論，粗糙表面處于彈塑性接觸狀態，本文模型與 CKE模型基本重合，而與CEB模型差距較大，即相同載荷下，本文模型與CKE模型得到的接觸面積比CEB模型接觸面積要大.這是因為CEB模型并沒有考慮粗糙峰接觸的彈塑性狀態而假定認為當粗糙峰達到初始塑性變形點時就會進入全塑性狀態.而當塑性指數ψ=16.0時，基本上所有的粗糙峰都處于全塑性接觸狀態，故與CEB模型的結果比較接近，同前面所述，CKE模型因沒有考慮粗糙峰的全塑性變

圖3 有效接觸面積與名義接觸面積比率和無量綱載荷的函數關系

另外，可以從圖4中可以看出，隨著塑性指數ψ增加，CEB模型與本文模型較為接近，而CKE模型與本文模型相差加大，這是因為在高塑性指數條件下，基本上所有粗糙峰處于全塑性狀態.

5 結論

1)對于相同且較小的塑性指數條件下，本文模型與CKE模型所預測的有效接觸面積與名義接觸面積的比率，及無量綱接觸面積相同，但比CEB模型預測的接觸面積大.形，假定平均接觸壓力可以不斷增大甚至超過極限值，這也是不全面的.

圖4 無量綱化接觸面積與無量綱化載荷的函數關系

2)對于相同且較大的塑性指數條件下，本文模型與CEB模型所預測的有效接觸面積與名義接觸面積的比率，及無量綱接觸面積相同，但比CKE模型預測的接觸面積大.

3)隨著載荷的增加，粗糙峰對接觸面積的影響越來越小.

4)隨著塑性指數的增加，在相同載荷下，有效接觸面積與名義接觸面積的比率會隨著變小，因此，臨界接觸載荷隨著增加.

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Elastic-plastic model for rough spherical contact in slip contact condition

LI Long-qiu1，2，WANG Lin2，ZHANG Guang-yu2，SONG Wen-ping2

(1.Material Science and Engineering Post-doctorate Research Institutions，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China;2.School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

To investigate the impact of magnetic heads on disk in a hard disk drive，an elastic-plastic contact model for rough sphere contacting rigid flat in slip contact condition is provided.The normal load and the real contact area as functions of separation and plasticity index for the rough spherical elastic-plastic contact are investigated by mathematical modeling and MATLAB simulating.The results are compared with the perfect smooth spherical contact model，CEB(Chang-Etsion-Bogy)model and CKE(Cohen-Kligerman-Etsion)model in stick contact condition for different values of the plasticity index.It is shown that the normal load and real contact area of present model are more accurate than that of the CEB and CKE models.This is because the CEB and CKE models neglect the elastic-plastic contact and fully plastic of a single asperity，respectively，resulting in the limitation for the analysis.

asperity;elastic-plastic contact;rough spherical contact;contact mechanics

O343.3 O344.1

A

0367－6234(2012)09－0062－07

2011－09－25.

國家自然科學基金資助項目(51105099);中國博士后基金資助項目(49).

李隆球(1982—)，男，講師，博士;

張廣玉(1961—)，男，教授，博士生導師.

李隆球，longqiuli@gmail.com.

book=44,ebook=176

(編輯 張 紅)