兩種反演半透明液體光學常數的方法對比

李 棟，夏新林，艾 青

（1.哈爾濱工業大學 能源科學與工程學院，150001 哈爾濱;2.東北石油大學 土木建筑工程學院，163318 黑龍江大慶）

兩種反演半透明液體光學常數的方法對比

李 棟1，2，夏新林1，艾 青1

（1.哈爾濱工業大學 能源科學與工程學院，150001 哈爾濱;2.東北石油大學 土木建筑工程學院，163318 黑龍江大慶）

基于光線跟蹤法建立求解半透明液體透射比的正問題模型，研究基于蒙特卡羅法(MC)和簡化方程迭代法(SEI)的反演半透明液體光學常數(吸收指數k、折射指數n)的兩種方法，分析兩種反演方法的適用范圍.將已知文獻中庚烷的光學常數作為“真實值”，用正問題模型求解的透射比作為“實驗測量值”，采用反問題模型反演n和k，并分析實驗偏差對反演的影響.研究結果表明:兩種方法反演的庚烷k的計算誤差的標準差均小于10－6，而n的標準差高于0.1%;當實驗數據存在偏差時，光學常數n、k的反演計算精度呈現降低趨勢.

半透明液體;光學常數;吸收指數;折射指數;反演模型

半透明液體的熱輻射物性在化工、航天、動力、生物等多個領域具有重要的應用背景.例如:半透明液態碳氫燃料的熱輻射物性是航空航天發動機、內燃機、汽輪機、燃燒爐等熱能裝置輻射傳熱過程定量研究［1－4］，主動冷卻熱防護壁面高溫輻射機理研究［5－6］，光學吸收診斷研究［7－9］的基礎物性參數.半透明液體熱輻射物性吸收系數、散射系數是其光學常數(亦稱復折射指數，即吸收指數和折射指數)的函數.半透明液體的光學常數不能通過實驗測量直接得到，必須通過測量其相關量并結合相應的反問題模型計算得出.目前，測量半透明液體光學常數的方法很多，主要包括Attenuated total reflection(ATF，衰減全反射)方法［10－11］、結合 Kramers－Kronig(K － K)色散關系式的透射法［12－13］、雙厚度透射法［14］.前兩種方法均需聯立K－K色散關系式求解反演模型，是目前應用較為廣泛的方法;但是，采用簡化方法構造K－K關系式實現折射指數的求解過程繁瑣.雙厚度透射法原理簡單，不需要采用K－K關系式，但目前的研究者較少，且沒有分析其適用范圍［14］.

本文采用光線跟蹤法分析了半透明液體透射特性，給出了求解其透射比的正問題模型，然后建立了基于Monte-Carlo(MC，蒙特卡羅)法和Simplifie-Equation Iterative(SEI，簡化方程迭代)法的兩種反演半透明液體光學常數的雙厚度模型，并分析了其適用范圍，最后利用文獻中已有的實驗數據進行了模型驗證，分析了實驗偏差對反演計算的影響.

1 數理模型

1.1 正問題模型

半透明液體透射光線跟蹤示意如圖1所示.其光譜吸收指數為k，光譜折射指數為n，且均與溫度無關.上、下界面的光譜反射率均為ρ.透射光線在液膜各表面處均遵循Fresnel定律和Snell定律.假設液膜層的厚度L遠大于透射光線波長，因此不考慮來自上下兩個界面上的透射光線之間的干涉效應.

圖1 半透明液體透射光線跟蹤示意

當透射光線沿法線方向進入時，滿足光線是非偏振和漫射，且介質各向同性.采用光線跟蹤法得到半透明液體光譜透射比［15］

其中，光譜反射率［15］

1.2 SEI反演模型

在已知波長λ下厚度L1、厚度L2對應的光譜透射比測量值τm1、τm2時，理論上可通過式(1)和式(2)確定n、k和ρ，但式(1)無解析解，需合理簡化以滿足求解要求.

為此，提出SEI法的反演半透明液體光學常數的雙厚度模型.考慮到多數半透明液體吸收指數較小，可忽略式(1)中e－8kπL/λ的影響，則式(1)變為

已知 τm1、τm2時，由式(3)得 k值和 ρ值:

由式(2)得

具體計算過程:

1)分別通過式(4)～(6)計算k、ρ、n.

2)通過式(1)確定正問題計算值τc1和τc2，分析其與實際測量值的計算誤差.

3)計算過程控制.若計算誤差小于最小精度，則結束計算，否則 τc1和 τc2替換 τm1、τm2后返回第1)步.

1.3 MC反演模型

由于SEI模型簡化了式(1)，使其適用范圍受限.為此，保持式(1)的完整，采用Monte-Carlo(MC，蒙特卡羅)法確定半透明液體的光學常數，即采用實驗測量的半透明液體光譜透射比作為光學常數反問題計算的測量值，直接利用式(1)構造目標函數

其中，τc1、τc2分別為在同一波長下半透明液體厚度1和厚度2所對應的光譜透射比正問題計算值，τm1和τm2分別為同一波長下厚度1和厚度2所對應的光譜透射比測量值.

采用MC法和區間逼近法相結合的混合方法求解反演模型.采用MC法反演時，當反演值偏離真值較遠時收斂速度很慢.為此，首先采用MC法進行搜索，當達到一定精度后，利用區間逼近法縮小反演范圍，從而提高反演計算效率.具體反演計算過程如下:

1)給出n和k的合理取值范圍，以及迭代最大次數、最小精度、初始計算精度、區間逼近步長.

2)利用MC法給n和k賦值.

3)通過式(1)計算τc1和τc2，并通過式(7)確定計算誤差.若計算誤差小于初始計算精度，則采用區間逼近法縮小n和k的取值范圍，并用計算誤差取代初始計算精度.

4)計算過程控制.若計算誤差小于最小精度，則計算結束，否則返回第2)步.

1.4 模型適用范圍

一定厚度的半透明液體光譜透射比主要受其光學常數n、k的影響.假設n的范圍為1～3，k的范圍為10－6～0.8，在n、k范圍內合理取值將其作為“真實值”，利用正問題模型計算當量厚度(當量厚度為液膜厚度和波長之比)1、當量厚度2對應的光譜透射比作為“實驗測量值”，并利用兩種反演模型計算n、k，結果如圖2所示.

圖2 兩種反演模型求解的光學常數

由圖2可見，實際的n、k對反演半透明液體的光學常數具有較大的影響.反演n時，在n＞2區域，用MC法反演結果同“真實值”較吻合，SEI法僅在k＜0.01區域反演精度較好，說明MC法在n＞2區域適應性更強.n＜2區域，MC法僅在k＜0.1區域反演精度較好，而SEI法在k＞0.1區域反演精度較好，說明MC法和SEI法反演n時存在一定的互補性.同時由圖2可知，反演k時，在整個反演范圍內MC法反演k的結果較好，而SEI法僅在k＞0.1區域且滿足折射指數1～3范圍內反演k精度較好，但同時可見SEI法在折射指數1.0～1.9范圍內反演k精度較好.

結合反演誤差分析n、k對反演半透明液體光學常數的影響，其中，相對誤差和標準差為

式中，Δ為相對誤差;σ為標準差.Dcal、Dexp分別為計算值和“真實值”，N為數據數.

MC法反演n時，實際n為1 ～3、k為10－6～0.1，反演誤差最大為1.03%，出現在實際n為1、k為0.1處;若不考慮n為1，其余的反演誤差最大為10－6.k超過0.1后，利用MC法反演n數據中出現較大誤差，且k值增大反演誤差較大者數量增加，其中最大誤差在n=2、k=0.6處為66%.利用SEI法反演n時，當實際n為1.1 ～1.9、k為10－6～0.4，反演最大誤差 ＜1.6%;n超過1.2時，k為10－6～0.01，誤差較大.MC法反演k時，僅在k為10－6時反演最大誤差為7.49%，其余均小于1%.SEI法反演k時，k＞0.1時反演最大誤差均小于1%，但k＜0.1且n＜1.9時反演誤差均小于2%，而k＜0.1且n＞1.9時其反演誤差隨n的增大而增加.

2 算例與誤差分析

2.1 反演算例分析

為檢驗模型，采用文獻［14］中庚烷(Heptane)的光學常數n、k作為“真實值”，利用正問題模型計算庚烷液膜厚度分別為50、100 μm時對應的透射比作為“實驗值”，如圖3所示.

圖3 庚烷的光譜透射比

采用MC法和SEI法的反演模型，分別利用“實驗值”反演計算庚烷的n、k，結果如圖4所示.

圖4 庚烷光學常數反演結果

由圖4可知，MC法和SEI法反演結果的最大計算誤差在 n=1.2、k=8.65 ×10－4處，其k誤差分別為 0.03%、0.01%，n誤差分別為 2.06%、3.27%.采用式(9)分析所有反演數據誤差的標準差可知，MC和SEI反演n誤差的標準差分別為0.31%、0.77%，反演 k誤差的標準差均 ＜10－6，說明MC法和SEI法模型反演液體庚烷的光學常數差別較小，可見MC法和SEI法反演計算庚烷的光學常數是可靠的.

2.2 實驗偏差對反演的影響分析

上述反演計算半透明液體的光學常數所用的“實驗值”是精確的.而由于儀器精度、環境、操作等影響，實驗數據存在一定偏差，分析實驗偏差對反演模型的影響是保證反演精度的關鍵.

假設在實驗光譜范圍內，半透明液體庚烷透射比的實驗數據分別存在γ=1%、2%、5% 的相對誤差，并將該“實驗值”作為反演的已知量，其余條件不變，反演計算光學常數n、k，并采用式(8)計算與“真實值”的相對誤差，結果如圖5所示.

圖5 庚烷光學常數反演誤差分析

由圖5可看出，當實驗數據存在偏差時，光學常數n、k的反演計算精度均較呈現降低趨勢.偏差對SEI法反演k的影響較小，而對MC法則影響較大.同時可知，實驗數據存在偏差對兩種模型反演n的影響均較大.

3 結論

1)基于雙厚度透射法測量，結合半透明液體透射比的MC法和SEI法反演模型，可以實驗獲取半透明液體的光學常數.

2)MC和SEI反演模型受實際的光學常數n、k影響較大，在其適用范圍內反演計算精度高.

3)當實驗數據存在偏差時，光學常數n、k的反演計算精度均呈現降低趨勢.對SEI方法反演吸收指數k的影響較小，而對MC方法則影響較大，且透射比存在偏差對兩種模型反演折射指數n的影響均較大.

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Comparison of two inversion methods on optical constants of semitransparent liquid

LI Dong1，2，XIA Xin-lin1，AI Qing1

(1.School of Energy Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China;2.School of Architecture and Civil Engineering，Northeast Petroleum University，163318 Daqing，Heilongjiang，China)

Based on ray trace method，Monte-Carlo method and Simplifie-Equation iterative method，the spectral transimttance radio calculation model for semitransparent liquid was developed and two inversion methods of optical constants(extinction coefficient k and refractive index n)of semitransparent liquid were analyzed.The application range of two inversion methods were investigated.The optical constants of Heptane attained in the references were selected as the true values，and the spectral transimttance radio of the semitransparent liquid based on the direct model simulation were regarded as the experimental values.The optical constants of Heptane were achieved by the inverse models.Then the influence of measurement error on the inverse results were also investigated.The results show that the standard deviation of k calculation error by the MC and SEI inversion methods are less than 10－6，while that of n are higher than 0.1%，and the influence of measurement error on the inverse results is urgent distinctness，and inversed calculation precision of optical constants becomes lower when the measurement error are higher.

semitransparent liquid;optical constants;extinction coefficient;refractive index;inverse model

TK314;O241.7

A

0367－6234(2012)09－0073－05

2011－10－21.

國家自然科學基金資助項目 (51106036，51176038);哈爾濱市科技創新人才研究專項資金資助項目(2012RFQXG079).

李 棟(1979—)，男，講師，博士研究生;

夏新林(1966—)，男，教授，博士生導師.

夏新林，xiaxl@hit.edu.cn.

(編輯 楊 波)