劉蘭初
(湖南工程學院 理學院,湘潭411104)
自1998年Stefan Hilger[1]在他的博士論文中首次提出時標上的微分方程理論以來,引起了人們廣泛的關注,取得了一些好結果,如 Aguwal[2-6]等人的工作.實數R的任意一個非空閉子集稱作一個時標,本文以符號T 表示.例如,R、Z、N、[0,1]∪N,都是時標。但有理數集,無理數集,開區間(0,1)等都不是時標。關于時標上一階中立型動力方程的定性理論的研究還很少,文獻[7]考慮了
的無界解,文獻[8]考慮了
的有界解.上兩方程都是在c=1的情形.本文考慮測度鏈上中立型動力方程:
這里0<c<1,r>0,θ>δ≥0為常數,P,Q∈Crd[T,R+).本文采用如下記號:
引理1 若H1-H3的假設成立,則方程
與
分別存在有界正解u1(t)和u(t),且
證明:方程(2)與 (3)的證明類似,我們只給出方程(2)的證明.考慮積分方程
選取t1充分大,使得
很明顯 H(t)∈Crd([t1,∞),R+].定義
X的算子S,
這里m=max{θ,r}顯然,
且
對任意x∈X,有:SX?X.
歸納證明得:
那么,可獲得:
定理1 假設H1-H3成立,則方程(1)存在一個有界正解.且對任意連續的以r為周期的振動函數ω(t),存在一個有界振動解x(t),使得
這里R(t)為rd-連續的實值函數,且
證明:設
這里u(t),u1(t)由引理2.1定義.由引理2.1知U(t)與U1(t)均為方程(1)的有界正解.由于方程(1)是線性的,故
也為方程(1)的解,且x(t)是(1)的有界振動解,且滿足(1).證畢.
推論1 假設H1,H2,H4成立,則定理(2.1)成立.
證明:只須證明H4?H3即可.
則
[1] S.Hilger.Analysis on Measure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus[J].Re-sults in Matematics 1990(18):18-56.
[2] S.Hilger.Differential and Difference Calculus-Unified[J].Nonlinear Analysis,1997,30(5):2683-2694.
[3] M.Bohner,A.Peterson.Dynamic Equations on time scales[M].Boston:Birkhauser,2001.
[4] R.P.Agarwal,M.Bohner.Basic Calculus on Time scales and Some of its Applications[J].Results Math.,1999,35:3-22.
[5] M.Bohner,J.E.Castillo,Mimetic Methods on Measure Chains[J].Comput.Math.Appl.,2001,42:705-710.
[6] L.Erbe and A.Peterson,Riccati Equations on a Measure chain,In Proc[M].Dynamic Systems Appl.,Volume 3,Dynamic Publishers,2001:193-199.
[7] 劉蘭初,龍玉花.測度鏈上一階中立型動力方程的無界解[J].湖南工程學院學報(自科版),2006(4).
[8] 劉蘭初,劉光輝 .測度鏈上具有正負系數的中立型動力方程的有界解[J].江西師范大學學報,2006(4).