基于通用旋轉組合設計的熱板參數分析

王靖震 魏 猛 劉偉軍 胡延兵

1.中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽，110016 2.中國科學院研究生院，北京，100049 3.沈陽芯源微電子設備有限公司，沈陽，110168

0 引言

在制造大規模集成電路時，人們通過光刻工藝把密集的電子線路刻到晶圓上。在這一工藝過程中，通過熱板來對晶圓進行烘焙處理。熱板表面的溫度均勻性是一個關鍵的技術指標，在前烘、后烘工序中熱板表面的溫度均勻性尤為重要［1］。由于在工藝過程中光刻膠在烘焙時所受的張力以及光刻膠中的化學物質對溫度高度敏感，熱板表面的溫度均勻性將會對刻畫到晶圓上的電子線路寬度產生很大的影響［2］，所以加熱時表面溫度均勻一致的熱板是保證大規模集成電路制造中光刻工藝質量的必要條件。同時隨著集成電路集成度的加大和線寬的日益縮小，熱板烘焙技術也需要不斷發展來進一步提高熱板表面的溫度均勻性，以適應具有更加密集電子線路晶圓的烘焙要求［2－5］。

最新的熱板烘焙技術包括采用電熱元器件單元點陣排布的方式對熱板進行分區控制［6－7］，以及采用熱氣流通過腔體的表面來加熱的方式［8］，這些技術都取得了很好的效果。但是相對于傳統的熱絲加熱電熱板來說，上述加熱方式的制造工藝和控制過程過于復雜和昂貴，并且在工業生產中的穩定性還有待驗證。國內對熱板技術的研究主要是針對傳統的熱絲加熱電熱板技術，采用有限元仿真模擬的方法，對固定數量熱絲的排布進行優化［9－10］，但是對影響熱板表面溫度均勻性的其他因素還需要進行進一步的探討。

通常設計一個具有高度表面溫度均勻性的熱板，意味著要進行多次實際的物理試驗，周期長、成本高。國內學者對于在集成電路制造業中應用的熱板的研究較少。本文以某熱板設計為例，在熱板設計參數選擇問題上，利用通用旋轉組合設計的方法，對試驗先進行規劃設計，大幅減少了試驗的次數。應用ANSYS仿真模擬軟件，仿真模擬不同設計參數條件下的熱板表面溫度場均勻性情況，然后對試驗數據采用SPSS統計軟件進行回歸分析。建立了熱板設計參數與熱板表面溫度場均勻性之間關系的數學模型，并以此數學模型來指導熱板設計參數的選擇。

1 熱板單元結構與溫度場仿真

熱板單元幾何模型如圖1所示，熱板分為上下對稱的兩部分，熱絲嵌入上下兩部分中間。由于溫度場的近似對稱關系，只分析熱板上半部分溫度場即可。圖2為熱板的熱絲排布圖，本文中熱板采用等螺距螺旋線式熱絲均勻排布。

圖1 熱板單元結構示意圖

圖2 熱絲排布圖

根據熱學原理的初步分析，影響熱板表面溫度場均勻性的設計參數主要有：熱板上半部分厚度X1；熱板熱絲間距離X2；熱板周圍的空氣對流換熱系數X3，X3的值反映熱板周圍環境對熱板表面溫度均勻性的作用。

本文采用ANSYS軟件作為熱板溫度場分析研究的仿真模擬工具。應用有限元仿真模擬技術對熱板表面溫度場均勻性進行仿真，可以比較直觀地了解熱板設計參數對熱板表面溫度場均勻性的影響情況，并且周期短，成本低。圖3為熱板溫度場均勻性仿真模擬圖，顯示了當烘焙溫度為200℃時熱板溫度場均勻性的情況。

圖3 熱板表面溫度場模擬

仿真模擬的同時，在軟件中構造變量T代表仿真結果的溫度均勻性數據。數值上T為熱板表面烘焙區域內的溫度最大差值，用以表示溫度均勻性的好壞，可見T越小越好。

2 通用旋轉組合設計

試驗設計是研究如何科學地安排試驗方案以便對試驗數據進行有效統計分析即回歸分析的數學理論與方法。對于影響熱板表面溫度場的三個可能的因素來說，它們有可能單獨起作用，也可能相互制約。如果要全面地進行試驗，試驗數量會非常多。通用旋轉組合設計是一種研究多因素多水平的試驗設計方法，相對于正交試驗設計方法，它一方面基本保留了回歸正交設計的優點，即試驗次數少，計算簡便，部分地清除了回歸系數間的相關性，即犧牲部分的正交性而獲得旋轉性。另一方面，通用旋轉組合設計能使回歸預測值的方差成為在以球心為原點的球內的一個常數，有助于克服回歸正交設計中回歸預測值的方差依賴于試驗點在因子空間中位置的缺點［11］。通用旋轉組合設計因其一致精度和需要試驗次數較少等優點而廣泛應用于科學試驗中。由于在實際工程設計中需要對不同的設計參數組合進行比較，如采用通用旋轉組合設計，由回歸分析模型得出的不同設計參數結果數據精度一致或者說結果數據方差相同，可以使以后的參數選擇更為方便合理。

首先應用三因素二次通用旋轉組合試驗設計方法，按通用旋轉組合設計表格求得溫度均勻性變量T在相應自變量X1、X2、X3取不同值情況下的仿真試驗數據。然后對所得試驗數據用三元二次回歸分析的方法，建立它們之間的數學模型。

經過通用旋轉組合試驗設計后，回歸分析得到的三因素二次模型如下：式中，β0、βj、βkj、βjj分別為零次、一次、交互和二次項的系數；Xj為各因素的水平值，用X1j和X2j來表示Xj的下限和上限，分別稱為因素的下水平、上水平。

為了應用通用旋轉組合試驗設計表，還需要對Xj進行編碼，即對Xj的試驗水平X0j、X1j和X2j進行正交性線性變換：

其中，X0j為Xj的零水平或稱為基準水平；Δj表示Xj的變化范圍。

確定星號臂長度r：

確定總試驗次數n：n＝mc＋2p＋m0＝20 （6）式中，p為因素個數，這里取3；mc為因子取±1水平的全因素試驗的試驗次數，其值為2p＝8；m0為各因素都取零水平的中心試驗的重復次數，這里取6。

確定熱板設計參數的變化范圍，根據變化范圍確定試驗點。表1為三因素水平編碼表。表2為所得到的二次通用旋轉組合試驗設計表。

表1 三因素水平編碼表

表2 通用旋轉組合設計表

3 試驗結果分析

3.1 數據的回歸分析

針對上述數據，應用SPSS統計軟件，用三元二次回歸分析的方法進行數據處理，建立回歸模型。結果表明，模型的相關系數R為0.985，其平方為0.971，表明其方程的擬合優度好。方差分析的F值的顯著性Sig＜0.001，所以回歸達到顯著水平，說明熱板表面的溫度均勻性T和各因素之間存在顯著的回歸關系，實驗設計方案正確，回歸方程有意義。表3為二次回歸模型系數表，回歸方程為

表3 二次回歸模型系數表

從表3可看出，對回歸方程各項系數進行的t檢驗表明方程中各項系數在數值上與零差異顯著，說明各項系數保留在回歸方程中是正確的。

3.2 因子效應分析

回歸方程中各因素處理均經量綱一線性編碼代換，偏回歸系數已經不受因素取值的大小和單位的影響。由于采用通用旋轉組合設計方法所得到的回歸方程二次項系數間相關，但是各一次項回歸系數之間，一次項系數與交互項、平方項的回歸系數間都是不相關的，因此，可以用各因素在回歸方程中的一次項系數值的大小來比較各因素對熱板表面溫度均勻性的影響。各因素的作用從大到小依次為：Z3、Z1、Z2，且Z2、Z3是正效應，即Z2和Z3越小，熱板表面均勻度越好，T越小。Z1是負效應，即Z1越大，熱板表面均勻度越好，T越小。說明結論與經驗相符合。對于包括二次項系數的因子效應分析，可以利用各因子間的正交性在正交回歸分析中加以討論。

3.3 回歸模型驗證

將式（4）代入式（7），得到用自變量Xj表示的回歸方程：

對所得回歸模型的準確性進行驗證，需再進行一次仿真模擬試驗，將仿真模擬結果與回歸方程計算結果進行對比。分別選取X1為25mm，X2為10mm，X3為10W／（m2·K），代入式（8）得

同樣選取上述驗證參數值用ANSYS分析軟件進行仿真模擬，得到結果為

可以看出，仿真模擬結果與回歸模型得出的結果有較高的一致性。通過所建立的回歸模型，工程人員可以方便、快捷地了解熱板不同設計參數情況下的熱板表面溫度均勻性。

4 結論

本文給出了一種針對表面溫度場均勻性的熱板設計參數分析的新方法。通過分析可知，熱板表面溫度場均勻性影響因素的作用從大到小依次為：Z3、Z1、Z2。所建立的回歸模型計算結果與仿真模擬結果有較高的一致性。因為采用的通用旋轉組合設計方法能使所得到數學模型回歸預測值的方差在以球心為原點的球內為一個常數，所以在熱板參數設計中可以應用回歸數學模型對不同的參數選擇所得結果進行比較，可以使設計過程方便、快捷，具有實際工程應用價值。

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