狀態空間法在超寬帶雷達動目標速度及距離像估計中的應用

楊利民 蘇衛民 顧 紅 耿潤潼 邵 欣

(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210049)

1 引言

由于UWB雷達相對帶寬2(f2-f1)/(f1+f2)不小于25%[1](f2和f1分別為超寬帶信號頻率的上、下限)，通常而言該雷達具有高分辨距離像能力。與窄帶雷達不同的是，常被看作“點”的目標對于UWB雷達而言其由多個散射體組成，因而具有更精細的距離像信息。然而，UWB雷達通過提高發射信號的絕對帶寬(即f2-f1)以提高距離像分辨力的同時，存在相對徑向運動的目標的多普勒頻率由于較寬的絕對帶寬而不再是點頻，而是跟隨信號頻率變化，該現象稱為多普勒色散(Doppler dispersion)[2]。這使得試圖通過計算多普勒頻率以獲得徑向速度變得困難。

根據文獻[3,4]，當多普勒色散因子BT(2v/c)<<1時(其中B,T分別為發射信號帶寬和時寬，v和c分別為目標相對徑向速度和光速)，窄帶回波模型仍適合，回波的伸縮可以忽略。然而，在 UWB雷達中，對于帶寬B很寬及高速運動的目標，該因子極易接近或者大于 1。此時，回波存在與徑向速度相關的伸長或者壓縮，壓縮因子s為(c-v)/(c+v)[3,4]。因此，需考慮多普勒色散對徑向速度估計的影響。于是，文獻[5]首次提出利用被美譽為“數學顯微鏡”的小波變換估計目標與雷達間距離及壓縮因子s，再根據該因子獲得相對徑向速度，從而有效地規避了多普勒色散對徑向速度估計的影響。

然而，利用小波變換時，限制了UWB雷達的發射波形，即發射波形需滿足母小波容許性[5]。目前，有利用SS估計UWB雷達參數的相關研究[6-8]，其考慮在高頻區利用幾何衍射理論(Geometrical Theory of Diffraction,GTD)建立帶有散射體特征參數的散射體沖激響應模型，能獲得高分辨距離及速度像。對于低速運動目標且多普勒色散因子遠小于1時，GTD模型具有良好的適應性。然而，隨著現代國防科技的飛躍發展，如X-37B無人太空戰機等高速運動飛行器問世，探討適應于高速運動目標的參數估計方法具有重要的應用價值。本文討論當多普勒色散因子大于 1時，采用SS方法估計基于UWB雷達的目標徑向速度及距離像。首先，當多普勒色散因子大于1時，結合具有伸縮的回波模型構造目標頻域沖激響應。然后，利用SS法[9,10]估計目標高分辨距離像及壓縮因子s，從而利用s進一步獲得高精度徑向速度。本文進一步推導了上述估計參數的 CRLB，并與通過蒙特卡羅(Monte Carlo,MC)重復試驗獲得的相應均方根誤差(RMSE)進行比較，以分析估計參數的統計性能。SS法在低信噪比(SNR)下依然具有較好的估計性能，因此具有良好的噪聲抑制能力。此外，由于只需要目標頻域沖激響應而不涉及UWB雷達的具體發射波形，SS沒有如小波變換對發射波形應具有容許性的限制[5]。

本文內容安排如下：首先，結合具有壓縮的回波模型推導 UWB雷達下目標的頻域沖激響應模型，并根據該模型獲得Hankel矩陣；其次，討論利用 SS估計存在徑向運動的目標的距離及壓縮因子s；然后，分別推導壓縮因子s，距離R及初相位φ對應的CRLB；通過計算機仿真實驗驗證上述討論；最后，總結全文。

2 UWB雷達目標頻域沖激響應及狀態空間模型

2.1 UWB雷達目標頻域響應函數

為獲得目標散射體的沖激響應函數，假設UWB雷達的發射信號fT(t)為狄拉克(Dirac)函數δ(t)，則當UWB雷達BT(2v/c)>1時，根據文獻[5]可得具有伸縮的回波模型：

當第l個散射體的徑向速度滿足|vl|/c<<1,|·|為取模，則式(1)中第l個散射體壓縮因子sl為

及其對應的時延τl為

其中Rl為第l個散射體與雷達間的斜距。對式(1)作快速傅里葉變換(FFT)，即目標的頻域沖激響應為

2.2 UWB雷達目標狀態空間模型

對于線性系統，在控制理論中的不同于自回歸滑動平均(Auto-Regressive and Moving Average,ARMA)的另一種常見模型為狀態空間模型[10]，即UWB雷達目標的離散狀態空間方程可表示為[9]

其中x(n)為其狀態向量，且A為系統狀態變化矩陣，B為輸入量對狀態影響矩陣，C為狀態對輸出影響矩陣。設該系統為1個輸入和輸出量，且狀態變量個數為β，則有及C∈,?表示復數集。由文獻[10]可知，矩陣A的特征值對應ARMA模型的極值點；矩陣(A-BC)對應 ARMA模型的零值點。若該系統為零初始狀態，輸入為沖激函數，則有

于是，根據式(6)可得沖激響應[6]：

式(8)中y(n)=CAn-1B即為基于狀態空間模型的沖激響應函數。

根據如式(5)所示的UWB雷達目標頻域響應函數(n)，其可進一步表示為

則結合式(8)中的第n個表達式和式(9)，可得

從式(10)可知，如式(8)的基于狀態空間模型的沖激響應完全可以利用如式(5)所示的具有伸縮的回波模型的沖激響應函數(n)表示。于是，根據式(9)及Hankel矩陣的定義可構造Hankel矩陣H[9]為

其中N為回波采樣個數，NR=round(2N/3)[6]為H矩陣的行數 (其中round(·)為取最近的整數)。

3 利用狀態空間估計UWB雷達動目標距離及速度

由式(11)，進行奇異分解(Singular Value Decomposition,SVD)可得[11]

其中∑=diag(σ1,σ2,…)，且σ1≥σ2≥…,diag(·)為對角矩陣，(·)H為共軛轉置(Hermitian)。由于對目標散射體個數估計的正確與否直接決定散射體距離及徑向速度的估計精度及性能[12]，因此需正確估計目標散射體個數。但傳統的 AIC (Akaike Information Criterion)[13]和 MDL (Minimum Description Length)[14]在SS方法中存在如文獻[15]所述的增加計算復雜度。于是，此處采用文獻[6]，即當∑中前m個對角線元素滿足

則認為目標由m個散射體組成。從而有

其中U:,1:m為矩陣U前m列組成的矩陣，∑1:m,1:m為矩陣∑前m個奇異值。若分別刪除如式(14)所示矩陣的最后一行和第一行，可分別得到和+ ，即

由式(15)可得

其中?表示偽逆(Moore-Penrose Pseudo-Inverse)[16]。則矩陣特征分解為

因此，由式(17)可得

從而由式(18)，各散射體到雷達間的距離可表示為

由式(9)及式(18)可得矩陣C，即

從式(2)及式(20)可得相應的目標徑向速度

其中 Square(·)表示對(·)中各元素的平方。

4 距離/速度估計的CRLB

推導基于狀態空間法的UWB雷達目標距離及速度的CRLB，以討論SS參數估計的統計性能。由于2個及以上的散射體對CRLB的推導的復雜性，為了簡化，本文只推導一個散射中心時的 CRLB。假設估計的參數為壓縮因子，斜距和相位，表示為，則包含噪聲的回波可表示為

其中y(n)為考慮噪聲的回波信號，(n)為服從均值為0，協方差為σ2的加性高斯白噪聲，即N(0,σ2),(n)為高斯白噪聲(n)污染后的回波。(n)的概率密度函數可表示為

則由式(23)可得似然函數的對數形式

其中ln(·)為取對數。則由式(24)可得Fisher信息矩陣(FIM)的元素[6-7]：

通過式(25)，FIM可表示為

其中

根據式(26)，對矩陣J求逆，可得矩陣CCR(θ)

其中

其中C1,1,C2,2和C3,3分別為θ(1,1),θ(1,2)和θ(1,3)(即壓縮因子s，斜距R和相位φ)標準協方差的CRLB。

5 計算機仿真實驗

設目標由3個散射體組成，其和雷達間斜距分別為R0+2 m,R0+4 m和R0+5 m，其中R0=50 m。在本文中，由于最大不纏繞距離(即不模糊距離)Ru=c/ (2 Δf)=75 m，而目前所考慮的最大距離(R0+5)

現比較當UWB雷達發射信號帶寬B分別為1 GHz和200 MHz時對如式(9)所示的頻域沖激響應作逆傅里葉變換(IFFT)處理的目標距離像，以及當B為200 MHz時采取SS法估計的距離像。對上述獲得的距離像如圖1所示。

從圖1發現，當利用IFFT時，在B為1 GHz能較好估計目標距離像。然而，當B為 200 MHz時，其估計性能大大降低，只能粗略反映其距離像輪廓。而采取SS法時，盡管B為200 MHz，仍能高分辨估計目標距離像。由此可知，在同帶寬條件下，和IFFT相比，SS的距離像估計性能得到很大的改善。

為了討論利用SS估計UWB雷達運動目標的徑向速度，現假設4個平動剛體目標，其徑向速度分別為6000 m/s,6500 m/s,7000 m/s和7500 m/s，且 UWB信號頻率。雷達發射信號頻率f∈[1,2]GHz，則對應帶寬B為1 GHz，時寬T為0.5 ms，則這 4個運動目標中最小多普勒色散因子BT(2v/c)|v=6000m/s=20>1，所以其回波存在由因子s≈1-2v/c=0.99996決定的伸長，且該因子隨著徑向速度增大而降低。由SS獲得的上述目標對應的壓縮因子，然后結合式(2)計算出各自徑向速度估計值及其對應的絕對誤差如表1所示。

由表1發現，通過SS可以高精度估計UWB雷達徑向速度。由圖1和表1可知，通過SS法不但能高精度估計動目標徑向速度，而且能獲得高分辨距離像。而且，與小波變換估計中要求發射波形具有母小波容許性不同的是，由于SS只需目標沖激響應函數，而并未涉及具體的雷達發射波形，因此，本文采取的SS法沒有對發射波形的嚴格限制。

表1 當SNR為20 dB時利用SS法獲得不同徑向速度的估計值比較(m/s)

由式(27)可得如圖2所示的利用SS估計的目標徑向速度、距離及相位隨SNR變化的CRLB。

由圖2可知，在低SNR情況下，利用SS估計的徑向速度及距離也具有較低的CRLB值，從而使得高分辨估計目標的徑向速度及距離像成為可能。

下面進一步對比估計參數的 RMSE及相應的CRLB，以分析參數的統計性能。設距離及徑向速度估計參數的RMSE[17]定義為

其中L為散射體個數，(i)為第l個徑向速度或者距離參數pl在共100次MC試驗中第i次重復試驗的估計值。當SNR從-25 dB到25 dB變化時，由式(28)估計的RMSE與對應的CRLB進行比較，以進一步分析利用 SS估計上述參數的性能，如圖3所示。

從圖3得知，隨著SNR的增大，徑向速度的估計精度也隨著提高，在SNR小于15 dB時，與其CRLB很接近。盡管在SNR大于15 dB時其RMSE開始偏離CRLB，但由于RMSE保留在約 1 0-6量級，此時對徑向速度精度影響可忽略。同樣，利用 SS估計的目標距離像隨著SNR增大，其估計精度顯著改善，在SNR約20 dB處變化開始趨緩。由此發現，利用SS，不但能估計目標高分辨距離像，而且在對發射信號波形無限制及BT(2v/c)大于1的情況下，能估計高精度的徑向速度。此外，當SNR較低時依然能保持較低的徑向速度及距離像RMSE，因此，SS法在參數估計中具有良好的噪聲抑制能力。

6 結論

與窄帶雷達不同的是，在UWB雷達中當高速運動目標的多普勒色散因子大于1時，其回波模型發生由相應壓縮因子決定的伸縮。本文結合上述回波模型的特點構建目標頻域沖激響應，采用SS分別估計目標的徑向速度及距離像。然后，進一步推導了上述估計參數的 CRLB，并與通過蒙特卡羅重復實驗獲得相應的RMSE進行比較，以討論估計參數的統計特性。由于SS法并未涉及具體UWB雷達發射波形形式，該方法對發射波形沒有限制，這不同于小波變換。仿真結果表明SS不但能高精度估計運動目標徑向速度，而且能獲得高分辨距離像。通過比較參數估計值的RMSE及其CRLB可知SS估計的參數具有良好的統計性能。此外，SS法具有良好的噪聲抑制能力。

圖1 信號帶寬B分別為1 GHz和200 MHz時利用IFFT及當B為200 MHz時利用SS估計的散射體(R0+2 m、R0+4 m和R0+5 m)距離像的比較

圖2 利用SS估計徑向速度、距離及相位的CRLB與SNR關系

圖3 當隨SNR變化時，利用SS估計目標距離及徑向速度作100次MC試驗的RMSE分別與其相應CRLB的比較

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