秩為n-1的n階矩陣的伴隨矩陣的Jordan標準形

侯曉麗，周永安

(鄭州輕工業學院 數學與信息科學系， 河南 鄭州 450002)

眾所周知，任意方陣A都有Jordan標準形，它是與A相似的形式最簡單的矩陣.其中，對角矩陣是特殊的Jordan矩陣，但能與對角矩陣相似的矩陣只有正規矩陣[1-3].一個矩陣A的Jordan標準形堪稱一張名片，有了它就可以很容易地知道其行列式是多少、是否可逆、每一個特征值的代數重數和幾何重數及指標各是多少，以及它的最小多項式形式和初等因子、行列式因子、不變因子等情形.文獻[4]把矩陣的Jordan標準形應用于矩陣函數的研究和簡化Hamilton-Caylay定理的證明，文獻[5]把矩陣的Jordan標準形分解推廣到四元數矩陣的情形等.本研究限于討論R(A)=n-1的情形下，A的Jordan標準形的情況，并約定以Cn×n，A*,JA，Eij分別表示復數域上全體n階方陣的集合、方陣A的伴隨矩陣和Jordan標準形以及(i,j)元素是1其余元素全為0的n階矩陣.

1 相關概念及性質

定義主對角線上的小塊方陣Ji(a)是Jordan塊的n階準對角矩陣

(1)

其中，n=m1+m2+…+ms，稱為Jordan形矩陣.

引理1每個n級的復數矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似，這個Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外由矩陣A唯一決定，它稱為A的Jordan標準形.

引理2設A為n階方陣，則存在n階可逆矩陣P，使

P-1AP=JA，P*A*(P-1)*=JA*.

(2)

2 關于伴隨矩陣的Jordan標準形的結果

定理1設A∈Cn×n，R(A)=n-1，a1a2…as…an-1≠0,則

(a)當A僅有一個零特征值時，將其置于JA的最后一個位置，有

(3)

(b) 當A有兩個或兩個以上零特征值時，其幾何重數必為1，且

(4)

其中，δ非0即1.

證明僅證(b).

反證，設A的零特征值的幾何重數大于1，為了證明簡單起見，設A的零特征值的幾何重數為2.

一方面，因R(A)=n-1，那么R(JA)=n-1.

s+[(n-s)-2]=n-2

這與R(JA)=n-1矛盾.

(5)

(b)當A的零特征值的代數重數大于1時，

(6)

證明(a)顯然.

(b)由于A的零特征值的代數重數大于1，根據定理1，此零特征值的幾何重數為1.于是

觀察此JA的表達式，不難看出JA中的(n，s+1)元的代數余子式為

(7)

(1) 當s=n-1時，

(2) 當1≤s≤n-2時，取

其中，ei為第i個n維單位坐標向量，則

上式中，前面是s個0，后面是(n-s-2)個0.

參考文獻：

[1]于寅.高等工程數學[M].武漢：華中科技大學出版社,2001：82.

[2]陳公寧.矩陣理論及其應用[M].2版.北京:科學出版社,2007:30.

[3]王卿文.高等數學綜論[M].香港:香港天馬圖書有限公司,2000:129.

[4]王英.若爾當標準形問題新探[J].湖南理工學院學報:自然科學版，2007,20(1)：17-19.

[5]陳龍玄,侯仁民,王亮濤.四元數矩陣的Jordan標準形[J].應用數學和力學,1996,17(6)：533-542.