僅有一個平衡點的超混沌系統的控制與同步

胥紅星

(鄭州航空工業管理學院 工業管理學院, 河南 鄭州 450046)

目前，關于混沌的研究已經發展成為一個應用廣泛的研究領域，在物理、化學、生物學等學科得到了廣泛的應用，許多新的混沌模型不斷被發現，如著名的Chen系統[1]、Lü系統[2]等.

最初，人們認為實現混沌系統的控制和同步是不可能的.1990年，Grebogi和Yorke提出的控制混沌思想產生了廣泛的影響[3].同年，Pecora和Carroll提出了混沌同步的思想[4].隨后，人們提出了各種控制混沌的方法,如線性與非線性反饋控制[5]、自適應反饋控制[6-7]等，并作了大量實驗驗證.文獻[8]基于Lü系統提出了一個新混沌模型，僅有一個平衡點，但具有兩個正的Lyapunov指數，表現出更為復雜的動力學行為，是個典型的超混沌系統.本研究根據系統本身的特性，進一步分析了該系統的動力學行為，采用線性反饋法把其鎮定到不穩定的平衡點.利用非線性反饋法實現了該系統的同步性，數值仿真驗證了理論的可行性.

1 混沌模型及性質分析

混沌模型描述如下:

(1)

其中，x，y，z，u為狀態變量，當a+b>c時，系統是耗散的且系統僅有一個平衡點O(0，0，0，0),取a=36，b=3，c=26，d=10時，系統存在典型的超混沌吸引子,如圖1所示.當a=36，b=3，c=26時，隨著參數d的變化，系統產生超混沌，混沌，周期，倍周期動力學行為，d∈[0，50]系統(1)的Lyapunov指數譜如圖2所示.

圖1 混沌系統的吸引子

圖2 d∈[0，50]系統(1)的Lyapunov指數

2 系統(1)的控制問題

限定參數大于0，由于系統(1)有且僅有一個平衡點，利用線性反饋法設計合理的控制器實現平衡點O(0，0，0，0)的控制.

設受控系統如下：

(2)

其中，v1，v2，v3，v4為控制器.

3 混沌系統的同步

定義1對于兩個非線性混沌系統：

(3)

(4)

令(1)為驅動系統，響應系統為

(5)

令e(t)=(e1，e2，e3，e4)T=(x1-x，y1-y，z1-z，u1-u)T，則誤差系統為:

(6)

其中，vi(t)為反饋控制器，i=1，2，3，4.

定理2對系統(6), 選取如下控制器：

(1)v1(t)=ze2-ye3，v2(t)=-k2e2，v3(t)=0，v4(t)=-k4e4；

(2)v1(t)=ze2，v2(t)=-k2e2，v3(t)=ye1，v4(t)=-k4e4.

類似可證在控制器(2)下系統的同步性成立.

4 數值仿真

用Matlab進行數值仿真，設初值點為(0.1,0.3,0.5,0.2)，根據定理1，取反饋增益k2=44，k4=11,得到相空間的穩定軌跡，如圖3所示.根據定理2，取反饋系數k2=21，k4=1，則系統(1)和系統(5)是全局同步的，如圖4所示，可以看出設計控制器的有效性.

圖3 線性反饋下系統(1)的狀態曲線

圖4 非線性反饋下的同步誤差

5 結論

研究了僅有一個平衡點的超混沌的控制和同步問題，利用線性反饋方法把系統鎮定到平衡點，設計了非線性反饋控制器實現了系統的全局同步，數值仿真驗證了控制器的有效性.

參考文獻：

[1]Lorenz E.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Science,1963,20(3):130-141.

[2]Chen G,Ueta G T.Yet another chaotic attractor[J].Int J Bifurcat Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[3]Lü J,Chen G.A new chaotic attractor coined[J].Int J Bifurcat Chaos,2002,12(3):659-661.

[4]Ott E,Grebog I C,York J.Cont rolling chaos[J].Physical Review Letters,1990,64(11):1196-1199.

[5]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Letters,1990,64(8):821-824.

[6]Yassen M T.Cont rolling chaos and synchronization for new chaotic system using linear feedback control[J].Chaos Solitons & Fractals,2005,26(3):913-920.

[7]Wu X Y,Guan Z H,Wu Z P.Adaptive synchronization between two different hyperchaotic systems[J].Nonlinear Analysis,2008(13):46- 51.

[8]Shen Q K,Zhang T P.Novel design of adaptive neural network controller for a class of non-affine nonlinear systems[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17(3):1107-1116.

[9]Jia H Y,Chen Z Q,Yuan Z Z.A novel one equilibrium hyper-chaotic system generated upon Lu attractor[J].Chin Phys B,2010,19(2):5-7.